In geometria fraktaali , koko on Minkowskin - Bouligand , joka tunnetaan myös nimellä ulottuvuus Minkowskin , koko laatikko-laskenta tai kyky , on tapa määrittää fraktaalidimensiota on osajoukon S on Euclidean tilan tai, yleisemmin metrinen avaruus .
Laske tämä ulottuvuus S- fraktaalille asettamalla tämä fraktaali neliöverkkoon ja laskemalla kokonaisuuden kattamiseen tarvittavien laatikoiden määrä. Minkowski-ulottuvuus lasketaan tarkkailemalla, kuinka tämä solumäärä kehittyy, kun verkko muuttuu äärettömän hienoksi.
Oletetaan, että N (ε) on sivun ε neliöiden määrä, joka tarvitaan ryhmän peittämiseen. Sitten Minkowskin ulottuvuus määritetään seuraavasti:
.Jos rajaa ei ole, puhumme ylärajan ylärajasta ja alaraja alarajasta. Toisin sanoen Minkowski-ulottuvuus on määritelty hyvin vain, jos nämä kaksi arvoa ovat samat. Ylemmää ulottuvuutta kutsutaan joskus entropian ulottuvuudeksi , ulottuvuudeksi Kolmogorov tai nimeksi ylempi laatikko . Alarajaa kutsutaan joskus alemmaksi ruuduksi .
Molemmat liittyvät vahvasti Hausdorff-ulottuvuuteen . Joissakin tapauksissa nämä kolme arvoa ovat erilaiset (katso lisätietoja alla).
Minkowskin mitat pysyvät identtisinä erityyppisille päällysteille, joille N (ε) tarkoittaa:
Toinen vastaava Minkowskin ulottuvuuden määritelmä tarkastelee sitä, kuinka S: n naapuruston tilavuus pienenee tämän naapuruston pienentyessä. Se annetaan kaavalla:
missä kokoonpano määritellään kaikille S: n e-naapurustoksi , toisin sanoen joukoksi pisteitä, jotka ovat etäisyydellä alle S S: stä . Tai on vastaavasti kaikkien avoimien pallojen, joiden säde ε, keskipiste on S : ssä:
.Nämä kaksi ulottuvuutta (ylempi ja alempi laatikko) ovat hienoja additiivisia, ts. Jos { A 1 ,…, A n } on rajallinen joukko joukkoja, niin
.Tämä ominaisuus ei kuitenkaan ole voimassa loputtomaan sarjajoukkoon. Esimerkiksi pisteen koko on yhtä suuri kuin 0. Minkowskin rationaalilukujen välillä aikavälillä [0, 1] on kuitenkin arvo 1.
Minkowski-ulottuvuuden voidaan nähdä, kuinka joukko voidaan peittää pienillä samankokoisilla esineillä, kun taas Hausdorff-ulottuvuus pitää päällekkäisyyksiä pienikokoisten, erikokoisten esineiden kanssa, kenties hyvin merkittävästi. Lisäksi Hausdorff-ulottuvuus perustuu mittaukseen, mikä ei ole asia Minkowski-ulottuvuuden kohdalla, mikä aiheuttaa tiettyjä ei-toivottuina pidettyjä ominaisuuksia (katso alla).
Tästä huolimatta Minkowski-ulottuvuutta käytetään yleisesti fraktaalikohteiden mittauksessa, koska Hausdorff-mittausta on vaikea soveltaa.
Minkowskin ja Hausdorffin mitat ovat samat monille fraktaalisarjoille, tämä oletetaan erityisesti tiukasti itse samankaltaisille fraktaalisarjoille. Esimerkiksi Cantor-sarjan Hausdorff- ja Minkowski-mitat ovat yhtä suuret .
Hausdorff-ulottuvuus ja Minkowski-ulottuvuus liittyvät seuraavaan eriarvoisuuteen:
.Eriarvoisuus on yleensä vakavaa. Tässä on muutama esimerkki:
Esimerkki 1 : Minkowskin ylempi ulottuvuus voi olla suurempi kuin alempi ulottuvuus, jos fraktaalijoukko käyttäytyy eri tavoin eri mittakaavoissa. Otetaan esimerkiksi väli [0,1] ja tutkitaan seuraavien ehtojen mukainen joukko numeroita:
Tällä fraktaalilla on ylempi ulottuvuus 2/3 ja alempi ulottuvuus 1/3 , tulos, joka voidaan helposti todentaa laskemalla N ( ε ) arvolle ja huomaten, että niiden arvot käyttäytyvät eri tavalla parilliselle ja parittomalle n . Hausdorff-ulottuvuus samalle joukolle on yhtä suuri kuin 0 .
Esimerkki 2 : Joukko järkevän välillä 0 ja 1, jossa on laskettavissa joukko , on ulottuvuus Minkowskin koska sen adheesio , on yksi ulottuvuus.
Esimerkki 3 : Minkowski-ulottuvuudelta puuttuu myös stabiilisuusominaisuuksia, joita voisi odottaa mitalta. Esimerkiksi voidaan olettaa, että laskettavan joukon lisääminen ei vaikuta mitan arvoon. Tämä ominaisuus ei toimi Minkowski-ulottuvuuden kannalta. Joten:
(en) Eric W. Weisstein , ” Minkowski-Bouligand-ulottuvuus ” , MathWorldissa
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">