Dirac-matriisi
Dirac matriisit ovat matriiseja , jotka otettiin käyttöön Paul Dirac aikana tutkimus on relativistinen aallon yhtälö on elektronin .
Kiinnostuksen kohde
Schrödinger-yhtälön relativistinen vastine on Klein-Gordonin yhtälö . Tämä kuvaa spin 0: n hiukkasia, eikä se sovellu elektroneille, jotka ovat spin 1/2. Dirac yritti sitten löytää lineaarisen yhtälön, kuten Schrödingerin muodossa:
i∂ψ∂t=(1ia⋅∇+βm)ψ≡Hψ{\ displaystyle i {\ frac {\ partituali \ psi} {\ osittainen t}} = \ vasen ({\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ alpha} \ cdot \ nabla + \ beta m \ oikea) \ psi \ equiv H \ psi}jossa on vektori aalto toiminto , massa hiukkasen, Hamiltonin ja ovat vastaavasti vektori hermitic matriisien ja hermeettisen matriisi . Diracin yhtälö on noudatettava seuraavia kolme rajoitteet:
ψ{\ displaystyle \ psi} m{\ displaystyle m}H{\ displaystyle H}a,β{\ displaystyle \ mathbf {\ alpha}, \ beta}
- Komponenttien on täytettävä Klein-Gordonin yhtälö, tasoaalto, jonka ratkaisu on:
ψ{\ displaystyle \ psi}
E2=s2+m2{\ displaystyle E ^ {2} = \ mathbf {p} ^ {2} + m ^ {2}} ;
- On virran tiheys quadrivector joka on konservoitunut ja jonka ajallinen komponentti on positiivinen tiheys (tunnistettu sähkövaraus);
- Komponentit eivät saa täyttää mitään lisäedellytyksiä, toisin sanoen, että ne ovat tiettynä ajankohtana riippumattomia toimintoja .ψ{\ displaystyle \ psi}x{\ displaystyle x}
Dirac-matriisit
Dirac ehdotti, että hermiittimatriisit ovat antommommutantteja ja neliöitä yhtä. Eli he noudattavat seuraavaa algebraa :
{ai,ak}=0,i≠k{\ displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {k} \ right \} = 0 \ ,, \ qquad i \ neq k}
{ai,β}=0{\ displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ beta \ right \} = 0}
ai2=β2=Minä{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I}
missä suluissa on anti-switch ja identiteettimatriisi.
{AT,B}=ATB+BAT{\ displaystyle \ vasen \ {A, B \ oikea \} = AB + BA}Minä{\ displaystyle I}
Neliämällä Dirac-yhtälö varmistamme heti, että ensimmäinen ehto täyttyy. Esittelemme sitten oikeat Dirac-matriisit :
yμ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}
y0=β{\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta}
yi=βai,i=1,2,3{\ displaystyle \ gamma ^ {i} = \ beta \ alfa ^ {i} \ ,, \ qquad i = 1,2,3}
{yμ,yv}=2gμvMinä,μ,v=0,1,2,3{\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = 2g ^ {\ mu \ nu} I \ ,, \ qquad \ mu, \ nu = 0,1, 2 , 3}
missä on Minkowski-metriikka.
gμv=diklog(1,-1,-1,-1){\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}
Slash Feynman
Esittelemme myös Feynmanin " kauttaviivan " :
⧸klo=yμkloμ{\ displaystyle \ not \! a = \ gamma ^ {\ mu} a _ {\ mu}}Diracin yhtälö sitten on muotoa:
(iyμ∂μ-m)ψ≡(i⧸∂-m)ψ=0{\ displaystyle \ vasen (i \ gamma ^ {\ mu} \ osittainen _ {\ mu} -m \ oikea) \ psi \ equiv \ vasen (i \ not \! \ osittainen -m \ oikea) \ psi = 0}Täsmällisen esityksen, nimeltään "vakioesitys", antaa:
y0=(Minä00-Minä){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ aloita {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}
yi=(0σi-σi0){\ displaystyle \ gamma ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\ - \ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
β=(Minä00-Minä){\ displaystyle \ beta = {\ aloita {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}
ai=(0σiσi0){\ displaystyle \ alpha ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\\ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
missä on 2 × 2 yksikkömatriisi ja ovat Paulin matriisit .
Minä{\ displaystyle I}σi{\ displaystyle \ sigma ^ {i}}
Tämä esitys on erityisen käytännöllistä, koska se korostaa spinori merkki (johtuen puoli-kokonaisluku spin ) ja aallon toiminta on elektronin ja se erottaa komponentit positiivisen ja negatiivisen energian . Joten kirjoittamalla aaltofunktio bispinoriksi :
ψ=(ϕχ){\ displaystyle \ psi = {\ alku {pmatrix} \ phi \\\ chi \ end {pmatrix}}}missä ja ovat kaksi spinoria , Dirac-yhtälöstä tulee:
ϕ{\ displaystyle \ phi}χ{\ displaystyle \ chi}
i∂ϕ∂t=mϕ+1iσ⋅∇χ{\ displaystyle i {\ frac {\ partituali \ phi} {\ osittainen t}} = m \ phi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ chi}
i∂χ∂t=-mχ+1iσ⋅∇ϕ{\ displaystyle i {\ frac {\ partituali \ chi} {\ osittainen t}} = - m \ chi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ phi}
Esittelemällä konjugaattiaaltofunktio seuraavasti:
ψ¯=ψ†y0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}Löydämme :
ψ¯(i⧸∂←+m)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ vasen (i {\ overleftarrow {\ not \! \ osal}} + m \ oikea) = 0}Ja Dirac-yhtälön avulla tämä antaa:
ψ¯(⧸∂←+⧸∂→)ψ≡∂μ(ψ¯yμψ)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ vasen ({\ overleftarrow {\ not \! \ partic}} + {\ overrightarrow {\ not \! \ partic}} \ right) \ psi \ equiv \ parts _ { \ mu} \ vasen ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ oikea) = 0}Mikä antaa konservoidun virran:
jμ=ψ¯yμψ{\ displaystyle j ^ {\ mu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}Kenen ajallinen komponentti on positiivinen.
j0=ρ=ψ¯y0ψ=ψ†ψ{\ displaystyle j ^ {0} = \ rho = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {0} \ psi = \ psi ^ {\ dagger} \ psi}
Määritämme myös matriisin:
y5=iy0y1y2y3{\ displaystyle \ \ gamma ^ {5} = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}Käyttö tekee siten mahdolliseksi rakentaa erilaisia yhdistelmiä, kuten:
y5{\ displaystyle \ gamma ^ {5}}
- ja vektorien : ;ψ¯yμψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
- of pseudovecteurs : ;ψ¯y5yμψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
- of skalaareja : ;ψ¯ψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ psi}
- of pseudoscalar : .ψ¯y5ψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ psi}
Varmistamme helposti kaiken tämän formalismin relativistisen kovarianssin .
Jäljet
Hiukkasfysiikan poikkileikkausten laskemisessa on usein hyödyllistä saada nämä muutamat tulokset näiden matriisien jälkiin :
-
Tr[yayβ]=4gaβ{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 4g ^ {\ alpha \ beta}} ;
-
Tr[yayβyμyv]=4(gaβgμv-gaμgβv+gavgβμ){\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu}] = 4 (g ^ {\ alfa \ beta} g ^ {\ mu \ nu} -g ^ {\ alpha \ mu} g ^ {\ beta \ nu} + g ^ {\ alpha \ nu} g ^ {\ beta \ mu})} ;
-
Tr[y5]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5}] = 0} ;
-
Tr[y5yayβ]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 0} ;
-
Tr[{\ displaystyle Tr [}pariton määrä .y]=0{\ displaystyle \ gamma] = 0}
Edustukset
Dirac-matriisit määräytyvät täysin suhteesta:
yμyv+yvyμ=2ημv.Minä4{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} .I_ {4}}missä on Minkowski-tensori . Meillä on myös .
ημv{\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}yμyμ=4{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu} = 4}
Edelliseen suhteeseen on ääretön määrä mahdollisia ratkaisuja. 4 × 4-matriiseille ratkaisusarja on 4-ulotteinen algebra , huomattava Clifford-algebra , ja neljä Dirac-matriisia muodostavat perustan. Valitun perustan mukaan Dirac-matriiseilla on erilaiset kertoimet, ja tätä valintaa kutsutaan Dirac-matriisien esitykseksi .
VS-{\ displaystyle \, \ mathbb {C} -}VSl1,3VS{\ displaystyle \, Cl_ {1,3} \ mathbb {C} \,}
Diracin edustus
Tämä on "tavallinen esitys". Saamme sen Weylin edustuksesta yksikköoperaattorin U ansiosta:
U=12(11-11){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \ end {pmatrix}}}Matriisit kirjoitetaan sitten:
yD.μ=UyWμU†{\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {W} ^ {\ mu} U ^ {\ tikari}}
yD.0=(Minä00-Minä){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}
yD.i=(0σi-σi0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ end { matriisi}}}
yD.5=(0MinäMinä0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
Weylin edustus
Esitys, joka esiintyy "luonnollisesti", kun yritetään johtaa Dirac-yhtälö käyttämällä Lorentz-ryhmän redusoitumattomia esityksiä . Tässä perustassa matriiseilla on seuraava muoto:
yμ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}
yW0=(0MinäMinä0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
yWi=(0σi-σi0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ end { matriisi}}}
yW5=(-Minä00Minä){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & I \ end {pmatrix}}}
Majoranan edustus
Majorana-esitys saadaan "standardiesityksestä" käyttämällä seuraavaa yksikkömatriisia U:
U=12(yD.0yD.2+yD.0){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ gamma _ {D} ^ {0} \ gamma _ {D} ^ {2} + \ gamma _ {D} ^ {0 })}Tällä esityksellä on mielenkiintoinen ominaisuus, että kaikki matriisit ovat puhtaita kuvitteellisia, mikä tekee laskutoimituksista kätevää harkittaessa varauksen konjugaatiooperaattoria.
yμ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}
Kiraalinen edustus
y0=β=(0-Minä-Minä0){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & -I \\ - I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
a=(σ00-σ){\ displaystyle \ mathbf {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {\ sigma} \ end {pmatrix}}}
y=(0σ-σ0){\ displaystyle \ mathbf {\ gamma} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ mathbf {\ sigma} \\ - \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
Sen etuna on, että kaksi spinaria muuttuvat itsenäisesti kiertojen ja käännösten alla . Se on erityisen hyödyllinen hiukkasille, joilla ei ole massaa, ja yhtälöt yksinkertaistuvat huomattavasti. Sitä käytettiin neutriinoon, vaikka neutriinojen värähtelyt osoittavat, että niiden massa ei ole nolla.
Huomautuksia ja viitteitä
-
W.Pauli (1936), "Matemaattinen panos Diracin matriisiteoriaan", julkaisussa Annales de l'Institut Henri Poincaré (osa 6, nro 2, s. 109-136). Ranskan yliopistopainokoneet.
-
Tämä määritelmä vastaa todetun, esimerkiksi, kirjassa Edgard Elbaz Quantique (ellipsejä, 1995), toinen määritelmä, joka eroaa vain lisäämällä merkki -, on läsnä Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 4: Kvanttielektrodynamiikka [ yksityiskohdat painoksista ], § 22.
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoinen linkki
Bibliografia
- Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 4: Kvanttielektrodynamiikka [ yksityiskohdat painoksista ]
- Choquet-Bruhat, Y. (1982). Maxwell-Dirac-Klein-Gordon -yhtälöiden globaali ratkaisu . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 31 (2), 267-288 ( yhteenveto ).
-
(en) Itzykson, C., & Zuber, JB (2005). Kvanttikentän teoria . Courier Dover -julkaisut .
- Lochak, G. (2003). Diracin yhtälö valokartioon. Majorana-elektronit ja magneettiset monopolit [PDF] . Julkaisussa Annales de la Fondation Louis de Broglie (28. osa, nro 3-4, s. 403). Louis de Broglie -säätiö.
- McLenaghan, RG, & Spindel, P. (1979). Suorita Diracin yhtälöiden integraalit kaarevassa tilassa . Sonni. Soc. Matematiikka. Belg, 31, 30.
-
(en) Mandl, F., & Shaw, G. (2010). Kvanttikentän teoria . John Wiley & Sons .
- Meessen, A. (1970). Aika-ajan kvantifiointi ja Dirac-yhtälön yleistäminen . Ann. Soc. Sci. Bryssel, 84267-275.
- Nelipa, N. -hiukkasten fysiikka
- Pauli, W. (1936) "Matemaattinen vaikutus Diracin matriisiteoriaan". In Annals of Henri Poincaré Institute (osa 6, nro 2, sivut 109-136). Ranskan yliopistopainokoneet.
- Proca, A. (1930). "Dirac-yhtälöstä" [PDF] . J. Phys. Radium , 1 (7), 235 - 248.
- Sambou D (2012) Resonanssit lähellä Paulin ja Diracin magneettisten operaattoreiden kynnyksiä [PDF] . arXiv-esipainos arXiv: 1201.6552.
-
(en) Zinn-Justin, J. (2002). Kvanttikenttäteoria ja kriittiset ilmiöt (nro SACLAY-SPHT-T-2002-001).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">