Täysin epäjatkuva tila

Vuonna matematiikassa , tarkemmin topologia , joka on täysin epäjatkuvan tila on topologinen avaruus , joka on "pienin yhdistetty mahdollisimman" siinä mielessä, että sillä ei ole ei-triviaali liitetyn osa: missään topologinen tilaa, tyhjä joukko ja yksisikiöisillä liittyvät ; täysin epäjatkuvassa tilassa nämä ovat ainoat liitetyt osat.

Suosittu esimerkki täysin epäjatkuvasta tilasta on Cantor-sarja . Toinen esimerkki, tärkeä algebrallinen lukuteoria , on alalla Q p ja p-adic numerot .

Määritelmä

Topologinen avaruus X on täysin epäjatkuva, jos liitetyn osan minkä tahansa pisteen x ja X on yksittäiseksi { x }.

Esimerkkejä

Seuraavat välilyönnit ovat täysin epäjatkuvia:

• erityisesti kaikki täysin erilliset tilat (ts. joissa kaksi erillistä pistettä voidaan aina erottaa avoimella ja suljetulla )
  • kaikki mitat nollan välit T 0 (siis säännölliset ), kuten:
    • diskreetti tilat  ;
    • R: n tyhjät osat, joissa on tyhjä sisustus ;
    • rengas Z p on
    p -adic kokonaislukuja , tai yleisemmin, mikä tahansa profine ryhmä  ;
  • oikea Sorgenfrey (tätä tilaa, toisin kuin aiemmat, ei ole paikallisesti compact ).
• seuraavat kaksi välilyöntiä (täysin erilliset, mutta ei nollaulotteiset):
  • tilaa Erdős on yleinen summable kalusteet on järkevä ja sen yleistyksiä (jonka ulottuvuus on 1);
  • Royn ristikko riisti sen yläosasta.

Cantor tiipii menettäisi alkuun (täysin irti, mutta ei täysin erillään).

Ominaisuudet

• Täysin epäjatkuvien tilojen ala-, tuotetilat ja sivutuotteet ovat täysin epäjatkuvia.
• Täysin epäjatkuvan tila on aina t 1 , koska sen singletons on suljettu.
• Jatkuva kuva täysin epäjatkuvasta tilasta ei välttämättä ole täysin epäjatkuva (esimerkiksi: mikä tahansa mitattava kompakti on jatkuva kuva Cantorin avaruudesta).
• Paikallisesti kompakti tila on täysin epäjatkuva vain ja vain, jos se on nollamittainen.
• Kompaktius on täysin epäjatkuva jos ja vain jos se on täysin erillään, ja jos ja vain jos se on Stone tila S ( B ) on Boolen algebran B (pisteiden S ( B ) ovat ultrasuodattimiin on B , joka ei sisällä 0 , ja avoin perusta koostuu { x ∈ S ( B ) | b ∈ x }, B : n b- elementille ; S ( B ) on erittäin epäjatkuva ( ts . Kaikkien avoimien tarttuminen on avointa) vain ja vain, jos B on täydellinen  ; 
• Mikä tahansa täysin epäjatkuva metroituva tila on homeomorfinen diskreettien tilojen laskettavan tulon alitilaan nähden.
• Tahansa topologinen tilaa X , tilaa kytkettyjen komponenttien X on ”suurin” osamäärä X, joka on täysin epäjatkuva, siinä mielessä, että se on ensimmäinen joukossa sellainen osamäärät.

Huomautuksia ja viitteitä

• (fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista "  Totally disconnected space  " ( katso kirjoittajien luettelo ) .
• (en) Stephen Willard , yleinen topologia , Dover ,2012( 1 st  ed. 1970), 384  s. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , lue verkossa )

1. (en) Lynn Arthur Steen ja J. Arthur Seebach, Jr. , Vasta-esimerkkejä topologiassa , Dover ,1995( 1 st  toim. Springer , 1978) ( lukea verkossa ) , s.  32-33.
2. (sisään) P. Erdős, "  Hilbert-avaruuden järkevän pisteen ulottuvuus  " , Ann. Matematiikka. , 2 nd sarja, voi.  41,1940, s.  734-736 ( lue verkossa ).
3. (in) Michel Coornaert, Topologiset ulottuvuus ja Dynamical Systems , Springer,2015( DOI  10.1007 / 978-3-319-19794-4 , lue verkossa ) , luku .  5.1.
4. (in) Jan J. Dijkstra, "  kriteerinä Erdős tiloihin  " , Proc. Edinb. Matematiikka. Soc. , 2 nd sarja, voi.  48, n °  3,2005, s.  595-601 ( lue verkossa ).
5. Steen ja Seebach , vasta-esimerkit 127 (Royn hilan alatila) .
6. (in) Andrew M. Gleason , "  Projektiivinen topologinen avaruus  " , Illinois, J. Math. , voi.  2, n o  4A,1958, s.  482-489 ( lue verkossa ).

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Ryhmä kokonaan irti  (en)