Gaussin funktio on eksponentiaalinen funktio vastapäätä neliön abskissa (funktion exp (- x 2 ) ). Sillä on tyypillinen kellon muotoinen käyrä.
Tunnetuin esimerkki on normaalijakauman todennäköisyystiheys
missä μ on matemaattinen odotus ja σ on keskihajonta .
Gaussin toiminnot ovat analyyttisiä , nolla rajalla äärettömyydessä.
Leveys puolikorkeudellaLeveys korkeuden puolivälissä H on
puolileveys puolikorkeudella on siis noin 1,177 · σ .
JohtaminenGaussin funktio on äärettömän erilainen kaikkialla. Gaussin funktion peräkkäiset johdannaiset paljastavat Hermit-polynomit .
LiittäminenVaikka Gaussin funktion johdannaisten laskeminen on helppoa, emme voi kirjoittaa sen primitiivejä perusfunktioiden avulla (tämä on seurausta Liouvillen lauseesta ); ne ilmaistaan virhetoiminnolla . Voimme kuitenkin laskea Gaussin integraalin reaalilinjalla Gaussin integraalin avulla :
ja yleensä:
Näin ollen, tämä integraali on arvoltaan 1, jos ja vain jos , ja sitten, Gaussin on ominaisuuksia todennäköisyyden tiheys satunnaismuuttujan mukaan normaali laki on odotusarvo μ ja varianssi σ 2 .
Nollaan keskitetyt Gaussin funktiot minimoivat Fourier-epävarmuusperiaatteen .
Antaa olla kaksi Gaussin funktiota ja .
Kahden Gaussin funktion summaNäiden kahden toiminnon summaa ei yksinkertaisteta enää.
Toisaalta, jos X 1 ja X 2 ovat riippumattomia Gaussin satunnaismuuttujia, joiden todennäköisyystiheys f 1 ( x ) ja f 2 ( x ), vastaavasti, niin satunnainen muuttuja X = X 1 + X 2 on myös Gaussin ja sen tiheys todennäköisyyden antaa f 1 ( x ): n ja f 2 ( x ) : n konvoluutiotulo .
Kahden Gaussin funktion konversiotuoteKonvoluutio tuote f = f 1 * f 2 kahden Gaussin toimintoja on taas Gaussin funktio, keskimääräisen ja keskihajonta . Todennäköisyyksien puitteissa se on kahden itsenäisen satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys normaalijakaumien jälkeen.
Kahden Gaussin funktion tuoteKahden Gaussin funktion tulo on edelleen Gaussin funktio, mutta todennäköisyystiheysominaisuuksia tuote ei säilytä (normalisointikerroin a ei välttämättä ole sellainen, että integraali on 1). Esimerkiksi kahden Gaussin funktion tulolla, joilla on sama parametri b = b 1 = b 2, on parametreille a = a 1 a 2 , b ja . Todennäköisyyksien puitteissa kahden normaalijakauman tulon todennäköisyystiheydellä on analyyttinen ilmentymä, johon liittyy Besselin funktio .
Koska Gaussin funktio on jatkuvan Fourier-muunnoksen ominaisfunktio, saadaan Poissonin kaavan summaamalla :
Kahdessa ulottuvuudessa eksponenttifunktio voi olla mikä tahansa negatiivinen, selvä neliöllinen muoto . Johtopäätöksenä on, että mikä tahansa iso-arvojen käyrä on ellipsi.
Erityinen 2D-Gaussin funktion muoto on:
missä A on amplitudi, x 0 , y 0 on keskipiste ja σ x , σ y määrittelee x: n ja y: n välisen etäisyyden .
2D-Gaussin funktio on yleensä seuraavanlainen:
missä matriisi
on positiivinen selvä .
Ottamalla uudelleen yleisen muodon merkinnät huomataan, että A osoittaa käyrän yläosan korkeuden ja ( x 0 , y 0 ) sen koordinaatit.
Määrittelemällä:
sitten kello pyörii myötäpäivään kulmalla θ ( vastapäivään riittää ottamaan b: n vastakohta ). Tämä näkyy seuraavissa esimerkeissä:
Gaussin funktioita käytetään laajalti fysiikassa . Itse asiassa monet fyysiset ilmiöt seuraavat Gaussin tyyppistä jakaumaa, joka selitetään keskirajalausekkeella . Gaussin funktioiden kiinnostus fysiikkaan johtuu myös joistakin niiden merkittävistä matemaattisista ominaisuuksista. Esimerkiksi Gaussin funktion Fourier-muunnos on Gaussin funktio , mikä johtaa erityisesti siihen, että lasersäteet ovat Gaussin säteitä .