Symmetrinen toiminto
Vuonna matematiikka , joka on symmetrinen funktio on muuttumaton funktio mukaan permutaatio sen muuttujia. Yleisin tapaus on symmetrinen polynomifunktio , jonka antaa symmetrinen polynomi .
Määritelmä
Toiminto on n muuttujat on symmetrinen jos jokin permutaatio n joukon indeksien {1, ..., n }, seuraavat tasa pätee:
f(x1,...,xei){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
f(x1,...,xei)=f(xs(1),...,xs(ei)).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}) = f (x_ {s (1)}, \ pistettä, x_ {s (n)}).}Jos n = 1, mikä tahansa funktio on symmetrinen. Jos n = 2, funktio on symmetrinen, kun taas funktio ei ole.
(x,y)↦exy{\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ mathrm {e} ^ {xy}}xey{\ displaystyle x \ operaattorin nimi {e} ^ {y}}
Yhtälö on symmetrinen yhtälö, kun funktio on symmetrinen.
f(x1,...,xei)=0{\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}f(x1,...,xei){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
Esimerkkejä
Toiminnot
f(x1,x2)=x1+x2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}} ja
f(x1,x2)=x1x2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} x_ {2}}
ovat symmetrisiä. Diskriminantti vuonna kolme muuttujaa
f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} (x_ {1} -x_ {3}) ^ {2 } (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2}}on myös symmetrinen. Esimerkki symmetrisestä funktiosta, aina kolmessa muuttujassa, joka ei ole polynomi
f(x1,x2,x3)=enint{|x1-x2|,|x1-x3|,|x2-x3|}{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ max \ {| x_ {1} -x_ {2} |, | x_ {1} -x_ {3} |, | x_ {2} -x_ {3} | \}}.
Todentaminen
Funktion symmetrisen tarkistamiseksi ei ole tarpeen testata, että se on invariantti jokaiselle n: lle ! argumenttien permutaatiot. Riittää, kun valitset joukon permutaatioita, jotka muodostavat symmetrisen ryhmän , ja meillä on useita valintoja tällaisille ryhmille .
Kahden muuttujan vaihto
Koska mikä tahansa permutaatio on yhdistelmä muodon transpositioista , funktio on symmetrinen heti, kun se pysyy muuttumattomana kahden mielivaltaisen muuttujan vaihdolla, ja siksi kun
(i,j){\ displaystyle (i, j)}xi{\ displaystyle x_ {i}}xj{\ displaystyle x_ {j}}
f(...,xi,...,xj,...)=f(...,xj,...,xi,...){\ displaystyle f (\ dotsc, x_ {i}, \ dotsc, x_ {j}, \ dotsc) = f (\ dotsc, x_ {j}, \ dotsc, x_ {i}, \ dotsc)}kaikesta kanssa . Tämä vähentää testattavien permutaatioiden määrää .
i,j∈{1,...,ei}{\ displaystyle i, j \ sisään \ {1, \ ldots, n \}}i<j{\ displaystyle i <j}ei2{\ displaystyle n ^ {2}}
Peräkkäisten muuttujien vaihto
Koska mikä tahansa transponointi ilmaistaan myös yhdistelmänä muodon peräkkäisten arvojen transpositioista , riittää ottamaan huomioon peräkkäiset muuttujat ja . Symmetriaa varten riittää, että n - 1 on yhtä suuri
(i,i+1){\ displaystyle (i, i + 1)}xi{\ displaystyle x_ {i}}xi+1{\ displaystyle x_ {i + 1}}
f(...,xi,xi+1,...)=f(...,xi+1,xi,...){\ displaystyle f (\ dotsc, x_ {i}, x_ {i + 1}, \ dotsc) = f (\ ldots, x_ {i + 1}, x_ {i}, \ dotsc)}ovat voimassa .
i=1,...,ei-1{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n-1}
Vaihto kiinteällä muuttujalla
Voimme myös harkita lomakkeen siirtämistä osaksi kansallista lainsäädäntöä . Funktio on silloin symmetrinen, kun ensimmäinen ja -muuttuja voidaan vaihtaa muuttamatta funktion arvoa, toisin sanoen kun
(1,i){\ displaystyle (1, i)}i{\ displaystyle i}
f(x1,...,xi,...)=f(xi,...,x1,...){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dotsc, x_ {i}, \ dotsc) = f (x_ {i}, \ dotsc, x_ {1}, \ dotsc)}varten . Ensimmäisen muuttujan sijasta voit valita minkä tahansa muun muuttujan.
i=2,...,ei{\ displaystyle i = 2, \ ldots, n}
Vähimmäisvaatimus
Symmetrisen ryhmän generaattorijoukko muodostetaan kahdesta permutaatiosta ja . Siksi riittää, että funktio on symmetrinen, että se tyydyttää vain molemmat yhtäläisyydet
Sei{\ displaystyle S_ {n}}(1,2,...,ei){\ displaystyle (1,2, \ ldots, n)}(1,2){\ displaystyle (1,2)}
f(x1,x2,...,xei)=f(x2,...,xei,x1){\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}) = f (x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {1})}ja
f(x1,x2,...,xei)=f(x2,x1,...,xei){\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}) = f (x_ {2}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}.
Pari, jonka muodostaa ja joka voidaan myös korvata millä tahansa pyöreällä permutaatiolla ja peräkkäisten elementtien kaikilla transpositioilla tässä jaksossa.
(1,2,...,ei){\ displaystyle (1,2, \ ldots, n)}(1,2){\ displaystyle (1,2)}
Ominaisuudet
Kun funktioilla on todellisia tai monimutkaisia arvoja, symmetriset funktiot muodostavat n muuttujaa sisältävän funktioiden algebran osa-algebran , toisin sanoen:
- kahden symmetrisen funktion summa on edelleen symmetrinen funktio;
- Kahden symmetrisen funktion tulo on edelleen symmetrinen funktio.
Mikä tahansa symmetrinen järkevä murtoluku ( kommutatiivisen kentän yli ) on kahden symmetrisen polynomin osamäärä.
Esittely
Antaa olla symmetrinen järkevä murtoluku.
F=PQ∈K(X1,...,Xei){\ displaystyle F = {\ frac {P} {Q}} \ K (X_ {1}, \ pistettä, X_ {n})}
Huomaa kaikki permutaatiot .
s∈Sei{\ displaystyle s \ maassa S_ {n}}Qs(X1,...,Xei)=Q(Xs(1),...,Xs(ei)){\ displaystyle Q ^ {s} (X_ {1}, \ pisteitä, X_ {n}) = Q (X_ {s (1)}, \ pisteitä, X_ {s (n)})}
Polynomi on siis symmetrinen (mikä on polynomi) on myös ja .
D.: =∏s∈SeiQs{\ displaystyle D: = \ prod _ {s \ S_ {n}} Q ^ {s}}EI: =FD.{\ displaystyle N: = FD}F=EID.{\ displaystyle F = {\ frac {N} {D}}}
Symmetrization
On alalla ominaisuuden 0, niin symmetrointia on summattu funktiona kaikkien mahdollisten permutaatioiden muuttujien, painotettu n !. Tämä on ilmaus
Sf(x1,...,xei)=1ei!∑s∈Seif(xs(1),...,xs(ei)){\ displaystyle Sf (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = {\ frac {1} {n!}} \ summa _ {s \ muodossa S_ {n}} f (x_ {s (1) }, \ dotsc, x_ {s (n)})}.
Rakenteellisesti funktio on symmetrinen. Symmetrointia operaattori on projektio on tilan toimintojen päälle aliavaruus on symmetrinen funktio.
Sf{\ displaystyle Sf}S{\ displaystyle S}
Laajennukset
Perustavanlaatuinen symmetrinen polynomi lauseen tai Newtonin teoreeman , jonka mukaan kaikenlainen symmetrinen polynomi on polynomi alkeis symmetrinen polynomi ; se ulottuu muodollisiin sarjoihin . Samanlaiset tulokset pätevät jatkuville funktioille , holomorfisille funktioille ja tasaisille funktioille (funktioille ). Meillä on
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
f(x1,...,xei)=g(σ1(x1,...,xei),...,σei(x1,...,xei)){\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = g (\ sigma _ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}))}},
missä ovat elementaariset symmetriset funktiot.
σi{\ displaystyle \ sigma _ {i}}
Yleisemmin, anna olla kompakti ryhmä toimii lineaarisesti , ja anna olla homogeeninen operaattorit tuottavan rengas invariants . Tai vastaava sovellus . Joten sovellus
G{\ displaystyle G}Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}ρ1,...,ρm{\ displaystyle \ rho _ {1}, \ ldots, \ rho _ {m}}R[x1,...,xei]G{\ displaystyle \ mathbb {R} [x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}] ^ {G}}ρ:Rei→Rm{\ displaystyle \ rho: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}x↦(ρ1(x),...,ρm(x)){\ displaystyle x \ mapsto (\ rho _ {1} (x), \ dotsc, \ rho _ {m} (x))}
ρ∗:VS∞(Rm)→VS∞(Rei)G{\ displaystyle \ rho ^ {*}: C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ - C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {G} }on surjektiivinen, mikä on muuttumattomien sujuvien toimintojen peruslause. Tämä tulos perustuu Malgrange valmisteen lause , joka on analoginen ja Weierstrassin valmisteen lause .
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
Huomautuksia ja viitteitä
(de) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian artikkeli
saksaksi otsikkona
” Symmetrische Funktion ” ( katso lista tekijöille ) .
-
N. Bourbaki , Algebra : luvut 4–7 , Springer ,2007( lue verkossa ) , s. IV.57 ja sitä seuraavat.
-
Georges Glaeser , " Erilaiset komposiittitoiminnot ", Ann. matematiikan. , voi. 77, n ° 21963, s. 193-209 ( matemaattiset arvostelut 0143058 , zbMATH 0106.31302 ).
-
(in) Gerald W. Schwartz, " Smooth toiminnot invariant toimien kompakti Lie ryhmä " , Topologia , voi. 14,1975, s. 63-68 ( matemaattiset arvostelut 0370643 , zbMATH 0297.57015 ).
Liitteet
Aiheeseen liittyvä artikkeli
Symmetrinen algebra
Ulkoiset linkit
Bibliografia
- Pierre Cartier , " Klassinen ja moderni symmetristen toimintojen teoria ", Séminaire Bourbaki , n ° 597, 1982-1983, s. 1-23 ( lue verkossa )
- (en) M. Golubitsky (en) ja V. Guillemin , Stable Mappings and Their Singularities , Springer , coll. " GTM " ( n o 14)1973, x + 209 Sivumäärä ( Matemaattiset arvostelut 0341518 , zbMATH 0294.58004 ) , s. 108 ja sitä seuraavat.
- Serge Lang , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ]
- (en) BL van der Waerden , Algebra I , Springer,2003, 265 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-40624-4 , lue verkossa )
- (en) BL van der Waerden , Algebra II ,2003, 284 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-40625-1 , lue verkossa )
- (en) Ian G.Macdonald , Symmetric Functions and Hall Polynomials , Oxford University Press , coll. "Oxfordin matemaattiset monografiat",1979( ISBN 0-19-853530-9 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">