Smash-tuote

In matematiikan ja tarkemmin sanoen algebrallinen topologia , murskata-tuotteen X ∧ Y kahden täynnä topologinen avaruus ( X , x 0 ) ja ( Y , y 0 ) on osamäärä , että tuotteen X x Y , jonka tunnisteita ( x , y 0 ) ~ ( x 0 , y ) kaikille x ∈ X: lle ja kaikille y ∈ Y: lle . Tämä tila riippuu osoittamisesta (paitsi jos X ja Y ovat homogeenisia ).

X ja Y tilat ovat upotetaan sisään X x Y tunnistamalla kanssa aliavaruuksien X x { y 0 } ja { x 0 } x Y , joka leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä: ( x 0 , y 0 ), piste pohja X x Y . Näiden kahden alatilan yhdistäminen on siis homeomorfinen kiilalle X ∨ Y , mikä mahdollistaa smash-tuotteen kirjoittamisen seuraavaksi osamääräksi:

X \ kiila Y = (X \ kertaa Y) / (X \ vee Y).

Smash-tuotteella on tärkeitä sovelluksia homotooppateoriassa , jossa usein työskennellään topologisten tilojen luokan alaluokkien kanssa , mikä johtaa määritelmän hieman muokkaamiseen. Esimerkiksi CW-kompleksien alaluokassa korvataan määritelmässä topologisten tilojen tulo CW-kompleksien tulolla.

Esimerkkejä

Murskata-tuote minkä tahansa tilan osoitti X kanssa n -sphere on homeomorphic on pienempi suspensio on X iteroidaan n kertaa:

X \ kiila S ^ {n} = \ Sigma ^ {n} X.

Esimerkiksi: X ∧ S 0 = X , X ∧ S 1 = Σ X ja S m ∧ S n = Σ n S m = S m + n , erityisesti S 1 ∧ S 1 = Σ S 1 = S 2 on a toruksen T 2 osamäärä .

Tulkinta symmetrisenä yksimuotoisena tuotteena

Kaikilla "tarkoituksenmukaisen" alaluokan X: lle , Y: lle ja Z : lle osoitetuista tiloista , kuten kompaktisti muodostetuista tiloista , on luonnollisia homeomorfismeja (säilyttäen peruspisteen):

X \ wedge Y \ simeq Y \ wedge X \ quad {\ text {ja}} \ quad (X \ wedge Y) \ wedge Z \ simeq X \ wedge (Y \ wedge Z),

jotka tekevät tällaisen alaluokka symmetrinen monoidal luokka , jossa murskata-tuotetta kuin monoidal tuote ja terävä 0-pallo (jäljempänä kahden elementin erillisen avaruuspohjaisen ) kuin yksikkö esine .

Naiivi teräväpiirtoluokka , joka ei ole suljettu suorakulmio , ei ole yksisuuntainen: (ℚ∧ℚ) ∧ℕ ≄ ℚ∧ (ℚ∧ℕ).

Lisäystilanne

Smash-tuote näytelmiä, luokkaan pilkullinen tiloja, sama rooli kuin tensoritulo kategoriassa moduli on vaihdannainen rengas . Erityisesti jos on paikallisesti kompakti , The functor (-∧ ) on lisänä vasemmalle ja functor Hom ( , -):

{\ mathrm {Hom}} (X \ kiila A, Y) \ simeq {\ mathrm {Hom}} (X, {\ mathrm {Hom}} (A, Y)),

missä Hom ( A , Y ) on terävien tilojen morfismien tila, jolla on kompakti-avoin topologia .

Ottamalla yksikköympyrän S 1 varten , saadaan, että alennettu suspensio functor Σ on lisänä vasemmalla puolella tila-avaruus functor Ω:

{\ mathrm {Hom}} (\ Sigma X, Y) \ cong {\ mathrm {Hom}} (X, \ Omega Y).

Huomautuksia ja viitteitä

(in) Voiko qui nähdä, että yksi topologinen tila on huonosti käyttäytynyt homotooppisesta näkökulmasta? , MathOverflow
(de) Dieter Puppe , ” Homotopiemengen und Ihre induzierten Abbildungen. Minä ” , Math. Z. , voi. 69,1958, s. 299-344 ( lue verkossa ), s. 336

(en) Allen Hatcher , algebrallinen topologia , New York, CUP ,2001, 544 Sivumäärä ( ISBN 978-0-521-79540-1 , lue verkossa )

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Smash product " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Aiheeseen liittyvät artikkelit