Cantorin sarja
On matematiikka , koko Cantor (tai kolmisointuisten Cantor joukko , tai Cantor pöly ) on all-in merkillistä reaaliakselilla rakensi saksalainen matemaatikko Georg Cantor .
Se on suljettu osajoukko on yksikön välin [0, 1] , jossa on tyhjä sisätila . Se toimii esimerkiksi sen osoittamiseksi, että on olemassa ääretön sarjaa, jotka ovat lukemattomat , mutta merkityksetön siinä mielessä Lebesgue n toimenpiteen . Se on myös varhaisin esimerkki fraktaalista (vaikka termi ilmestyi vasta vuosisataa myöhemmin), ja sillä on ei-kokonaislukuinen ulottuvuus .
Se lopulta myöntää tulkinnan mukaisesti kulma kehityksen realia pohja 3. Tästä syystä on usein huomattava, K 3 .
Rakennamme sen iteratiivisesti segmentistä [0, 1] poistamalla keskimmäisen kolmanneksen; sitten toimenpide toistetaan kahdella jäljellä olevalla segmentillä ja niin edelleen. Voimme nähdä prosessin kuusi ensimmäistä iteraatiota seuraavasta kaaviosta:
Rakentaminen
Iteratiivinen rakenne
Operaattori merkitsee "poista keskimmäinen kolmas":
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}
T:Minä→Minä0∪Minä1 [klo,b]↦[klo,klo+b-klo3]∪[b-b-klo3,b].{\ displaystyle {\ begin {array} {cccl} {\ mathcal {T}}: & Minä & \ Oikea nuoli & I_ {0} \ cup I_ {1} \ \ & \ [a, b] & \ mapsto & \ displaystyle \ left [a, a + {\ frac {ba} {3}} \ right] \ cup \ left [b - {\ frac {ba} {3}}, b \ right] \ end {array}} .}Merkitään ja määritetään induktiolla sekvenssi osien [0, 1] osuudesta suhteella:
AT0=[0,1]{\ displaystyle A_ {0} = [0,1]}
∀ei∈EI, ATei+1=T(ATei).{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ A_ {n + 1} = {\ mathcal {T}} (A_ {n}).}Meillä on :
AT1=[0,13]∪[23,1];{\ displaystyle A_ {1} = \ vasen [0, {\ frac {1} {3}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {2} {3}}, 1 \ oikea];}
AT2=[0,19]∪[29,13]∪[23,79]∪[89,1];{\ displaystyle A_ {2} = \ vasen [0, {\ frac {1} {9}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {2} {9}}, {\ frac {1} {3 }} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {2} {3}}, {\ frac {7} {9}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {8} {9}}, 1 \ oikea];}
AT3=[0,127]∪[227,19]∪[29,727]∪[827,13]∪[23,1927]∪[2027,79]∪[89,2527]∪[2627,1].{\ displaystyle A_ {3} = \ vasen [0, {\ frac {1} {27}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {2} {27}}, {\ frac {1} {9 }} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {2} {9}}, {\ frac {7} {27}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {8} {27}}, {\ frac {1} {3}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {2} {3}}, {\ frac {19} {27}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {20} {27}}, {\ frac {7} {9}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {8} {9}}, {\ frac {25} {27}} \ oikea] \ kuppi \ vasen [{\ frac {26} {27}}, 1 \ oikea].}
Sitten Cantor-sarja on "raja", kun se pyrkii :
K3{\ displaystyle K_ {3}}ATei{\ displaystyle A_ {n}}ei{\ displaystyle n}+∞{\ displaystyle + \ infty}
K3=⋂ei∈EIATei.{\ displaystyle K_ {3} = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}.}
Kirjoittaminen pohjaan 3
Voimme myös määrittää Cantor-sarjan peruskirjoituksella 3 . Todellakin kaikki todelliset voidaan kirjoittaa:
x∈[0,1]{\ displaystyle x \ in [0,1]}
x=∑ei=1∞xei3ei;{\ displaystyle x = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x_ {n}} {3 ^ {n}}};}kanssa . Sitten kirjoitamme
xei∈{0,1,2}{\ displaystyle x_ {n} \ sisään \ {0,1,2 \}}
x=0,x1x2x3x4x5...{\ displaystyle x = 0, x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} x_ {5} \ ldots}Tämä kirjoitus on ainutlaatuinen paitsi että voit korvata vuoteen (ja vuoteen ) lopussa kirjallisesti. Jos päätämme tehdä tämän muunnoksen, voimme sitten määritellä seuraavasti:
1000000...{\ displaystyle 1000000 \ ldots}0222222...{\ displaystyle 0222222 \ ldots}2 000 000...{\ displaystyle 2000000 \ ldots}1222222...{\ displaystyle 1222222 \ ldots}K3{\ displaystyle K_ {3}}
Cantor joukko on muodostettu reals on [0, 1] , jossa pohja 3 kirjoitus, joka sisältää vain 0s ja 2s.
Tai muodollisemmin:
K3={∑ei=1∞xei3ei |∀i∈EI∗,xi∈{0,2}}.{\ displaystyle K_ {3} = \ vasen \ {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x_ {n}} {3 ^ {n}}} \ | \ kaikki i \ sisään \ mathbb {N} ^ {*}, x_ {i} \ sisään \ {0,2 \} \ oikea \}.}
Esimerkiksi todellinen 1/3 on tässä joukossa, koska se hyväksyy kaksi kirjoitusta 0,1000… ja 0,02222… pohjaan 3. Todellinen 2/3 myös (0,2000… tai 0,12222…). Voimme huomata, että niiden numeroiden joukossa, jotka myöntävät oikean laajennuksen ja epäasianmukaisen laajennuksen, ei ole yhtään, jonka kaksi kirjoitusta vahvistavat pyydetyn ominaisuuden.
Ominaisuudet
Mitattu
Cantor joukko on nolla toimenpide, toisin sanoen vähäinen siinä mielessä, että Lebesguen mitta .
Todellakin, kun panemme merkille Lebesgue-mittauksen , meillä on:
ℓ{\ displaystyle \ ell}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
-
ℓ([0,1])=1{\ displaystyle \ ell \ left ([0,1] \ oikea) = 1} ;
- kokouksen väliajoin: ;ATei{\ displaystyle A_ {n}}ℓ(T(ATei))=ℓ(ATei+1)=23ℓ(ATei){\ displaystyle \ ell \ left ({\ mathcal {T}} (A_ {n}) \ right) = \ ell (A_ {n + 1}) = {\ frac {2} {3}} \ ell (A_ {ei})}
missä on operaattori "keskimmäisen kolmanneksen ablaatio" (katso ensimmäinen kappale ).
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}
Päätelmämme ovat seuraavat:
∀ei∈EI, ℓ(ATei)=(23)ei.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ \ ell \ left (A_ {n} \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {n}.}Ja kun Cantor asetettu sisältyy kaikkiin : .
ATei{\ displaystyle A_ {n}}ℓ(K)=0{\ displaystyle \ ell \ vasen (K \ oikea) = 0}
Cantor-joukko on siis "pieni" Lebesgue-mittarin merkityksessä .
Laskemattomuus
Cantor-sarjaa ei kuitenkaan voida laskea . Tarkemmin sanottuna on valta jatkuva , toisin sanoen, että se on ekvipotentti että The osasarjalle joukon sekä luonnon kokonaislukuja (tai lisäksi ekvipotentti , ei ole laskettavissa, mukaan Cantor lause ).
P(EI){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}EI{\ displaystyle \ mathbb {N}}P(EI){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Yksi voi todellakin ansiosta kirjallisesti pohjan 3 yläpuolelle , määrittävät bijektio on osaksi , liittämällä minkään osan kanssa on todellinen , jossa tarkoittaa karakteristinen funktio osan .
P(EI){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}K3{\ displaystyle K_ {3}}AT{\ displaystyle A}EI{\ displaystyle \ mathbb {N}}∑k=0∞2×1AT(k)3k+1{\ displaystyle \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ kertaa 1_ {A} (k)} {3 ^ {k + 1}}}}1AT{\ displaystyle 1_ {A}}AT{\ displaystyle A}
Näin Cantor joukko on "suuri" siinä mielessä joukko-opin .
Esittely
Tai P- piste ja avoin pallo (avoin väli), joka on keskitetty P-kohtaan . Tämä avaus sisältää väistämättä reaalin, jonka laajennus tukikohdassa 3 sisältää numeron 1, joka ei ole osa . Joten P ei ole sisällä . Lisäksi tällä samalla aikavälillä on aina olemassa reaali, jonka laajentuminen pohjaan 3 kirjoitetaan vain 0: lla tai 2. Siksi P ei ole eristetty piste.
K3{\ displaystyle K_ {3}}K3{\ displaystyle K_ {3}}K3{\ displaystyle K_ {3}}
- Topologinen tila X on homeomorfinen Cantor-avaruuteen vain ja vain, jos X on täydellinen kompakti ja laskettavissa oleva suljettu pohja.
- Mikä tahansa kompakti metrinen tila on Cantorin kuva, jonka asettaa jatkuva kartta. Tällä ominaisuudella on merkittäviä vaikutuksia funktionaaliseen analyysiin . Lisäksi kaikki täydelliset epäjatkuvat kompaktit metriset avaruudet ovat homeomorfisia Cantor-sarjalle; tason tai tavallisen tilan, jolla on tämä ominaisuus, alatiloja kutsutaan usein Cantorin pölyksi .
Itsesamankaltaisuus
Homotetyön h asettama Cantorin kuva keskellä 0 ja suhde 1/3 on itse osa Cantor-sarjaa. Tarkemmin
K3=h(K3)∪(h(K3)+23).{\ displaystyle K_ {3} = h \ vasen (K_ {3} \ oikea) \ kuppi \ vasen (h \ vasen (K_ {3} \ oikea) + {\ frac {2} {3}} \ oikea). }Täten on kahden sille homoteettisen osan irtaaminen. Se on osoitus itse samankaltaisuudesta , joka on yksi fraktaalien perusominaisuuksista .
K3{\ displaystyle K_ {3}}
Ulottuvuus
Edellä esitetyn seurauksena voimme laskea Minkowski-ulottuvuuden ; se on log 3 (2) = log b (2) / log b (3) ≈ 0,631, missä b on mikä tahansa emäs. Se on irrationaalinen ja jopa transsendenttinen luku . Joskus puhumme murto-osasta, koska se ei ole kokonaisluku, vaikka se ei olekaan enemmän järkevä luku .
Tämä log 3 (2) -arvo on myös sarjan Hausdorff-ulottuvuus .
Vaihtoehdot
Olkoon s luku ehdottomasti välillä 0 ja 1. Jos sen sijaan, että jokainen väli jaettaisiin kolmeen ja poistettaisiin keskusväli, poistamme n: nnessä vaiheessa pituusvälin yllä olevan sukupolven jokaisen välein, Hanki Cantor-sarja, jonka Lebesgue-mitta on 1 - s . Tämä antaa sinulle tyhjän kompaktimittauksen sisätiloissa niin lähellä kuin haluat. Tapaus s = 1 palauttaa tavallisen Cantorin joukon. Vastaavaa prosessia käytetään koko Smith-Volterra-Cantorissa .
s/3ei{\ displaystyle s / 3 ^ {n}}
Toinen Cantor-sarjan versio on Cantor-aukio . Se on rakennettu samalle yleisperiaatteelle, mutta perustuu neliöön: katsomme neliön, jonka leikkaamme 9 samankokoiseksi neliöksi, ja poistamme kaikki neliöt, jotka eivät ole lähtöruudun kulmassa. Sarja on rakennettu iteratiivisesti toistamalla tämä toiminto uusilla neliöillä. Se ei ole muuta kuin itse asettaman Cantorin karteesinen tuote (ei pidä sekoittaa Sierpiński-mattoon ).
K3×K3{\ displaystyle K_ {3} \ kertaa K_ {3}}
Sama rakenne ulottuvuudessa 3 johtaa Cantor-kuutioon , joka on yhtä suuri kuin suorakulmainen tuote (ei pidä sekoittaa Menger-sieneen ).
K3×K3×K3{\ displaystyle K_ {3} \ kertaa K_ {3} \ kertaa K_ {3}}
Huomautuksia ja viitteitä
-
G. Cantor, ” Täydellisten pistejoukkojen voimasta ”, Acta Math. , voi. 4,1884, s. 381-392 ( DOI 10.1007 / BF02418423 ).
-
Tämä on myös todellinen raja varten Hausdorff etäisyyden topologia .
-
Ks. L3 : n L. Iôôsin ja S. Peronnon väitöskirjan 52 lause "Autosimilarity, Cantorin triadinen kokonaisuus ja Hausdorff-ulottuvuus" , Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelinesin yliopisto , 2007.
-
(in) S. Willard, General Topologia , Addison-Wesley, Reading, MA, 1970 th. 30-7.
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Bibliografia
-
(en) Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer ja James A. Yorke (en) , Chaos: An Introduction to Dynamical Systems , New York, Springer,1996, 603 Sivumäärä ( ISBN 0-387-94677-2 , lue verkossa ) , luku . 4.1 (“Cantor-sarjat”) , s. 150-152- Tämä dynaamisten järjestelmien johdantokäsikirja on tarkoitettu perustutkinto- ja jatko-opiskelijoille (s. Ix).
- (en) Julian F. Fleron, " Huomautus Cantor-sarjan ja Cantor-toiminnon historiasta " , Mathematics Magazine ,Huhtikuu 1994( lue verkossa )
-
(en) George Pedrick , ensimmäinen analyysikurssi , Springer,1994, 279 Sivumäärä ( ISBN 0-387-94108-8 , lue verkossa ) , s. 29, Harjoitus 6
- (en) Charles Chapman Pugh , todellinen matemaattinen analyysi , New York, Springer ,2002, 437 Sivumäärä ( ISBN 0-387-95297-7 , lue verkossa ) , s. 95-98
-
(en) Murray H. Protter ja Charles B. Morrey, nuorempi , todellisen analyysin ensimmäinen kurssi , Springer,1977, 507 Sivumäärä ( ISBN 978-1-4615-9992-0 , luettu verkossa ) , s. 494 - 495, Tehtävä 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">