Injektio (matematiikka)

Kartta f sanotaan olevan injektio tai on injektio , jos jokin osa sen saapumisesta joukko on korkeintaan edeltäjä mukaan f , jonka suuruus on selvää, että kaksi erillistä elementtiä sen alkumekanismista ei voi olla sama kuva , jonka f .

Kun f: n alku- ja loppusarjat ovat yhtä suuret kuin todellinen viiva ℝ, f on injektiivinen vain ja vain, jos sen graafi leikkaa minkä tahansa vaakasuoran linjan enintään yhdessä pisteessä.

Jos injektiohakemus on myös surjektiivinen , sen sanotaan olevan bijektiivinen .

Muodollinen määritelmä

Kartta f  : X → Y on injektiivinen, jos kaikilla y ∈ Y: llä on enintään yksi x ∈ X, niin että f ( x ) = y , joka on kirjoitettu:

∀x∈X∀x′∈X(f(x)=f(x′)⇒x=x′){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (f (x) = f (x') \ Rightarrow x = x '\ right)}.

Edellinen implikaatio vastaa sen ristiriitaisuutta  :

∀x∈X∀x′∈X(x≠x′⇒f(x)≠f(x′)){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (x \ neq x' \ Rightarrow f (x) \ neq f (x ') \ right)}.

Konkreetti esimerkki

Otetaan esimerkiksi lomakeskus, jossa turistiryhmä on tarkoitus majoittaa hotelliin. Jokainen tapa jakaa nämä turistit hotellin huoneissa voidaan edustaa turistijoukon X sovelluksella kaikkiin huoneisiin, Y (jokainen turisti liittyy huoneeseen).

• Hotelliasiamies haluaa, että hakemus on surjektiivinen , toisin sanoen jokainen huone on varattu . Tämä on mahdollista vain, jos turisteja on vähintään yhtä paljon kuin huoneita.
• Turistit haluavat, että sovellus on injektoiva, toisin sanoen jokaisella heistä on oma huone . Tämä on mahdollista vain, jos turistien määrä ei ylitä huoneiden määrää.
• Nämä rajoitukset ovat yhteensopivia vain, jos turistien määrä on yhtä suuri kuin huoneiden määrä. Tällöin on mahdollista jakaa turistit siten, että huoneita on vain yksi ja että kaikki huoneet ovat käytössä: sovellus on silloin sekä injektio- että surjektiivinen; sanomme sen olevan bijektiivinen .

Esimerkkejä ja vasta-esimerkkejä

Tarkastellaan kartta f  : ℝ → ℝ määritellään f ( x ) = 2 x  + 1. Tämä kartta on injektiivinen (ja jopa bijective), koska kaikki mielivaltaisen reaalilukuja x ja x ' , jos 2 x  + 1 = 2 x'  + 1 ja sitten 2 x  = 2 x ′ , ts. X  =  x ′ .

Toisaalta kartta g  : ℝ → ℝ, jonka g ( x ) = x 2 määrittelee, ei ole injektoiva, koska (esimerkiksi) g (1) = 1 = g (−1).

Toisaalta, jos määritämme kartan h  : ℝ +  → ℝ samalla suhteella kuin g , mutta määritysjoukon ollessa rajoitettu positiivisten reaalien joukkoon , niin kartta h on injektiivinen. Yksi selitys on, että annetuille mielivaltaisille positiivisille reaaleille x ja x ′ , jos x 2  =  x ′ 2 , niin | x | = | x ′ |, joten x  = x ′ .

Ominaisuudet

• Olkoon f hakemus X on Y .
  • f on injektiivinen (jos ja) vain jos X on tyhjä joukko tai jos on olemassa kartta g  :  Y  →  X siten, että g ∘ f on yhtä suuri kuin kartta identiteetti on X , ts jos ja vain jos X on tyhjä tai f on jäljellä kääntyvä .
  • f on injektio, jos (ja vain jos) se on yksinkertaistettu vasemmalle , ts. että kaikille kartoituksille g , h  :  Z  →  X , f ∘ g = f ∘ h merkitsee g  = h . Toisin sanoen injective kartat ovat juuri monomorphisms n luokan sarjaa .
  • Minkä tahansa kartan g välillä Y: stä Z  :
    1. jos yhdistekartta g ∘ f on injektoiva, f on injektoiva;
    2. jos f ja g ovat injektoivia, niin g ∘ f on injektio;
    3. jos f on surjektiivinen ja jos g ∘ f on injektio, g on injektio.
  • Seuraavat neljä ominaisuutta vastaavat:
    • f on injektio;
    • mikä tahansa osa on X on käänteinen kuva sen suora kuva  : f -1 ( f ( )) =  ;
    • kaikki osat ja B on X , meillä on f (  ∩  B ) = f ( ) ∩  f ( B );
    • miltään osin on X , suora kuva komplementti on sisältyy komplementin suoraan kuvan , ts f ( X \ A ) ⊂ Y \ f ( A ).
• Mikä tahansa kartta h  :  Z  →  Y voidaan hajottaa muodossa h  = f ∘ g sopivaa injektiota f ja surjektiota g varten . Tämä hajoaminen on ainutlaatuinen, lukuun ottamatta yhden isomorphism , ja f voidaan valita yhtä suuri kuin kanoninen injektio , kuvan h ( Z ) on h , saapumisaikaan joukko Y on h .
• Jos f  :  X  →  Y on injektiivinen, niin Y on ainakin yhtä monta alkiota kuin X , siinä mielessä kardinaalit .
• Jos merkitsemme E ≤ F -ominaisuudella "joukko E on injektoitu joukkoon F  ", niin ≤ on "  ennakkotilaus  " (laajassa merkityksessä, ts . Oikealla luokalla : kaikkien joukkojen oma), joka aiheuttaa "  järjestyksen  " kardinaaliluokalle. Refleksiivisyyden ja transitiivisuusehdon käsiteltiin aikana edellisissä esimerkeissä, ja antisymmetry on tavoitteena lause Cantor-Bernstein . Se, että tämä järjestys on summa , toisin sanoen, että kahdelle joukolle E ja F , meillä on ainakin yksi suhteista E ≤ F tai F ≤ E , todistetaan käyttämällä Zornin lemmaa , c 'on kardinaali vertailulause . Tämä tulos vastaa jopa valittua aksiomia .
• Morfismi on ryhmä X- ryhmäksi Y on injektio, jos ja vain jos sen ydin on vähennetty osa- triviaali ryhmä ryhmän X .

Tarina

Termi "injektio" keksi MacLane vuonna 1950, kun taas adjektiivi "injektio" ilmestyi kaksi vuotta myöhemmin, vuonna 1952, että Foundations of algebraic topology vuoteen Eilenberg ja Steenrod .

Huomautuksia ja viitteitä

1. Katso esimerkiksi korjatun harjoitukset luvun "Injection, surjektio, bijektio" on Wikiopisto .
2. (sisään) Jeff Miller "  Joidenkin matematiikan sanojen varhaisimmat tunnetut käytöt (I)  " .