Toinen kvantisointi
Toinen kvantisointi , jota kutsutaan myös kanoninen kvantisointi , on kenttä kvantisointi menetelmä käyttöön Dirac vuonna 1927 Kvanttisähködynamiikka . Se koostuu lähtien klassisen kenttä , kuten sähkömagneettisen kentän , jotta sitä voidaan pitää fyysisen järjestelmän ja korvata klassisen määrät ( E , B ) tilaa kuvaavan kentän, jonka kvanttitilaa ja havaittavuutta ja kvanttifysiikan . Olemme luonnollisesti tulleet siihen tulokseen, että kentän energia kvantisoidaan, kukin kvantti edustaa hiukkasia .
Fock ja Jordan kastivat toisen määrällisen määrityksen niin vuonna 1932 Toinen kvantisointi sisältää nimenomaisesti operaattorit ja jotka antavat mahdollisuuden tuhota ja luoda energiakvantti.
klo^k→{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}}}
klo^k→†{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ tikari}}![{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ tikari}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea970d7ed430d8f572b58ae2c71c823ad16353e6)
Esimerkki todellisesta skalaarikentästä
Merkintöjen yksinkertaistamiseksi olemme ensin kiinnostuneita todellisesta skalaarikentästä . Voisi ajatella esimerkiksi painekenttää P (r, t) kaasussa, mutta tämä kenttä ei ole perustavanlaatuinen, koska se olettaa muiden hiukkasten olemassaolon eikä voi olla tyhjiössä. Ainoa klassisessa fysiikassa tutkittu kenttä, joka voi levitä tyhjiössä, on sähkömagneettinen kenttä , joka on tensorikenttä . Voimme kuitenkin rakentaa tyhjiössä etenevän skalaarikentän tarkastelemalla relativistisen hiukkasen aaltofunktiota kenttänä.
Ensimmäinen määritys
Relativistinen yhtälö, joka antaa massan hiukkasen energian ja nollan sähkövarauksen sen momentin funktiona, kirjoitetaan:
E{\ displaystyle E}
m{\ displaystyle m}
s→{\ displaystyle {\ vec {p}}}![{\ vec p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b)
E2 = s2vs.2 + m2vs.4{\ displaystyle E ^ {2} \ = \ p ^ {2} \, c ^ {2} \ + \ m ^ {2} \, c ^ {4}}
|
Ensin soveltamalla sääntöjä kanoninen kvantisointi päässä kvanttimekaniikan , saadaan Klein-Gordon yhtälö varten aalto toiminto :
Φ(r→,t){\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}![{\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3167ba853ce8019ccb188be680031d2773e241d)
- ℏ2 ∂2Φ(r→,t)∂t2 = - ℏ2vs.2 Δ Φ(r→,t) + m2vs.4 Φ(r→,t){\ displaystyle - \ \ hbar ^ {2} \ {\ frac {{\ part}} ^ {2} \ Phi ({\ vec {r}}, t)} {{\ part} t ^ {2}}} \ = \ - \ \ hbar ^ {2} \, c ^ {2} \ \ Delta \ \ Phi ({\ vec {r}}, t) \ + \ m ^ {2} \, c ^ {4} \ \ Phi ({\ vec {r}}, t)}
|
Tämä yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:
( ◻ + m2vs.2ℏ2 ) Φ(r→,t) = 0{\ displaystyle \ left (\ \ Box \ + \ {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ right) \ \ Phi ({\ vec { r}}, t) \ = \ 0}
|
missä edustaa alembertilaista operaattoria :
◻{\ displaystyle \ Box}![{\ displaystyle \ Box}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
◻ = 1vs.2 ∂2 ∂t2 - Δ.{\ displaystyle \ Box \ = \ {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ {\ frac {{\ part}} ^ {2} ~~} {{\ osal} t ^ {2}}} \ - \ \ Delta.}
|
Jos pidimme tähän asti hiukkasen aaltofunktiota, voimme myös pitää sitä todellisena skalaarikenttänä, joka etenee tyhjössä, Klein-Gordonin yhtälö on sen etenemisyhtälö.
Φ{\ displaystyle \ Phi}![\ Phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24)
Fourier-kehitys
Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että hiukkanen on suljettu suureen äärellisen tilavuuden laatikkoon . Skalaarikenttä myöntää sitten kehityksen Fourier-sarjassa . merkintä:
V{\ displaystyle V}
Φ(r→,t){\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}![{\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3167ba853ce8019ccb188be680031d2773e241d)
-
ω{\ displaystyle \ omega}
muuttuja yhdistettynä aikaan : on syke .t{\ displaystyle t}
ω{\ displaystyle \ omega}![\ omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
-
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
konjugoitu vektori paikassa : on aaltovektori .r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}![{\ vec k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccd4b98d198d6538010ae815ee1199baabd3493)
Eigen tilat ovat eksponenttilausekkeen:
f(r→,t) = f0 e-iωt+ik→⋅r→{\ displaystyle f ({\ vec {r}}, t) \ = \ f_ {0} \ \ mathrm {e} ^ {- \, \ mathrm {i} \, \ omega t \, + \, \ mathrm {i} \, {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}}}}
|
jotka täyttävät Klein-Gordonin yhtälön:
( ◻ + m2vs.2ℏ2 )f(r→,t) = 0⟹( - ω2vs.2+k2+m2vs.2ℏ2 )f(r→,t) = 0{\ displaystyle \ left (\ \ Box \ + \ {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ right) \, f ({\ vec { r}}, t) \ = \ 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad \ left (\ - \ {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \, + \, k ^ {2 } \, + \, {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ oikea) \, f ({\ vec {r}}, t) \ = \ 0}
|
Siksi meillä on oltava dispersiosuhde :
ω2vs.2 = k2+m2vs.2ℏ2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = = k ^ {2} \, + \, {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2 }} {\ hbar ^ {2}}}}
|
Joten jos otetaan aallon vektori , se vastaa siihen kaksi eigenmodes vastaavien sykäysten:
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}![{\ vec k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccd4b98d198d6538010ae815ee1199baabd3493)
ω±(k) = ± vs.2k2+m2vs.4ℏ2 {\ displaystyle \ omega _ {\ pm} (k) \ = \ \ pm \ {\ sqrt {\ c ^ {2} \, k ^ {2} \, + \, {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} \}}}
|
Skalaarikentän Fourier-sarjan laajennus voidaan siis kirjoittaa kaikkien mahdollisten aaltovektoreiden summana:
Φ(r→,t){\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}![{\ displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3167ba853ce8019ccb188be680031d2773e241d)
Φ(r→,t)=∑k→[AT+(k→)e-iω+(k→)t+AT-(k→)e-iω-(k→)t]eik→.r→+vs..vs..,{\ displaystyle \ Phi \ left ({\ vec {r}}, t \ right) = \ sum _ {\ vec {k}} \ left [A _ {+} ({\ vec {k}}) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {+} ({\ vec {k}}) t} + A _ {-} ({\ vec {k}}) \ mathrm {e} ^ { - \ mathrm {i} \ omega _ {-} ({\ vec {k}}) t} \ oikea] \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ vec {k}}. {\ vec { r}}} + cc,}
|
missä tarkoittaa konjugaattikompleksia .
vs..vs..{\ displaystyle cc}![{\ displaystyle cc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f39c7d1de9ea8b3de892ef86bea8cce4b8de25)
Toinen kvantisointi
Toinen kvantisointimenettely koostuu Fourier-moodien kompleksikertoimien korvaamisesta skalaarikentän laajentumisella abstrakteilla operaattoreilla :
-
klo^k→{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}}}
, jota kutsutaan impulssikvantin tuhoamisoperaattoriksi .ℏk→{\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}![{\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18232d047050b2811553136b2864e501ad45f07d)
-
klo^k→†{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ tikari}}
, kutsutaan impulssikvantin luomisen operaattoriksi .ℏk→{\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}![{\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18232d047050b2811553136b2864e501ad45f07d)
Nämä operaattorit noudattavat määritelmän mukaan kanonista kommutointisääntöä:
[ klo^k′→, klo^k→† ] = 5k→,k′→ 1^.{\ displaystyle \ left [\ {\ hat {a}} _ {\ vec {k '}}, \ {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ dagger} \ \ right] \ = \ \ delta _ {{\ vec {k}}, {\ vec {k '}}} \ {\ hat {1}}.}
|
Nollakierrosskalaarikenttä on siten bosonikenttä.
Toinen kvantisointiformalismi liittyy läheisesti N-kehon ongelman teoriaan . Jos pidämme joukko N systeemeissä (kuten atomia, tai hiukkasia), kukin näistä järjestelmistä on energia spektrin, eli kukin näistä järjestelmistä voi olla tietyssä kvantti tila tietyn energian. N-kehon ongelman kvanttiteoria toimii vektoriavaruudessa:
HEI=H⨂...⨂H{\ displaystyle H ^ {N} = {\ mathcal {H}} \ bigotimes ... \ bigotimes {\ mathcal {H}}}
joka on Hilbert-tila, joka on yhtä suuri kuin N Hilbert-tilan ristitulo, jokainen näistä tiloista kuvaa yhtä N kvanttijärjestelmästä. Jos oletetaan, että koko järjestelmälle on ominaista se, että i- merkityn hiukkasen on tällä hetkellä energiatason kvanttitilassa , niin koko järjestelmä voidaan esittää kvanttitilalla:
eii{\ displaystyle n_ {i}}![tai](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4)
|ei1,ei2,ei3,...⟩=∏i1(eii!)12(kloi†)a|0⟩{\ displaystyle | n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ... \ rangle = \ prod _ {i} {\ frac {1} {(n_ {i}!) ^ {\ tfrac { 1} {2}}}} (a_ {i} ^ {\ tikari}) ^ {\ alpha} | 0 \ rangle}
kanssa a=eii{\ displaystyle \ alpha = n_ {i}}
jossa edustaa perustilan järjestelmän (tämä tila on myös kutsutaan tyhjiön tilassa, yhteydessä N-laitoksen ongelma) Toinen kvantisointi formalismia siis tarkoittaa sitä, että jos sovelletaan luominen operaattori useita kertoja perustilan järjestelmän , saamme lopulta viritetyn tilan, jossa jokainen runko (siis kukin N yksittäisestä alijärjestelmästä) on vastaavassa energiatilassa .
|0⟩{\ displaystyle | 0 \ rangle}
|0⟩{\ displaystyle | 0 \ rangle}
eii{\ displaystyle n_ {i}}![tai](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4)
Toisen kvantifioinnin sovellukset
Jos katsomme N-kappaleiden järjestelmäksi elektroniryhmän, joka sijaitsee kidehilan sisällä, toinen kvantisointiformalismi antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa tätä järjestelmää kuvaava Hamiltonin selkeä. Tämä Hamiltonin kieli voidaan siis kirjoittaa:
H^=H0^+Ve^{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H_ {0}}} + {\ hattu {V_ {e}}}}
tai:
H0^=∫ddrkloσ†(r→)[s→^22m+V(r→)]kloσ(r→){\ displaystyle {\ hat {H_ {0}}} = \ int d ^ {d} ra _ {\ sigma} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow {r}}) \ vasen [{\ frac {{\ hattu {\ overrightarrow {p}}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ overrightarrow {r}}) \ right] a _ {\ sigma} ({\ overrightarrow {r}})}
on hamiltonilainen, joka kuvaa elektroneja (olettaen, että ne ovat vapaita, joten sivuutetaan elektronien välinen vuorovaikutus)
V^e=12∫ddr∫ddr′Ve(r→-r′→)kloσ†(r→)klo5†(r′→)klo5(r′→)kloσ(r→){\ displaystyle {\ hat {V}} _ {e} = {\ frac {1} {2}} \ int d ^ {d} r \ int d ^ {d} r'V_ {e} ({\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {r '}}) a _ {\ sigma} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow {r}}) a _ {\ delta} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow { r '}}) a _ {\ delta} ({\ overrightarrow {r'}}) a _ {\ sigma} ({\ overrightarrow {r}})}
on termi, joka kuvaa Coulomb-vuorovaikutusta kahden elektronin välillä (sijaitsevat sijainneissa ja vastaavasti ) ja on elektronin spinpolarisaatio, on elektronin spinpolarisaatio, jonka kanssa ensimmäinen elektroni on vuorovaikutuksessa, ja termi on potentiaalinen energia kidehilaan.
r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}
r′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r '}}}
σ{\ displaystyle \ sigma}
5{\ displaystyle \ delta}
V(r→){\ displaystyle V ({\ overrightarrow {r}})}}![{\ displaystyle V ({\ overrightarrow {r}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35fa202bbd989c759f34255dacf3a1eccb7e2b61)
Huomautuksia ja viitteitä
-
Jos laatikon tilavuus on ääretön, Fourier-sarjan sijaan on käytettävä Fourier-muunnosta .V{\ displaystyle V}
-
Rajoitetun tilavuuden rajalle on asetettava rajaehto . Juuri tämä rajaehto aiheuttaa mahdollisten aaltovektoreiden diskretisoinnin. Jos otetaan esimerkiksi määräajoin reunaehdot varten suuntaissärmiön tilavuus : Tämä määrällinen kirjoitetaan eksplisiittisesti: missä kokonaislukuja .∂V{\ displaystyle \ osittainen V}
V{\ displaystyle V}
V=LxLyLz{\ displaystyle V = L_ {x} L_ {y} L_ {z}}
ki = 2πeiiLi{\ displaystyle k_ {i} \ = \ {\ frac {2 \, \ pi \, n_ {i}} {L_ {i}}}}
eii ∈ Z{\ displaystyle n_ {i} \ \ sisään \ \ mathbb {Z}}
-
(en) Alexander Altland ja Ben Simons, Condensed Matter Field Theory , Cambridge,2010, 770 Sivumäärä ( ISBN 978-0-521-76975-4 ja 0-521-76975-2 , luettu verkossa ) , s. 44
Bibliografia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">