Brocard-ongelma

Brocard ongelma on ongelma lukuteorian joka pyytää löytää kokonaisluku arvot ja n ja m täyttävät Diofantoksen yhtälö :

{\ displaystyle n! + 1 = m ^ {2}}

missä n! on tekijäfunktio . Tämän esitti Henri Brocard kahdessa artikkelissa vuosina 1876 ja 1885 ja itsenäisesti vuonna 1913 Srinivasa Ramanujan .

Ruskeat numerot

Brocardin ongelman ratkaisevia kokonaislukupareja ( n , m ) kutsutaan Brown-numeroiksi . Ruskoja numeroita on vain kolme tunnettua paria:

(4.5), (5.11) ja (7.71).

Paul Erdős arveli, ettei muita ratkaisuja ole. Vuonna 1993 tapahtunut Overholt osoitti, että ratkaisuja on vain rajallinen määrä, jos abc-arvelu on totta. Berndt ja Galway tekivät vuonna 2000 laskutoimituksia n: lle alle 10 9 eivätkä löytäneet muita ratkaisuja. Matson väitti vuonna 2017 laajentaneensa nämä laskelmat 10 21: een .

Ongelman vaihtoehdot

Dabrowski yleisti Overholtin tuloksen vuonna 1996 osoittamalla, että abc-arveluista seuraa, että

{\ displaystyle n! + A = k ^ {2}}

ei vain rajallinen määrä ratkaisuja tietyn kokonaisluku . Tuloksen yleisti edelleen Luca (2002), joka osoitti (jälleen olettaen, että abc-arvelu on totta), että yhtälö

{\ displaystyle n! = P (x)}

on vain rajallinen määrä kokonaislukuratkaisuja tietylle polynomille P , jonka aste on vähintään 2 kokonaislukukertoimilla.

Cushinge ja Pascoe osoittivat vuonna 2016, että abc-arveluista seuraa se

{\ displaystyle n! + K = m,}

on vain rajallinen määrä ratkaisuja, joissa K on kokonaisluku ja on voimakas luku . ${\ displaystyle m = a ^ {2} b ^ {3}}$

Viitteet

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Brocard's problem " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

Bruce C. Berndt ja William F. Galway , “ The Brocard - Ramanujan -diofanttinen yhtälö n ! + 1 = m 2 ”, The Ramanujan Journal , 1409 West Green Street, Urbana, Illinois 61801, USA, Matematiikan laitos, Illinoisin yliopisto, voi. 4, n o 1,Maaliskuu 2000, s. 41–42 ( DOI 10.1023 / A: 1009873805276 , online-esitys , lue verkossa ).
H. Brocard , " Kysymys 166 ", Uusi matemaattinen kirjeenvaihto , voi. 2,1876( online-esitys ).
H. Brocard , " Kysymys 1532 ", Nouvelles Annales de Mathématiques , voi. 4,1885( online-esitys ).
A. Dabrowski , “ Diofanttisen yhtälön x ! + A = y 2 ”, Nieuw Cadeaux voor Wiskunde , voi. 14,Tammikuu 1996, s. 321–324 ( online-esitys ).
RK Guy , Numeroteorian ratkaisemattomat ongelmat , New York, Springer-Verlag ,1994, 2 nd ed. ( ISBN 0-387-90593-6 ) , "D25: Yhtälöt, joihin liittyy tekijä", s. 193–194.
Florian Luca , “ Diofantiinin yhtälö P ( x ) = n ! ja M. Overholtin tulos ”, Glasnik Matematički , voi. 37,2002, s. 269–273 ( lue verkossa ).
Robert Matson , " Brocardin 4. ongelmanratkaisuhaku, jossa käytetään neliöllisiä jäännöksiä ", ratkaisemattomat ongelmat numeroteoriassa, logiikassa ja salauksessa ,2017( lue verkossa ).
Marius Overholt ” diofantoksen yhtälö n ! + 1 = m 2 ”, Bulletin of London Mathematical Society , voi. 25, n ° 21993, s. 104 ( DOI 10.1112 / blms / 25.2.104 ).
(en) Kirjoittaja tuntematon " Tehokkaat luvut ja ABC-arvelu ",2016. .

Ulkoiset linkit

Ed Copeland , " Ruskeat numerot " , Numberphile , numeroilla , Brady Haran