In todennäköisyys ja tilastoja , eli piste prosessi on tietyn tyyppisen stokastista prosessia , joiden toteutus on joukko eristetty ajankohtina ja / tai avaruudessa. Esimerkiksi puiden sijainti metsässä voidaan mallintaa pisteprosessin loppuunsaattamisena.
Pisteprosessit ovat hyvin todennäköisyydessä ja tilastoissa tutkittuja objekteja esittämään ja analysoimaan spatialisoitua dataa, joka puuttuu monille aloille, kuten ekologia , tähtitiede , epidemiologia , maantiede , seismologia , televiestintä , materiaalitiede ja monet muut.
Todellisen linjan pisteprosessien tapaus on hyvin tutkittu, tietoa kahden peräkkäisen pisteen etäisyydestä, joka kuvaa prosessia. Tämän tyyppistä pisteprosessia käytetään laajalti mallinnamaan satunnaisia tapahtumia ajan mittaan, kuten asiakkaan saapuminen ( jonoteoria ), neuronin impulssi jne.
Matematiikassa pisteprosessi on satunnainen elementti, jonka arvot ovat pisteiden kuvioita eli joukon pisteiden "kokoelmia" .
On mahdollista yleistää määrittelemällä pistekuvio paikallisesti rajalliseksi laskentamitaksi .
Eli paikallisesti kompakti metrinen avaruus varustettu sen Borelian heimo . Merkitään joukko pistemalleja , toisin sanoen joukko paikallisesti äärellisiä osajoukkoja . Elementtiä kutsutaan "kokoonpanoksi" ja se merkitään muistiin .
Varustamme laskettujen sovellusten muodostaman heimon : missä B on kompakti ja missä merkitsee lopulliseksi katsotun joukon kardinaalia.
Kohta menetelmä on sitten mitattavissa kartoitus todennäköisyys tila on mitattu tila .
Yleisin esimerkki avaruudesta on euklidinen avaruus tai yksi sen alitiloista. Mutta tapauskohtaiset prosessit eivät rajoitu näihin esimerkkeihin.
Prosessi, jossa mitataan intensiteetti on toimenpide, päällä , joka mittaa keskimääräinen pisteiden määrä prosessissa putoaa on Borel on , ja on kirjoitettu , .
Laplace toiminnallinen ja pisteen prosessi , jota merkitään , on toiminnallinen joukon kaikkien positiivisia toimintoja ja on ja on määritelty seuraavasti:
Tämä toiminnallinen samanlainen rooli kuin karakteristinen funktio satunnaismuuttujan. Itse asiassa Laplace-funktionaalisuus luonnehtii pisteprosessin lakia, toisin sanoen, että kahdella pisteprosessilla, joilla on yhtäläiset Laplace-funktionaalit, on sama laki.
Kun otetaan huomioon heimon rakenne, pisteprosessin laki määräytyy kokonaan niiden todennäköisyyksien perusteella, joissa luonnollisten kokonaislukujen joukko ja joukko rajattuja borelialaisia . Mutta Rényin lause antaa meille paljon yksinkertaisemman kuvauksen.
Rényin lause - Jos tila on täysin erotettavissa, niin pisteprosessin laki määräytyy kokonaan tyhjien todennäköisyyksien eli perheen , jossa joukko rajattuja borelialaisia.
Poissonin pisteprosessi on yksinkertaisin ja yleisin pisteprosesseista. Se on jonoteoriassa käytetyn Poisson-prosessin spatiaalinen yleistys .
Määritelmä Poisson-pisteprosessi - Antaa olla ei-atominen mitta . Piste prosessi on kohta Poisson-prosessi intensiteetti mittaus , jos kaikkien perheiden epäjatkuvia rajoittuu Borelians ja kaikki luonnolliset kokonaislukuja ,
Tässä osassa on ryhmitelty Poisson-pisteprosessien perusominaisuudet. Nämä tulokset ovat usein seurausta Rényin lauseesta.
Ehdotus (Superpositioperiaate kahden Poisson kohta prosessit) - Antaa ja olla kaksi Poisson pisteprosessit toimenpiteiden intensiteetin ja . Sitten näiden kahden prosessin päällekkäisyys on pisteen Poisson-intensiteetin mittausprosessi .
Ehdotus (harvennus (harvennus) Poissonin pisteprosessille) - Olkoon Poisson-pisteprosessin intensiteetin mittaus ja mitattava funktio. Rakennamme parhaillaan päättämällä jokaisen pisteen prosessin , ja itsenäisesti, jotta se pysyy todennäköisyydellä ja poistaa sen todennäköisyydellä .
Sitten prosessi on pisteen Poissonin intensiteetin mittausprosessi .
Lauseke (Pisteiden lukumäärän ehdollistama prosessilaki) - Joko pisteen Poissonin intensiteettiprosessi ja rajattu Borelian . Joten ehdollisesti tapahtumaan The kiinnostavia prosessin ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita toteutukset lain .
Viimeinen ehdotus tarjoaa yksinkertaisen ja erittäin tehokkaan menetelmän Poissonin pisteprosessien simuloimiseksi.
Poisson-pisteen intensiteettiprosessin simulointi kompaktina :
Simuloitu objekti on Poisson-pisteprosessin toteutus intensiteetin mittausikkunassa .
Slivnyak-Mecke kaava , joka tunnetaan myös Campbellin kaava, on kaava käytetään laajasti stokastisia geometriassa ja tilastollisen fysiikan .
Lause - Antaa olla mitattava funktio ja pisteen Poisson-intensiteettiprosessi . Joten meillä on
Oikealla oleva termi on monissa tapauksissa laskettavissa ja mahdollistaa keskimääräisen laskemisen Slivnyak-Mecke-kaavan ansiosta prosessin jokaisen pisteen osuuksien summan.