Konservatiivinen voima

Voima sanotaan olevan konservatiivinen , kun työ on tuotettu tämä voima on riippumaton polku, jota seuraa sen pisteen toiminta. Muuten voiman sanotaan olevan ei-konservatiivinen .

Konservatiivisilla voimilla on kolme merkittävää ominaisuutta:

Konservatiivinen voima juontuu potentiaalienergia : ; ${\ textstyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} E_ {p} = - \ operaattorin nimi {\ overrightarrow {grad}} E_ {p}}$
Voiman tekemä työ on yhtä suuri kuin potentiaalienergian vaihtelun päinvastainen ; ${\ displaystyle W_ {A \ oikeanpuoleinen nuoli B} = E_ {p} (A) -E_ {p} (B)}$
Mekaaninen energia järjestelmän, summa kineettisen ja potentiaalienergian, ainoana edellytyksenä toiminnan konservatiiviset voimat on säilynyt : ; potentiaalienergia muunnetaan kineettiseksi energiaksi . $\ Delta E_m = 0$

Vain konservatiivisten voimien alainen järjestelmä säilyttää energiansa ja massansa loputtomiin ilman vaihtoa ympäristön kanssa. Tämä pätee vain jatkuviin, muuttumattomiin ja ihanteellisiin järjestelmiin, ja se on vain likiarvo todellisille järjestelmille, joissa tapahtuu palautuvia muutoksia, joille etsimme yksinkertaistettua mallia, joka on voimassa tietyissä olosuhteissa; yleensä pienille siirtymille, lähes staattisille muutoksille , matalassa paineessa, matalassa lämpötilassa jne.

Määritelmä

Voima sanotaan olevan ”konservatiivinen”, jos työ $W$ $\to$ $B$ tuotettu tämän voiman, kun sen kärki hakemuksen siirtyy pisteestä pisteeseen $B$ , on riippumaton polku jälkeen. ${\ textstyle {\ vec {F}}}$

Jos ajatellaan liikkuva hiukkanen pisteestä pisteeseen $B$ , johon konservatiivinen voima kohdistuu, kaksi liikeradat $C$ $1$ ja $C-$ $2$ kytkentäpisteen pisteeseen $B$ , voima säädetään saman työn:

WAT→B=∫VS1F→⋅dℓ→=∫VS2F→⋅dℓ→.{\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} = \ int _ {C_ {1}} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ int _ { C_ {2}} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}.} ${\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} = \ int _ {C_ {1}} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ int _ { C_ {2}} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}.}$

Välitön seuraus on, että suljetun liikeradan $C tapauksessa$ (ts. Jos hiukkanen palaa alkuperäiseen asentoonsa), konservatiivisen voiman työ on nolla:

WVS=∮VS1+VS2F→⋅dℓ→=0.{\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle C} = \ anint _ {C_ {1} + C_ {2}} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = 0. }

{\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle C} = \ anint _ {C_ {1} + C_ {2}} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = 0. }

Termodynaamisesta näkökulmasta yleinen muutos $A:$ sta $B: ksi,$ joka noudattaa tätä lakia, on erityinen palautuvan muunnoksen tapaus : se on isentropista ja adiabaattista , mutta myös isotermistä .

Konservatiivisen voiman potentiaalinen energia

Potentiaalin olemassaolo

Tarkastellaan konservatiivista voimaa, joka on sen sovelluskohdan sijainnin funktio, toisin sanoen sellainen, joka on koordinaattien $x$ , $y$ ja $z$ funktio . Seuraavan polun itsenäisyyden ansiosta, riippumatta suljetusta polusta $C$ , voiman työ on nolla: ${\ textstyle {\ vec {F}}}$

{\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle C} = \ anint _ {C} {\ vec {F}} (x, y, z) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = 0}

Mukaan Stokesin lause : . Tämä suhde merkitsee sitä, että on olemassa skalaarikentän $E$ $p$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ siten, että: ${\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {F}} = {\ vec {0}}$

F→=-∇→Es=-grklod→⁡Es.{\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} \, E_ {p} = - \ operaattorin nimi {\ overrightarrow {grad}} E_ {p}.} ${\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} \, E_ {p} = - \ operaattorin nimi {\ overrightarrow {grad}} E_ {p}.}$

Kentän $E p$ , homogeeninen erään energiaa , kutsutaan potentiaalienergia voima. Sen määrittely, kenttä $E p$ on määritelty jopa vakio. Jälkimmäisen arvo on yleensä mielivaltainen, jolloin se valitaan laskelmien yksinkertaistamiseksi. Merkki “ $-$ ” säilytetään mielivaltaisesti useimmissa tapauksissa niin, että vakaa tasapainotila vastaa minimiin liittyvää potentiaalienergiaa.

Vastavuoroinen

Harkitse päinvastoin potentiaalista $E$ $p$ johtuvaa voimaa : $\ vec {F}$

{\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} \, E_ {p} = - \ operaattorin nimi {\ overrightarrow {grad}} E_ {p}}

Huomatessamme, että se on tarkka differentiaalimuoto , havaitsemme, että voiman työ saa ilmauksen: ${\ displaystyle \ mathrm {d} E_ {p} = {\ vec {\ nabla}} E_ {p} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}}$

WAT→B=∫ATBF→⋅dℓ→=∫ATB-∇→Es⋅dℓ→=-∫ATBdEs=Es(AT)-Es(B).{\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} = \ int _ {A} ^ {B} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ int _ {A} ^ {B} - {\ vec {\ nabla}} E_ {p} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = - \ int _ {A} ^ {B} \ mathrm { d} E_ {p} = E_ {p} (A) -E_ {p} (B).}

{\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} = \ int _ {A} ^ {B} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ int _ {A} ^ {B} - {\ vec {\ nabla}} E_ {p} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = - \ int _ {A} ^ {B} \ mathrm { d} E_ {p} = E_ {p} (A) -E_ {p} (B).}

Siksi työ riippuu vain potentiaalienergian erosta. Potentiaalista johtuvan voiman työ ei siis ole riippuvainen kulkemasta polusta, joten tällainen voima on konservatiivinen.

Mekaanisen energian säästäminen

Konservatiivinen voima tarkistaa mekaanisen energian säilymisen, jos sen potentiaali ei riipu nimenomaisesti ajasta. Konservatiiviset voimat ovat niin nimetty, koska mekaanisen energian järjestelmän alistetaan tällaisten voimien pysyy vakiona: mekaanisen energian järjestelmä on konservoitunut. Tämä ominaisuus on välitön seuraus kineettisen energian lauseesta . Hiukkaselle, joka kulkee reitin, joka yhdistää pisteen $A$ pisteeseen $B$ ja altistuu useille voimille, meillä on yhtäältä yhtäläisyys kineettisen energian vaihtelun ja voimien työn välillä:

{\ displaystyle {\ underderset {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} {\ Delta}} E_ {c} = E_ {c} (B) -E_ {c} (A) = W _ {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} = W _ {\ scriptscriptstyle A \ oikeanpuoleinen B} ^ {\ \ mathrm {nc}} + W _ {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} ^ {\ \ mathrm {c}}}

ja toisaalta konservatiivisten voimien työ, joka saadaan potentiaalin vaihtelusta pisteiden $A$ ja $B välillä$ :

{\ displaystyle W _ {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} ^ {\ \ mathrm {c}} = E_ {p} (A) -E_ {p} (B) \,}

;

josta päätellään mekaanisen energian lause :

{\ displaystyle {\ underderset {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} {\ Delta}} E_ {m} = {\ underderset {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} {\ Delta}} (E_ {c} + E_ {p} ) = E_ {m} (B) -E_ {m} (A) = W _ {\ skriptikirjoitustyyli A \ oikeanpuoleinen nuoli B} ^ {\ \ mathrm {nc}}}

Ei-konservatiivisten voimien puuttuessa havaitaan, että järjestelmän mekaaninen energia , kineettisen energian ja potentiaalienergian summa, säilyy:

ΔAT→BEm=ΔAT→B(Evs.+Es)=0.{\ displaystyle {\ underderset {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} {\ Delta}} E_ {m} = {\ underderset {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} {\ Delta}} (E_ {c} + E_ {p} ) = 0.}

{\ displaystyle {\ underderset {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} {\ Delta}} E_ {m} = {\ underderset {\ scriptscriptstyle A \ rightarrow B} {\ Delta}} (E_ {c} + E_ {p} ) = 0.}

Edellä oleva ilmaisu osoittaa, että mekaaninen energia jakautuu kineettisen energian ja potentiaalienergian välillä ja voi siksi siirtyä peräkkäin toisistaan. Potentiaalienergia on energiaa, jota mahdollisesti muuntaa kineettistä energiaa.

Esimerkkejä

Konservatiiviset voimat

Tässä on joitain esimerkkejä konservatiivisista voimista:

painovoima joka juontuu painovoiman potentiaalienergia ; ${\ displaystyle {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) = m \, {\ vec {G}} ({\ vec {r}}) = - {\ vec {\ nabla}} \ vasen (m \, \ Phi ({\ vec {r}}) \ oikea)}$ ${\ displaystyle E_ {p} ({\ vec {r}}) = m \, \ Phi ({\ vec {r}})}$
sähköstaattinen voima on johdettu sähkö- potentiaalista energiaa ; ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q \, {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \, (q \, V)}$ ${\ textstyle E_ {pe} = q \, V}$
paluuvoimaa olevan ihanteellinen jousen johdettu elastisen potentiaalienergia ; ${\ textstyle {\ vec {F}} = - k \, x \, {\ vec {e}} _ {x}}$ ${\ textstyle {E_ {p, el}} = {\ frac {1} {2}} k \, {x} ^ {2}}$
yleisesti ottaen joustavan kappaleen voima johtuu elastisesta potentiaalienergiasta . ${\ textstyle {\ vec {F}} = - E \, S \, \ varepsilon \, {\ vec {e}} _ {x}}$ ${\ textstyle {E_ {p, el}} = {\ frac {1} {2}} E \, S \, {\ varepsilon} ^ {2}}$

On huomattava, että todelliset kappaleet eivät ole koskaan täysin elastisia yleisessä tapauksessa ja että niihin kohdistuu melkein aina ei-konservatiivisia voimia (ainakin kitkaa). Heidän todellista käyttäytymistään voidaan arvioida vain puhtaasti joustavan mallin (ihanteellisen) avulla tarkoissa olosuhteissa: pienissä lähes staattisissa muodonmuutoksissa ja ilman virumista .

Toimimattomien voimien tapaus

Siirtymän suhteen kohtisuoraan kohdistuvat voimat tuottavat nolla työtä järjestelmässä. Siksi se ei riipu kulkemasta polusta: nämä voimat voidaan luokitella konservatiivisten voimien luokkaan. Jotkut kirjoittajat luokittelevat ne ei-konservatiivisten voimien joukkoon, koska ne eivät riipu yksinomaan järjestelmän sijainnista: ne riippuvat nopeudesta tai ajasta. Näillä näkökohdilla ei ole juurikaan merkitystä, koska nämä voimat eivät osallistu järjestelmän mekaanisen energian vaihteluun.

Joitakin esimerkkejä voimista, jotka eivät toimi:

magneettinen voima kohdistuu hiukkasen sähkövaraus $q$ , nopeudella upotetaan vakio magneettikenttä : sen työn $W$ $\to$ $B$ on aina nolla, koska voima kohdistuu kohtisuoraan suuntaan . Vain hiukkasen suunta muuttuu: sen kineettinen energia pysyy muuttumattomana. Näin ei ole enää, jos magneettikenttä vaihtelee ajan myötä, koska se aiheuttaa vaihtelevan sähkökentän; ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q \, {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}}}$ ${\ textstyle {\ vec {vb}}}$ ${\ vec {vb}}$
pinnan reaktiovoima on aina kohtisuorassa pintaa vastaan. Sen työ on tällöin tyhjä, kun järjestelmä siirtyy tälle pinnalle.

Ei-konservatiiviset joukot

Ei-konservatiivisten voimien työ riippuu kulkemasta polusta. Tämä riippuvuus seuraamasta polusta ilmenee mekaanisen työn muutoksesta toiseen energiamuotoon muutoksen edetessä:

kitka voimia ( kiinteä tai neste ): työ muuttuu lämmön ;
paineen ja viskositeetin voimat : työ muuttuu turbulenssiksi ulkoisessa nestemäisessä väliaineessa ja sitten lämpöksi;
muodonmuutosvoimat joustamattoman iskun aikana: työ katkaisee kemialliset sidokset ;
sähkövarauksen $q$ hiukkaselle kohdistettu sähkövoima muuttuvan magneettikentän tuottamassa sähkökentässä suljetulla tiellä suorittaa nollasta poikkeavan työn.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Huomautuksia

Sen yleinen ilmaisu fysiikassa on kiertoteoreema . ${\ displaystyle \ textstyle \ anint _ {C} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ overrightarrow {\ ell}} = \ iint _ {S} \ left ({\ vec {\ nabla} } \ wedge {\ vec {F}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}$
Pyörimis- ja kaltevuusoperaattorien kokoonpanon tunteminen . ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge \ left ({\ vec {\ nabla}} \, U \ right) = {\ vec {0}}}$
Oletamme tässä ilmeisesti, että ympäröivä tila on tai ainakin supistuva lajike . Poincarén lauseen soveltaminen varmistaa, että suljettu muoto on tässä tapauksessa tarkka . Joten tässä . ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {F}} = {\ vec {0}} \ viittaa siihen, että U on olemassa, {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla }} U}$
${\ displaystyle \ textstyle W_ {C} = q \ anint _ {C} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = q \ iint _ {S} \ left ( {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {E}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = - q \ iint _ {S} {\ frac {\ osal { \ vec {B}}} {\ ositettu t}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = - q \, {\ frac {\ partituali \ Phi _ {B}} {\ osittainen t} }}$

Viitteet

FP Beer , Ferdinand P. Beer ja ER Johnston , Engineering Mechanics vol.2: Dynamics , De Boeck Supérieur, 27. helmikuuta 2009( ISBN 978-2-8041-0510-5 , luettu verkossa ) , s. 751
José-Philippe Perez , fysiikka, johdanto , Bryssel / Pariisi, De Boeck Supérieur, 14. maaliskuuta 2008, 492 Sivumäärä ( ISBN 978-2-8041-5573-5 , luettu verkossa ) , s. 160
Harris Benson ( käännös englanniksi) Fysiikka I: mekaniikka , Louvain-la-Neuve / Pariisi, De Boeck Superieur3. syyskuuta 2015, 735 Sivumäärä ( ISBN 978-2-8041-9369-0 , luettu verkossa ) , s. 264
Vincent Boqueho , All Physics at Hand - 2. painos. , Dunod, 30. maaliskuuta 2016, 544 Sivumäärä ( ISBN 978-2-10-074804-4 , lue verkossa ) , s. 135
Tamer Bécherrawy , sähköstaattiset ja magnetostaatit , Pariisi, Lavoisier,1. st syyskuu 2011, 368 Sivumäärä ( ISBN 978-2-7462-3148-1 , luettu verkossa ) , s. 202
Douglas C. Giancoli , yleinen fysiikka: sähkö ja magnetismi , De Boeck Supérieur, Kesäkuu 1993, 311 Sivumäärä ( ISBN 978-2-8041-1701-6 , luettu verkossa ) , s. 216