Turbulenssimallinnus
Turbulenssi mallinnus on haara nesteen mekaniikka , jota käytetään ennustamaan virtauksen, jossa kaikki tai osa neste on turbulentti .
Johdanto
Kun läsnä on pyörteisyyden virtauksessa ei välttämättä tee sitä pyörteisen virtauksen. Termi on varattu tilanteille, joissa monet pyörre-asteikot ovat läsnä ja vuorovaikutuksessa myrskyisässä vesiputouksessa . Kolmogorov-ulottuvuus rajoittaa tämän pieniin mittakaavoihin, joiden alapuolella viskositeetti hajottaa pyörteet.
Tällainen virtaus kuvataan Navier-Stokes-yhtälöillä, mutta Kolmogorov-ulottuvuuden pieni koko estää käytännössä suoran numeerisen simulaation (englanniksi DNS for Direct Numerical Simulation ), lukuun ottamatta numeerisia kokeita, joiden tarkoituksena on ymmärtää käyttöön otetut mekanismit. .
Suoran simulaation lisäksi tämän ongelman ratkaisemiseksi toteutetut menetelmät perustuvat tilastolliseen fysiikkaan : turbulenssia pidetään tilastollisena prosessina, jonka oletetaan pystyvän kuvaamaan vain ajallisella jakaumalla kussakin kohdassa. Lähestymistapa perustuu useisiin vaiheisiin:
- keskiarvoja ja vaihteluja kuvaavien yhtälöiden kirjoittaminen,
- vaihteluihin liittyvien termien mallintaminen,
- Liitä tarvittaessa nämä termit seinän läheisyydessä tapahtuvaa virtausta kuvaavien lakien vakiokuvauksiin.
On myös mahdollista käyttää laajamittaisena simulaationa tunnettuja hybridimenetelmiä ( LES for Large Eddy Simulation ), joissa turbulenssispektri suodatetaan: suuret asteikot otetaan talteen laskemalla, pienet mallinnetaan kuten yllä.
Keskimääräiset Navier-Stokes-yhtälöt
Olemme kiinnostuneita puristamattomasta nesteestä, jota vastaavat Navier-Stokes -yhtälöt kuvaavat
∂ui∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ partituali u_ {i}} {\ osittain x_ {i}}} = 0}ρ(∂ui∂t+uj∂ui∂xj)+∂s∂xi-∂σij∂xj=0{\ displaystyle \ rho \ vasen ({\ frac {\ partituali u_ {i}} {\ osittainen t}} + u_ {j} {\ frac {\ osio u_ {i}} {\ osittain x_ {j}}} \ oikea) + {\ frac {\ osaa p} {\ osittain x_ {i}}} - {\ frac {\ osallinen \ sigma _ {ij}} {\ osaa x_ {j}}} = 0}Merkitään p: llä paine, ρ tiheys, μ dynaaminen viskositeetti ja
Sij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi){\ displaystyle S_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ vasen ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partituali x_ {j}}} + {\ frac {\ osittainen u_ { j}} {\ osittainen x_ {i}}} \ oikea)} |
venymän tensori
|
σij=2μSij{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu S_ {ij}} |
viskoosien jännitysten tensori
|
Ottaen huomioon pakkaamattomuusyhtälön huomataan se
∂σij∂xj=μ∂2ui∂xk∂xk{\ displaystyle {\ frac {\ partituali \ sigma _ {ij}} {\ partituali x_ {j}}} = \ mu {\ frac {\ osakaali ^ {2} u_ {i}} {\ osallinen x_ {k} \ osittainen x_ {k}}}}Määritämme operaattorin Υ (u i ) impulssin säilytysyhtälölle (indeksin muutosta käytetään myöhemmin)
Y(ui)=ρ(∂ui∂t+uk∂uj∂xk)+∂s∂xi-μ∂2ui∂xk∂xk=0{\ displaystyle Y (u_ {i}) = \ rho \ vasen ({\ frac {\ partituali u_ {i}} {\ osittainen t}} + u_ {k} {\ frac {\ osittainen u_ {j}} { \ osal x_ {k}}} \ oikea) + {\ frac {\ osaa p} {\ osaa x_ {i}}} - \ mu {\ frac {\ osaa ^ {2} u_ {i}} {\ osaa x_ {k} \ osittainen x_ {k}}} = 0}Väliainetta kuvataan nopeuksien tilastollisella jakaumalla, ja oletetaan, että tätä väliainetta voidaan luonnehtia ajan keskiarvolla ja nopeuden vaihtelulla pisteessä r
ui(t,ri)=u¯i(t,ri)+ui′(t,ri){\ displaystyle u_ {i} (t, r_ {i}) = {\ yliviiva {u}} _ {i} (t, r_ {i}) + u '_ {i} (t, r_ {i}) }Turbulenssin kineettinen energia on
k=12ui′ui′¯{\ displaystyle k = {\ frac {1} {2}} \, {\ overline {u '_ {i} u' _ {i}}}}Lisäämällä tämä nopeuden ilmaisu Navier-Stokes-yhtälöihin saadaan Osborne Reynoldsin vuonna 1895 käyttöön ottamat keskiarvoyhtälöt :
∂ui¯∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ palkki {u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {i}}} = 0}ρ(∂u¯i∂t+u¯k∂u¯i∂xk)+∂s¯∂xi-∂∂xj(σij+τij)=0{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ osittainen {\ bar {u}} _ {i}} {\ ositettu t}} + {\ yliviiva {u}} _ {k} {\ frac {\ osittainen {\ bar {u}} _ {i}} {\ partituali x_ {k}}} \ oikea) + {\ frac {\ osittainen {\ palkki {p}}} {\ osittainen x_ {i}}} - { \ frac {\ partitali {\ osaa x_ {j}}} \ vasen (\ sigma _ {ij} + \ tau _ {ij} \ oikea) = 0}Olemme määrittäneet Reynoldsin stressitensorin:
τij=-ρui′uj′¯{\ displaystyle \ tau _ {ij} = - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}}}Kuten mikä tahansa jännitysjännite, tämä tensori on symmetrinen. Turbulenssin ongelma koostuu sen sisältämien kuuden itsenäisen määrän ilmaisemisesta.
Rajoitusliikenteen yhtälö
Julius C. Rotta esitteli vuonna 1951 kuljetusyhtälön Reynoldsin rajoituksista. Tämän saavuttamiseksi käytämme yllä määriteltyä operaattoria kirjoittamalla
ui′Y(uj)+uj′Y(ui)¯=0{\ displaystyle {\ overline {u '_ {i} Y (u_ {j}) + u' _ {j} Y (u_ {i})}} = 0}On
∂τij∂t+∂∂xk(u¯kτij)=-Pij⏟Produvs.tioei+Tij-Πij+D.ij⏟D.iffusioei+ρϵij⏟D.issisklotioei{\ displaystyle {\ frac {\ partituali \ tau _ {ij}} {\ osittainen t}} + {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x_ {k}}} ({\ yliviiva {u}} _ { } \ tau _ {ij}) = \ underbrace {- {\ mathcal {P}} _ {ij}} _ {Production} \ underbrace {+ {\ mathcal {T}} _ {ij} - \ Pi _ {ij } + {\ mathcal {D}} _ {ij}} _ {Diffusion} \ underbrace {+ \ rho \, \ epsilon _ {ij}} _ {Dissipation}}kanssa
Ilmaisu |
Fyysinen merkitys
|
---|
Pij=τjk∂u¯i∂xk+τik∂u¯j∂xk{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {ij} = \ tau _ {jk} \, {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {i}} {\ osittain x_ {k}}} + \ tau _ {ik} \, {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {j}} {\ osittain x_ {k}}}} |
Tuotanto: energian siirto keskimääräisestä virtauksesta turbulenssiin
|
Tij=∂∂xk(ρui′uj′uk′¯+s′ui′¯5jk+s′uj′¯5ik){\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {ij} = {\ frac {\ partituali {\ osittain x_ {k}}} (\ rho {\ yliviiva {u '_ {i} u' _ {j} u '_ {k}}} + {\ overline {p'u' _ {i}}} \ delta _ {jk} + {\ overline {p'u '_ {j}}} \ delta _ {ik} )} |
Turbulenssikuljetus (sisältää kolmoiskorrelaation)
|
Πij=s′∂ui′∂xj¯+s′∂uj′∂xi¯{\ displaystyle \ Pi _ {ij} = {\ yliviiva {p '{\ frac {\ partituali u' _ {i}} {\ osittain x_ {j}}}}}} + {\ yliviiva {p '{\ frac {\ részben u '_ {j}} {\ osittain x_ {i}}}}}} |
Turbulentin energian uudelleenjako (paluu isotrooppiseen tilaan)
|
D.ij=∂∂xk(v∂τij∂xk){\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij} = {\ frac {\ partituali {\ osaa x_ {k}}} \ vasen (\ nu {\ frac {\ osittainen tau _ {ij}} { \ osittain x_ {k}}} \ oikea)} |
Rajoituksen diffuusio
|
ϵij=2v∂ui′∂xk∂uj′∂xk¯{\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = 2 \ nu {\ päällekkäin {{\ frac {\ osal u '_ {i}} {\ osittain x_ {k}}} {\ frac {\ osio u' _ {j }} {\ osittainen x_ {k}}}}}} |
Viskoosihäviö
|
missä δ ij on Kronecker-symboli .
Nämä 6 yhtälöä sisältävät 22 uutta tuntematonta. Siksi on tarpeen yksinkertaistaa (malli) korvaamalla nämä termit lausekkeilla muuttujista, jotka ovat jo läsnä τ ij: n komponentteina . Klassisen lähestymistavan esittivät Kemal Handjalić ja Brian Launder (1972).
Mallit, joissa on N kuljetusyhtälöä
Näitä malleja kutsutaan englanniksi Reynolds Averaged Navier-Stokes tai lyhenne RANS .
Boussinesqin hypoteesi
Vuonna 1877 Joseph Boussinesq ehdotti tämän tensorin kirjoittamista jännitystensoriksi Newtonin nesteen tapauksessa ottamalla mukaan turbulenssin viskositeetti μ t
τij=μt(∂u¯i∂xj+∂u¯j∂xi)-23μt∂u¯k∂xk5ij-13ρui′ui′¯⏟23ρk5ij{\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu _ {t} \ vasen ({\ frac {\ osittainen {\ palkki {u}} _ {i}} {\ osittain x_ {j}}} + {\ frac {\ osal {{bar {u}} _ {j}} {\ osaa x_ {i}}} \ oikea) - {\ frac {2} {3}} \ mu _ {t} {\ frac {\ osittainen {\ bar {u}} _ {k}} {\ osittainen x_ {k}}} \ delta _ {ij} - \ alaosa {{\ frac {1} {3}} \ rho {\ overline {u'_ {i} u '_ {i}}}} _ {{\ frac {2} {3}} \ rho k} \ delta _ {ij}}Ongelma pelkistetään tietoa k ja μ t , tämä viimeksi mainittu arvo joka ei ole nesteen ominaisuuteen.
Kahden yhtälön mallit
Ottaen jälkiä yhtälön Reynoldsin jännitys edellä saadaan aikaan kuljetus yhtälö k
ρ∂k∂t+ρuj∂k∂xj=τij∂ui∂xj⏟Produvs.tioei-ρϵ⏟D.issisklotioei+∂∂xj(μ∂k∂xj)⏟D.iffusioei molevs.ulkloire-∂∂xj(12ρui′ui′uj′¯)⏟Trkloeissort-∂∂xj(s′uj′¯)⏟D.iffusioei sressioei{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ osittainen k} {\ osallinen t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ osittainen k} {\ osallinen x_ {j}}} = \ alakaari {\ tau _ {ij} {\ frac {\ partituali u_ {i}} {\ partituali x_ {j}}}} _ {Tuotanto} - \ alakaari {\ rho \ epsilon} _ {Häviö} + \ alusnauha {{\ frac {\ osittainen} {\ osittain x_ {j}}} \ vasen (\ mu {\ frac {\ osallinen k} {\ osallinen x_ {j}}} \ oikea)} _ {diffuusio ~ molekyyli} - \ alakaari {{\ frac {\ osal} {\ osittain x_ {j}}} \ vasen ({\ frac {1} {2}} \ rho \, {\ yliviiva {u '_ {i} u' _ {i} u '_ { j}}} \ oikea)} _ {Liikenne} - \ alatuki {{\ frac {\ partituali {\ osaa x_ {j}}} \ vasen ({\ yliviiva {p'u '_ {j}}} \ oikea)} _ {diffuusio ~ paine}}missä ε on hajaantuminen
ϵ=v∂ui′∂xk∂ui′∂xk¯{\ displaystyle \ epsilon = \ nu {\ overline {{\ frac {\ partituali u '_ {i}} {\ osittain x_ {k}}} {\ frac {\ osittain u' _ {i}} {\ osittainen x_ {k}}}}}}Tämä voidaan saada kirjoittamalla yhtälö
2v∂ui′∂xk∂∂xkY(ui)¯=0{\ displaystyle {\ overline {2 \ nu {\ frac {\ partituali u '_ {i}} {\ osittainen x_ {k}}} {\ frac {\ osallinen} {\ osittain x_ {k}}} Y ( u_ {i})}} = 0}On
ρ∂ϵ∂t+ρuj∂ϵ∂xj=...{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partituali \ epsilon} {\ osaa t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ osio \ epsilon} {\ osallinen x_ {j}}} = ...}Itse asiassa tämä ilmaisu käsittää toisessa jäsenehdessä erittäin vaikeasti mallinnettavan ja yksi on tyytyväinen toisen jäsenen kirjoittamiseen analogisesti turbulentin kineettisen energian yhtälön kanssa.
Turbulentti viskositeetti johtuu mittasuhteista
vt=VSμk2ϵ{\ displaystyle \ nu _ {t} = C _ {\ mu} \, {\ frac {k ^ {2}} {\ epsilon}}}missä C μ on mallinnusvakio.
Tunnetuin tällä alalla käytetty malli on William P. Jonesin ja Brian Launderin k - ε - malli , joka julkaistiin vuonna 1972 ja muotoiltiin myöhemmin uudelleen.
On myös mahdollista työskennellä hajaantumisasteella
ω=ϵk{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ epsilon} {k}}}Tämäntyyppisen mallin, joka tunnetaan nimellä k - ω-malli, esitteli Andrei Kolmogorov vuonna 1942 aikana, jolloin sitä ei ollut mahdollista ratkaista. Sen nykyinen muoto johtuu David C.Wilcoxista.
Yksi kuljetusyhtälömalli
Tämän tyyppinen malli otettiin käyttöön 1960-luvulla. Aloitetaan yllä olevasta turbulentista viskositeetista arvolla C μ = 1 ja saadaan
D.vtD.t=1ωD.kD.t-kω2D.ωD.t{\ displaystyle {\ frac {D \ nu _ {t}} {Dt}} = {\ frac {1} {\ omega}} {\ frac {Dk} {Dt}} - {\ frac {k} {\ omega ^ {2}}} {\ frac {D \ omega} {Dt}}}Tunnetuin näistä malleista on epäilemättä Philippe R. Spalartin ja Steven R. Allmarasin Spalart-Allmaras-malli (1992) rajakerroksen ongelmista kokoonpuristuvassa virtauksessa.
Sekoituspituinen malli
Sekoituspituuden käyttävän mallin, jota kutsutaan myös nollakuljetusyhtälöksi, esitteli Ludwig Prandtl vuonna 1925. Analogisesti kaasujen kineettisen teorian kanssa hän oletti, että kinemaattinen viskositeetti voidaan rakentaa tuotteelle d 'ominaisnopeus u sekoituspituus l m ja että näistä kahdesta suureesta muodostuva ominaisaika oli samaa suuruusluokkaa kuin keskimääräiseen leikkaukseen liittyvä aika
vt≃ulm,ulm≃|∂ui¯∂xj|,i≠j⇒vt=lm2|∂ui¯∂xj|{\ displaystyle \ nu _ {t} \ simeq ul_ {m} \ ,, \; \; \; \; \; {\ frac {u} {l_ {m}}} \ simeq \ left | {\ frac { \ osittainen {\ yliviiva {u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {j}}} \ oikea |, \; \; \; i \ neq j \; \; \; \ Rightarrow \; \; \; \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} \ vasen | {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u_ {i}}}} {\ osittain x_ {j}}} \ oikea |}siten vastaava komponentti Reynoldsin tensorista
-ρui′uj′¯=ρlm2|∂ui¯∂xj|∂ui¯∂xj{\ displaystyle - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}} = \ rho l_ {m} ^ {2} \ vasen | {\ frac {\ osittainen {\ overline {u_ { i}}}} {\ osittainen x_ {j}}} \ oikea | {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u_ {i}}}} {\ osittainen x_ {j}}}}Tämä ilmaisu voidaan yleistää seuraavasti:
vt=lm22Sij¯Sij¯{\ displaystyle \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} {\ sqrt {2 {\ overline {S_ {ij}}} \, {\ overline {S_ {ij}}}}}}Lauseke l m on spesifinen tietyn ongelman.
Laajat simulaatiomallit
SGS-menetelmä tai englanniksi LES koostuu turbulenssiasteikon erottamisesta
- suuret asteikot lasketaan suoraan,
- pienet vaa'at, mallinnetut.
Prosessin ensimmäinen vaihe on määritellä alipäästösuodatin konvoluutiotuotteen kautta
u¯i(r,t)=∫G(r,r′)ui(r-r′,t)dr′≡G∗ui{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} (\ mathbf {r}, t) = \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') u_ {i} (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} ', t) \ mathrm {d} \ mathbf {r}' \ equiv G * u_ {i}}Suodatin on standardoitu:
∫G(r,r′)dr′=1{\ displaystyle \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ mathbf {r}' = 1}Tämä ei ole projektori : . Lisäksi tämä operaattori ei vaihda johdannaisen kanssa.
ui¯¯≠ui¯{\ displaystyle {\ overline {\ overline {u_ {i}}}} \ neq {\ overline {u_ {i}}}}
Yksinkertaisin esimerkki on suodatin "hattu" (englanninkielinen lippalakki ) silmäkoon Δ perusteella
G={1Δ3si|ri-ri′|<Δ20sieioei{\ displaystyle G = \ vasen \ {{\ begin {array} {lcl} {\ frac {1} {\ Delta ^ {3}}} & si & | r_ {i} -r '_ {i} | < {\ frac {\ Delta} {2}} \\ [0.6em] 0 ja muuten \ end {array}} \ right.}Kirjoitamme ratkaisun suodatetun arvon ja pienen mittakaavan häiriön summana, jolla ei ole ajallisen vaihtelun merkitystä.
ui=u¯i+ui′{\ displaystyle u_ {i} = {\ yliviiva {u}} _ {i} + u '_ {i}}voimme sitten kirjoittaa suodatetut Navier-Stokes-yhtälöt:
∂u¯i∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {i}} {\ osittainen x_ {i}}} = 0}∂∂t(ρu¯i)+∂∂xj(ρu¯iu¯j)+∂s¯∂t-∂τ¯ij∂xj-∂tij∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ partitali} {\ osittainen t}} (\ rho {\ yliviiva {u}} _ {i}) + {\ frac {\ partituali {\ osaa x_ {j}}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}) + {\ frac {\ osittainen {\ overline {p}}} {\ osittainen t}} - {\ frac { \ osittainen {\ yliviiva {\ tau}} _ {ij}} {\ osittain x_ {j}}} - {\ frac {\ osittain t_ {ij}} {\ osittain x_ {j}}} = 0}missä t ij on Anthony Leonardin käyttöön ottama tensori:
tij=ρ(u¯iu¯j-uiuj¯)=ρ(u¯iu¯j-u¯iu¯j¯-ui′u¯j¯-uj′u¯i¯-ui′uj′¯){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} t_ {ij} & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}) \\ [0.6em] & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {{ \ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {j} {\ overline {u}} _ {i}}} - {\ overline {u' _ {i} u '_ {j}}}) \ end {array}}}Huomaa, että jos G olisi Reynoldsin keskimääräinen operaattori, ensimmäiset neljä termiä peruuntuvat. Lisäksi, jos t ij kunnioittaa Galilean muuttumattomuutta , se ei pidä paikkaansa kullekin sen muodostavalle termille.
Ongelman ratkaisemiseksi on välttämätöntä määritellä likiarvo verkolle , esimerkiksi seoksen tyypin pituudelle (katso edellä), kuten teki Joseph Smagorinsky (1963)
lm=VSSΔ{\ displaystyle l_ {m} = C_ {S} \ Delta}missä C s ~ 0,1 on mallinnusvakio, joka on kytketty Kolmogorov-vakioon .
Viitteet
-
(sisään) John WS Rayleigh, " Pakkaamattomien viskoosisten nesteiden dynaamisesta teoriasta ja kriteerin määrittämisestä " , Royal Society A: n filosofiset transaktiot , voi. clxxxiv,1895( lue verkossa )
-
(in) Rutherford Aris , vektorit, tensorit ja nestemekaniikan perusyhtälöt. , Dover-julkaisut ,1962, 286 Sivumäärä ( ISBN 0-486-66110-5 , lue verkossa )
-
(De) JC Rotta, " Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz " , Zeitschrift fur Physik , voi. 129,1951, s. 547 - 572
-
(en) David C. Wilcox, Turbulenssimallinnus CFD: lle: CD-ROM , DCW Industries,2006, 522 Sivumäärä ( ISBN 1-928729-08-8 , lue verkossa )
-
-
(en) SB Pope, Turbulent Flows , Cambridge University Press ,2000
-
(in) K. Hanjalić ja BE Launder , " Reynoldsin stressi malli turbulenssin ja sen soveltaminen ohut shear virtaa " , Journal of Fluid Mechanics , voi. 52, n o 4,1972, s. 609-638
-
J. Boussinesq , " Essee juoksevien vesien teoriasta ", Proceedings of the Academy of Sciences , voi. 23,1877, s. 1-680 ( lue verkossa )
-
(sisään) WP Jones ja BE Launder , " Ennustus laminarisoinnista turbulenssin kahden yhtälömallin kanssa " , International Journal of Heat and Mass Transfer , voi. 15, n ° 21972, s. 301-314
-
(in) BE Launder ja DB Spalding, " Turbulenttien virtausten numeerinen laskenta " , Tietokonemenetelmät sovelletussa mekaniikassa ja tekniikassa , voi. 3, n o 21974, s. 269 - 289
-
(ru) A. Kolmogorov , " Yhtälö puristamattoman nesteen turbulentista liikkeestä " , Doklady Akademii Nauk ,1942
-
(in) DC Wilcox, " Uudelleenarviointi asteikon määrittelevästä yhtälöstä edistyneelle turbulenssimallille " , AIAA Journal , Voi. 26, n ° 11,1988, s. 1299-1310
-
(in) PR ja SR Spalart Allmaras, " Yhden yhtälön turbulenssimalli aerodynaamisille virtauksille " , AIAA Paper , n os 92-0439,1992( lue verkossa )
-
(De) L. Prandtl , " Bericht uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz " , Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik ,1925, s. 136-139
-
(in) P. Sagaut, Large Eddy Simulation for incompressible Virrat: An Introduction , Springer-Verlag ,2006, 556 Sivumäärä ( ISBN 978-3-540-26344-9 , lue verkossa )
-
(in) A. Leonard, " Energy Cascade Large-Eddy simulointi Turbulent Fluid Flows " , Advances in Geophysics , voi. 18-vuotiaana1974, s. 237–248
-
(sisään) JS Smagorinsky, " General Circulation Experiments with the Primitive Equations I. The Basic Experiment " , Monthly Weather Review , voi. 91, n ° 3,1963, s. 99-164 ( lue verkossa )
Ulkoiset linkit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">