Pienempi massa
Fysiikassa alennetussa massa on massa johtuvan kuvitteellinen kohde toteutetaan yksinkertaistaa vuorovaikutuksessa ongelmia kahden kappaleen ja Newtonin mekaniikka .
Pienennetty massa on yleensä merkitty kreikkalaisella kirjaimella μ ja sen SI-yksiköt ovat samat kuin massa: kilogrammat (kg).
Yhtälöt
Kahden ruumiin ongelma
Anna kahden keskenään vuorovaikutuksessa olevan hiukkasen, toisen massan ja toisen massan , näiden kahden massan liike voidaan vähentää yhden (pienennetyn) massan hiukkasen liikkeeksi :
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}μ{\ displaystyle \ mu}
μ=11m1+1m2=m1m2m1+m2 .{\ displaystyle \ mu = {1 \ yli {{1 \ yli m_ {1}} + {1 \ yli m_ {2}}}} = = {{m_ {1} m_ {2}} \ yli {m_ {1 } + m_ {2}}} \.}
Tähän massaan kohdistuva voima on alkumassojen välisten voimien tulos. Sitten ongelma ratkaistaan matemaattisesti korvaamalla massat seuraavasti:
m1→μ{\ displaystyle m_ {1} \ rightarrow \ mu}
ja
m2→0{\ displaystyle m_ {2} \ rightarrow 0}
N kehon ongelma
Pienennetyn massan määritelmä voidaan yleistää N-kehon ongelmaan :
μ=(∑i=1ei1mi)-1{\ displaystyle \ mu = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m_ {i}}} \ oikea) ^ {- 1}}
Lähentäminen
Kun massa on paljon suurempi kuin massa , alennettu massa on suunnilleen yhtä suuri kuin alempi massoista:
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}
μ=m1m2m1+m2 =m1m2m1(1+m2m1) =m21+m2m1 ≈m2{\ displaystyle \ mu = {{m_ {1} m_ {2}} \ yli {m_ {1} + m_ {2}}} \ = {{m_ {1} m_ {2}} \ yli {m_ {1 }} ({1 + {{m_ {2}} \ yli {m_ {1}}})}} = = {{m_ {2}} \ yli {1 + {{m_ {2}} \ yli {m_ {1}}}}} \ \ noin m_ {2}}
Johtaminen
Mekaniikan yhtälöt johdetaan seuraavasti.
Newtonin mekaniikka
Newtonin toinen laki voi ilmaista kohdistamaa voimaa hiukkasen 2 hiukkasen 1 kuten
F12=m1klo1.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}Hiukkasen 1 hiukkaselle 2 kohdistama voima on
F21=m2klo2.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}Newtonin kolmas laki todetaan, että kohdistama voima hiukkaset 2 hiukkasen 1 on yhtä suuri ja vastakkainen kohdistamaa voimaa hiukkasen 1 hiukkasen 2
F12=-F21.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}. \! \,}Niin,
m1klo1=-m2klo2.{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {a} _ {1} = - m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}ja
klo2=-m1m2klo1.{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = - {m_ {1} \ yli m_ {2}} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}Suhteellinen kiihtyvyys suht kappaleiden välille saadaan
klorel=klo1-klo2=(1+m1m2)klo1=m2+m1m2klo1=F12μ.{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = \ vasen (1 + {\ frac {m_ {1} } {m_ {2}}} \ oikea) \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {m_ {2} + m_ {1}} {m_ {2}}} \ mathbf {a} _ {1 } = {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {\ mu}}.}Tämä tekee mahdolliseksi päätellä, että hiukkanen 1 liikkuu suhteessa hiukkasen 2 asemaan ikään kuin se olisi alennettua massaa vastaava massakappale.
Lagrangian mekaniikka
Kahden rungon ongelman kuvailee Lagrangian mekaniikassa seuraava
Lagrangian
L=12m1r˙12+12m2r˙22-V(|r1-r2|){\ displaystyle L = {1 \ yli 2} m_ {1} \ mathbf {\ dot {r}} _ {1} ^ {2} + {1 \ yli 2} m_ {2} \ mathbf {\ dot {r }} _ {2} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} |) \! \,}missä r i on hiukkasen sijaintivektori (massa m i ) ja V on potentiaalienergian funktio, joka riippuu vain hiukkasten välisestä etäisyydestä (välttämätön edellytys järjestelmän siirtymävaihtelun ylläpitämiseksi). Me määrittelemme
i{\ displaystyle i}
r=r1-r2{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}ja sijoitamme käytetyn koordinaatiston alkuperän siten, että se osuu massakeskipisteen kanssa
m1r1+m2r2=0{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0}.
Tällä tavalla,
r1=m2rm1+m2,r2=-m1rm1+m2.{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ mathbf {r} _ {2} = {\ frac {-m_ {1} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Korvaamalla tämän Lagrangianissa saamme
L=12μr˙2-V(r),{\ displaystyle L = {1 \ yli 2} \ mu \ mathbf {\ piste {r}} ^ {2} -V (r),}uusi Lagrangian alennetun massan hiukkaselle:
μ=m1m2m1+m2.{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Siksi olemme supistaneet alkuperäisen kahden ruumiin ongelman yksinkertaistetuksi yhden ruumiin ongelmaksi.
Huomautuksia ja viitteitä
(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu
englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista
" Reduced mass " ( katso kirjoittajaluettelo ) .
John R. Taylor ( kääntäjänä englanniksi Tamer Becherrawy ja Aurélie Cusset), klassinen mekaniikka , Bryssel / Pariisi, De Boeck ,2012, 877 Sivumäärä ( ISBN 978-2-8041-5689-3 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">