Baire-toiminto
On matematiikka , Baire toiminnot ovat funktioita on saatu jatkuvien funktioiden mukaan transfinite toistoa toiminnan suorittaa yksinkertainen rajat on sekvenssien toimintoja .
Ne esitteli René Baire . Joukko Baire (fi) on asetettu, jonka indikaattori funktio on funktio Baire (tahansa luokkaan).
Baire-toimintojen luokitus
Vakiomääritelmä
Luokan Baire toimintoja , varten useimmat numeroituvan järjestysluku , muodostavat vektorin tilan todellisia tehtäviä määritellyn on topologinen tila , joka määritellään seuraavasti:
a{\ displaystyle \ alfa} a{\ displaystyle \ alfa}
Bairen funktiot ovat funktioita, jotka ovat luokkaa tietylle (< ω₁ ).
a{\ displaystyle \ alfa}a{\ displaystyle \ alfa}
Henri Lebesgue osoitti ( segmentille määriteltyjen toimintojen osalta ), että mikä tahansa Baire-luokka laskettavaa järjestystä varten sisältää funktioita, jotka eivät kuulu alempaan luokkaan, ja että on toimintoja, jotka eivät kuulu mihinkään luokkaan.
Mikä tahansa reaalisten luokan toimintojen yhdenmukainen raja on luokka .
a{\ displaystyle \ alfa}a{\ displaystyle \ alfa}
Muut määritelmät
Jotkut kirjoittajat Antaa rajoittavamman määritelmän, jättäen luokkafunktiot, jotka ovat tiukasti huonompia kuin luokan toiminnot, kun se on äärellinen; menetämme sitten vektori-avaruusrakenteen.
ei{\ displaystyle n}ei{\ displaystyle n}ei{\ displaystyle n}
Andreï Kolmogorov ehdottaa puolestaan hieman muunnettua määritelmää funktioille, joilla on parametrit , valtuuttamalla itsensä vain polynomisista funktioista (rajallisessa määrässä muuttujia). Nämä kaksi määritelmää vastaavat:
REI{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}
- Toisaalta mikä tahansa polynomifunktio on jatkuva, siis luokkaan 0 standardimerkityksessä;
- Toisaalta, jos f on jatkuva , voimme soveltaa Stone-Weierstrass lauseen löytää jono funktioita , niin että on etäisyydellä korkeintaan yli Hilbert kuution , kompakti mukainen että Tychonov lause ; on silloin yksinkertainen raja.REI{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}(fei)ei∈EI{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ sisään \ mathbb {N}}}fei{\ displaystyle f_ {n}}2-ei{\ displaystyle 2 ^ {- n}}f{\ displaystyle f} [-ei,ei]EI{\ displaystyle [-n, n] ^ {\ mathbb {N}}}f{\ displaystyle f}
Lisäksi välitöntä transfiniittistä induktiota käyttämällä luokkatoiminto Kolmogorov-merkityksessä on niin myös standardimääritelmämme mukaan, kun taas luokan funktio tavanomaisessa merkityksessä on luokan Kolomogorov-merkityksessä. Siksi Bairen toiminnot tavallisessa mielessä ja Kolmogorovin mielessä ovat samat.
ei{\ displaystyle n}ei{\ displaystyle n}ei+1{\ displaystyle n + 1}
Alkeellisemmalla tavalla (ei turvautumalla niin vahvaan Weierstraßin lauseen kuin Tychonovin lauseeseen), on mahdollista osoittaa, että Bairen toiminnot tavallisessa mielessä ovat Kolmogorovin merkityksessä kahdessa vaiheessa : d 'ensimmäinen, soveltamalla samaa päättelyä osoittaa, että mikä tahansa jatkuva funktio on äärellinen määrä reaalimuuttujaa on luokan 1 siinä mielessä Kolmogorov, sitten on metrizable etäisyyden , lähestymistapaa , jonka toiminnot (tunnistetaan toiminnot rajallinen muuttujien lukumäärä), mikä osoittaa, että se kuuluu luokkaan 2.
REI{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}REI{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}d(u,v): =supei∈EI[min(|uei-vei|,2-ei)]{\ displaystyle d (u, v): = \ sup _ {n \ sisään \ mathbb {N}} [\ min (| u_ {n} -v_ {n} |, 2 ^ {- n})]}f{\ displaystyle f}fei:u↦f(u0,⋯,uei,0,⋯,0,⋯){\ displaystyle f_ {n}: u \ mapsto f (u_ {0}, \ cdots, u_ {n}, 0, \ cdots, 0, \ cdots)}
Baire-luokka 1
Baire 1 -luokan toiminnot ovat jatkuvien toimintojen sekvenssien yksinkertaisia rajoja.
Esimerkkejä:
- minkä tahansa johdettavan funktion johdannainen kuuluu luokkaan 1. Esimerkki johdannaisfunktiosta epäjatkuvan johdannaisen kanssa on funktio, joka on voimassa missä tahansa kohdassa ja kohdassa . Tämän tyyppisten toimintojen sarjan summa voi jopa tarjota erilaistuvan funktion, jonka johdannainen on epäjatkuva tiheän osan suhteen . Tämän johdannaisen jatkuvuuskohdat muodostavat kuitenkin tiheän G 5: n ;x2synti(1/x){\ displaystyle x ^ {2} \ sin (1 / x)}x≠0{\ displaystyle x \ neq 0}0{\ displaystyle 0}0{\ displaystyle 0}
- kokonaislukujoukon ilmaisintoiminto;
- toiminto Thomae . Siinä on tiheä epäjatkuvuussarja, nimittäin perustelujoukko ;
- indikaattorin toiminta minkä tahansa suljettu on metrinen avaruus . Sitä voidaan lähestyä jatkuvilla toiminnoilla .F{\ displaystyle F}gei:x↦enint(0,1-eid(x,F)){\ displaystyle g_ {n}: x \ mapsto \ max (0,1-nd (x, F))}
Bairen karakterisointilauseessa todetaan, että funktiolle, joka määritetään koko metrisen tilan alueella, jossa on arvot Banach-avaruudessa , seuraavat kolme ehtoa vastaavat:
f{\ displaystyle f} X{\ displaystyle X}
-
f{\ displaystyle f} on Baire-luokka 1;
- mitään ei- tyhjä kompakti osajoukko on , rajoitus on ja on pisteen jatkuvuuden ( on varustettu indusoitu topologia );K{\ displaystyle K}X{\ displaystyle X}f{\ displaystyle f}K{\ displaystyle K}K{\ displaystyle K}
- tahansa suljettu ei ole tyhjä ja , rajoittaminen ja on pisteen jatkuvuuden.F{\ displaystyle F}X{\ displaystyle X}f{\ displaystyle f}F{\ displaystyle F}
Bairen toisen lauseen mukaan Baire 1 -luokan mille tahansa toiminnolle jatkuvuuspisteet muodostavat G δ -koomin .
Baire-luokka 2
Esimerkin tällaisesta funktiosta, joka ei kuulu luokkaan 1, antaa Dirichlet-funktio (perustelujoukon indikaattori), joka ei ole missään vaiheessa jatkuva .
Baire-luokka 3
Huomautuksia ja viitteitä
(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu
englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista
" Baire function " ( katso luettelo kirjoittajista ) .
-
René Baire, " Epäjatkuvien toimintojen esittämisestä ", Acta Mathematica , Montpellier,1905( lue verkossa ).
-
Toimintojen sarja (määritelmän mukaan) indeksoidaan N: llä , määritelmää ei voida laajentaa ω: n ulkopuolelle .
-
(in) Andrei Nikolaevich Kolmogorov ( trans. Saksalaisesta Nathan Morrison), Foundations of teorian todennäköisyys [ " Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung "], New York, Chelsea Publishing Company,1933, 84 Sivumäärä ( OCLC 185529381 , lue verkossa ) , Liite: Nollan tai yhden lain todennäköisyysteoriassa, s. 69 , huomautus 2.
-
Tämä on ordinaalien summa , joka vastaa kokonaislukujen lisäystä, jos n on äärellinen, mutta tarkistaa 1+ n = n heti, kun n on ääretön.
-
(in) Charles Stegall, " toiminnot ensimmäisen Baire luokan arvot Banach tiloihin " , Proc. Katkera. Matematiikka. Soc. , voi. 111,1991, s. 981-991 ( lue verkossa ).
-
(in) Alexander S. Kechris , Klassinen Tarkempi Set Theory , Springer-Verlag,1995, Lause 24.14.
Liite
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoiset linkit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">