Keksintö (matematiikka)
Vuonna matematiikassa , An involuutio on bijective sovellus , joka on itsensä vastavuoroisesti , toisin sanoen, joiden perusteella kukin elementti on kuva sen kuvan. Näin on esimerkiksi muutoksen merkin joukko todellinen määrä , tai symmetrioihin tasossa tai tilaa on euklidisen geometrian . In lineaarialgebraa , involuting endomorphisms kutsutaan myös symmetrioita.
Kytkentöjä esiintyy monilla matematiikan aloilla, erityisesti kombinatorikoissa ja topologiassa . Kääntyminen voi liittyä myös kaksinaisuuden ilmiöön .
Virallinen määritelmä
Sanomme, että sovellus on osittainen (tai että se on E: n involuutio ), jos kaikesta . Toisin sanoen : komposiitti on f itsensä kanssa on identiteetti kartta ja E .
Ominaisuudet
Kartta f on E itseensä on kiertyminen jos ja vain jos se on bijektio ja siten, että f -1 = f (kuva ja edeltäjä minkä tahansa osan E yhtyvät).
Yhdiste g ∘ f kahden involutions f ja g on E on surkastuttavassa jos ja vain jos f ja g kulkevat , toisin sanoen, jos f ∘ g = g ∘ f .
Olkoon f E : n involuutio :
- jos g on bijektio E : stä F: ään , vastakkaisella bijektiolla g −1 , niin g ∘ f ∘ g −1 on F: n involuutio ;
- jos g on kartoitus E on E kuin g ∘ f ∘ g = f , niin f ∘ g ja g ∘ f ovat involutions ja E .
Esimerkkejä
In lineaarialgebraa , jos K on kenttä ja E K -vektorisysteemi tila:
- symmetries ja E ovat endomorphisms siirtämällä alkaen E .
- erityisesti, on vektori tila M n ( K ) neliön matriisien järjestys n kanssa kertoimet K , osaksi on surkastuttavassa endomorphism.
- kun E on rajallinen ulottuvuus n , voidaan liittää kuhunkin endomorphism ja E sen matriisin (osa M n ( K )) on kiinteä perusteella ; tämä matriisi on symmetrinen vain ja vain, jos A × A on yhtä suuri kuin identiteettimatriisi I n .
In algebran , soveltamalla ryhmä sinällään kuhunkin elementtiin x liittää sen symmetrinen x -1 on surkastuttavassa: ( x -1 ) -1 = x .
In analyysi , kaikki todelliset luvut b ≠ 0 ja , kartat määritelty ℝ \ { } ja määritellään ℝ, ovat involutions.
Kompleksikonjugaattisignaali on surkastuminen ℂ . Yleisemmin :
- järjestyksessä n olevien neliömäisten matriisien joukossa, joilla on monimutkaiset kertoimet, kartta, joka mihin tahansa matriisiin liittyy sen lisäaine, on involuutio.
- toisen asteen laajennuksessa sovellus, joka mihin tahansa elementtiin yhdistää sen konjugaatin, on osittainen.
On klassinen logiikka , negaatio on surkastuttavassa: "ei ole A" vastaa "A"; mutta intuitionistisessa logiikassa näin ei ole .
Permutaatio on kiertyminen jos ja vain jos se hajoaa disjoint sykliä pituus vähemmän kuin tai yhtä suuri kuin 2. Se on siis yksinomaan koostuu kiinteiden pisteiden ja säädöksistä.
Yleistys
Käsite involuution voidaan laajentaa muihin matemaattisten objektien: todellakin, jos pidämme monoidi ( M , ✻, e ), sanomme, että elementti on M on involution (lakia ✻) tai on surkastuttavassa (in M ) jos a ✻ a = e .
Silloin meillä on minkä tahansa luonnollisen luvun k suhteen : a 2 k = e k = e, joten a 2 k + 1 = e ✻ a = a .
Neutraali elementti on monoidi on surkastuminen tämän monoidi.
Yleinen tapaus on rengasversio toisen lain suhteen.