Schwarzschild-metriikka
In astrophysics , puitteissa yleisen suhteellisuusteorian , Schwarzschildin metriikka on liuos, Einsteinin yhtälöt . Se kuvaa aika-ajan geometriaa, jota gravitaatiokenttä vääristää eristetyn rungon ulkopuolella, pallomaisesti symmetrinen, staattinen (ilman pyörimistä), kuormittamaton ja tyhjiön ympäröimä. Tämä massa voi olla tähti, planeetta tai Schwarzschildin musta aukko .
Emme ota tässä huomioon pallon sädettä eikä edes sen tiheyttä, katsomme vain, että massa on keskittynyt r: n alapuolelle ( säteittäinen etäisyys ), metriikka on siten voimassa vain pallon ulkopuolella.
Suurin osa aurinkokunnan yleisen suhteellisuustestin testeistä perustuu tämän mittarin geodeettisten ominaisuuksien tutkimiseen.
Historiallinen
Samannimisen on Schwarzschildin metriikka on saksalainen tähtitieteilijä Karl Schwarzschild ( 1873-1916), joka löysi sen Joulukuu 1915. Hän on ensimmäinen tarkka ratkaisu massan muodostavan Einsteinin painovoimakentän yhtälöön . Schwarzschild sai sen yhtälön versiosta, jonka Einstein totesi artikkelissaan Merkuruksen perihelionin etenemisestä , joka julkaistiin25. marraskuuta 1915. Schwarzschild ilmoitti löytöstään kahdella päivätyllä kirjeellä22. joulukuuta 1915 : yksi osoitettu Einsteinille; ja toinen Arnold Sommerfeldille (1868-1951). Sen ratkaisu on esitetty13. tammikuuta 1916 sitten julkaistu 3. helmikuuta 1916.
Schwarzschild-metriikkaa kutsutaan joskus "ulkoiseksi", jotta se voidaan erottaa ns. "Sisäisestä", mikä on toinen tarkka ratkaisu Schwarzschildin löytämään Einsteinin yhtälöön.
Pian Schwarzschildin jälkeen ja hänestä riippumatta hollantilainen matemaatikko Johannes Droste ( 1886-1963), Sitten opiskelija Hendrik Lorentz klo Leidenin yliopistossa , löysi ratkaisun. 27. toukokuuta 1916, hän ilmoittaa tuloksistaan Alankomaiden kuninkaalliselle taide- ja tiedeakatemialle .
Schwarzschild-metriikka
Schwarzschild metrinen merkkeihin voidaan kuvata geometrian tila-aika (sen kaarevuus), ja näin ollen gravitaatiokentän , antamalla ilmentymisen tila-aikaväli milloin tahansa, on pallokoordinaateissa keskitetty massiivinen alalla. Tämä intervalli, jolla on pituus, edustaa aika-ajan kaarevuutta antamalla äärettömän pienen siirtymän pituuden tarkasteltavasta pisteestä. Tämä pituus on yhtä suuri kuin Pythagoraan lause, kun kaarevuus on nolla ( euklidinen tila ), ja eroaa siitä, kun kaarevuus ei ole nolla.
Metrinen lauseke
Schwarzschild-metriikka ilmaistaan avaruus-aika- koordinaattijärjestelmässä, jota kutsutaan Schwarzschild-koordinaateiksi, ja merkitään ( x μ ) = ( ct , r , θ , φ ), jossa t on pisteen - aikakoordinaatti - tapahtuma ja r , θ ja φ sen kolme avaruuskoordinaatit:
-
t{\ displaystyle t}
on aikakoordinaatti, jossa piste otetaan huomioon (mitattuna kellolla, joka sijaitsee äärettömällä etäisyydellä massiivisesta esineestä);
-
r{\ displaystyle r}
on pisteen säteittäinen koordinaatti (mitattuna massan esineelle keskitetyn ja pisteen läpi kulkevan pallon ympärysmitta jaettuna 2π: llä);
-
θ{\ displaystyle \ theta}
ja ovat pallon pisteen kaksi kulmakoordinaattia:
φ{\ displaystyle \ varphi}![\ varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
Tässä koordinaatistossa Schwarzschild-metriikan muoto on:
ds2=-vs.2dτ2=-(1-2GMvs.2r)vs.2dt2+dr21-2GMvs.2r+r2(dθ2+synti2θdφ2)=-(1-2GMvs.2r)vs.2dt2+(1-2GMvs.2r)-1dr2+r2(dθ2+synti2θdφ2)=-(1-RSr)vs.2dt2+(1-RSr)-1dr2+r2dΩ2,{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ mathrm {d} s ^ {2} = - \, c ^ {2} \ mathrm {d} \ tau ^ {2} & = - \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + {\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2}} {1- { \ frac {2GM} {c ^ {2} r}}}} + r ^ {2} \ vasen (\ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm { d} \ varphi ^ {2} \ oikea) \\ & = - \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ vasen (\ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi ^ {2} \ right) \\ & = - \ left (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm { S}}} {r}} \ oikea) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}, \ end {tasattu}} }![{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ mathrm {d} s ^ {2} = - \, c ^ {2} \ mathrm {d} \ tau ^ {2} & = - \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + {\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2}} {1- { \ frac {2GM} {c ^ {2} r}}}} + r ^ {2} \ vasen (\ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm { d} \ varphi ^ {2} \ oikea) \\ & = - \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ vasen (\ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi ^ {2} \ right) \\ & = - \ left (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm { S}}} {r}} \ oikea) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}, \ end {tasattu}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b24f44da35d586377934e399a58ae064faad2cd)
tai:
-
ds{\ displaystyle \ mathrm {d} s}
on äärettömän pienen siirtymän (d t , d r , d θ , d φ ) aika-aika pisteestä P;
-
G{\ displaystyle G}
on painovoiman vakio ;
-
vs.{\ displaystyle c}
on valon nopeus;
-
M{\ displaystyle M}
on kohteen massa;
-
RS=2GMvs.2{\ displaystyle R _ {\ mathrm {S}} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}
on massiiviseen esineeseen liittyvä Schwarzschildin säde ;
-
dΩ2=dθ2+synti2θdφ2{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega ^ {2} = \ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi ^ {2}}
.
Oikea aikaväli kirjoitetaan:
dτ2=-ds2vs.2=(1-RSr)dt2-1vs.2[(1-RSr)-1dr2+r2dΩ2]{\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = - {\ frac {\ mathrm {d} s ^ {2}} {c ^ {2}}} = \ vasen (1 - {\ frac {R_ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) \ mathrm {d} t ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ vasen [\ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ right) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2 } \ oikea]}![{\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = - {\ frac {\ mathrm {d} s ^ {2}} {c ^ {2}}} = \ vasen (1 - {\ frac {R_ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) \ mathrm {d} t ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ vasen [\ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ right) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2 } \ oikea]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1085494e97b8f6b91b837d71bf0af32e9426181c)
.
In geometrinen yksiköissä , metrisen on kirjoitettu:
ds2=-dτ2=-(1-2mr)dt2+(1-2mr)-1dr2+r2dΩ2.{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \, \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {2m} {r}} \ oikea) \ mathrm {d} t ^ {2} + \ vasen (1 - {\ frac {2m} {r}} \ oikea) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}.}
Tapaus M = 0
Jos M = 0 , Schwarzschild-metriikka pienenee Minkowskin arvoksi .
Tapaus M ≠ 0
Jos M ≠ 0 , metriikka on yksikössä on r = 0 .
Tapaus M <0
Jos M <0 , metrian singulariteetti r = 0 on paljas singulariteetti .
Tapaus M > 0
Jos M > 0 , metriikka on yksikkö kohdassa r =2 GM/c 2.
Aika -aika Schwarzschild on joukko aika-aikaa, jonka topologia on määritelty mittarin voimassaolon alueelta , on:
M>0{\ displaystyle M> 0}![M> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f423ab77b3411ec2803520a07c0dfae6ceb826)
(R3∩{r>klo>2GMvs.2})×R≅S2×R+×R{\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ cap \ left \ {r> a> {\ frac {2GM} {c ^ {2}}} \ right \} \ right) \ kertaa \ mathbb {R} \ cong S ^ {2} \ kertaa \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R}}![{\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ cap \ left \ {r> a> {\ frac {2GM} {c ^ {2}}} \ right \} \ right) \ kertaa \ mathbb {R} \ cong S ^ {2} \ kertaa \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a070a03cf65f4daf7c65ed15194694af5e3d33a)
,
missä on massakappaleen säde .
klo{\ displaystyle a}
M{\ displaystyle M}![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Näin määritelty Schwarzschild-aika-aika on aluksella oleva lajike . Sen täydennys on Schwarzschildin musta aukko .
r<2GMvs.2{\ displaystyle r <{\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}![{\ displaystyle r <{\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7261758f7772e647d62ac522710c46ddb507046a)
Metriikan fyysinen tulkinta
Staattinen metrinen
Parametrin t puuttuminen metrilausekkeesta tarkoittaa, että metriikka ei vaihtele ajan mukaan ja on staattinen . Kaarevuus aika-ajan pisteessä pysyy samana t: stä riippumatta . Samoin sekoitettujen termien puuttuminen ajan kanssa (kuten esimerkiksi) osoittaa, että painovoimakenttä ei aiheuta aika-ajan pyörimistä (kuten Lense-Thirring -vaikutuksessa ), mikä on yhdenmukaista alkuperäisen oletuksen kanssa, että tähti ei pyöri .
dφdt{\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5df00f0998d6513c3bb9500cda2262da1b844c5)
R: n määritelmän seuraukset
r ei ole todellinen etäisyys
Jos otamme d r = 0 ja d t = 0 ( r- vakio ja t- vakio), niin metriikka pienennetään, mihin ei ole muuta kuin etäisyys pallolla, jonka säde on r Euklidisen avaruudessa. Tästä seuraa, että r on määritelmän mukaan mitattava siten, että tämä lauseke on totta, eikä massakeskipisteen ja pisteen välisen todellisen etäisyyden mitalla . Mittauksen antamiseksi Schwarzschildin koordinaatille r pisteessä on aloitettava mittaamalla kehän pallo, joka on keskitetty massiiviseen esineeseen ja kulkee pisteen läpi, ja jaettava se 2π: llä. Yleisen suhteellisuusteollisuuden vääristyneessä aika-ajassa emme välttämättä putoa tällä laskelmalla keskipisteen ja pisteen välistä säteittäistä etäisyyttä R, jossa ympyrän kehä voi olla suurempi tai pienempi kuin 2πR, riippuen siitä, onko kaarevuus on positiivinen tai negatiivinen.
r2(dθ2+synti2θdφ2){\ displaystyle r ^ {2} \ vasen (\ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi ^ {2} \ right)}![{\ displaystyle r ^ {2} \ vasen (\ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi ^ {2} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efb35a1222a0277a98adbee49c188a61dcfa2c0)
Voisimme antaa lausekkeen samalle metrikalle käyttämällä säteittäistä etäisyyttä, mutta se olisi monimutkaisempi ja vähemmän käyttökelpoinen. Yleinen suhteellisuusteoria, joka sallii minkä tahansa viitekehyksen käytön, mikään ei ole fyysisesti ylivoimainen toiseen, voimme vapaasti käyttää mitä tahansa koordinaatistoa kuvaamaan metriikkaa, jossa valintaperuste on pikemminkin metrisen käytettävyys. Lisäksi tämän metriikan kuvaamiseen on olemassa muita koordinaatistojärjestelmiä, kuten myöhemmin kuvatut Kruskal-Szekeres-koordinaatit, jotka päättävät sekoittaa tasaisen tilan ja ajan koordinaatteihinsa.
r ja säteittäinen etäisyys
r kasvaa monotonisesti radiaalisen etäisyyden l , oikean etäisyyden massiivisen kohteen keskustaan, kanssa massiivisen kohteen vertailukehyksessä. Toisin sanoen, jos l on radiaalinen etäisyys, joka vastaa r: tä ja l ', joka vastaa r': tä, niin . Mutta r kasvaa hitaammin kuin l .
r>r′⇔l>l′{\ displaystyle r> r '\ Vasen nuoli l> l'}![r> r '\ Vasen suora l> l'](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bac6022ce79537a4ed28d40c2403e0563736c48)
Nämä kaksi koordinaattia yhdistävä suhde on .
dr=±(1-2m(r)r)dl{\ displaystyle \ mathrm {d} r = \ pm (1 - {\ frac {2m (r)} {r}}) \ mathrm {d} l}![{\ displaystyle \ mathrm {d} r = \ pm (1 - {\ frac {2m (r)} {r}}) \ mathrm {d} l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b2e722c5da33c8424ddc261d7e3634cd1cab42)
m(r){\ displaystyle m (r)}
on objektin massa, joka sisältyy säteen r palloon (Schwarzschild-koordinaateissa). kun r on pienempi kuin kohteen säde, ja , kohteen massa, jos r on suurempi kuin kohteen säde. Saat musta aukko kaikille r> 0 .
m(r)∝r3{\ displaystyle m (r) \ propto r ^ {3}}
m(r)=M{\ displaystyle m (r) = M}
m(r)=M{\ displaystyle m (r) = M}![m (r) = M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a188d35d380cb8566138c5224342dc8e14372c4)
Toiminto on yksitoikkoinen niin kauan kuin , mikä varmistetaan staattiselle objektille, joka on yksi Schwarzschild-metriikan edellytyksistä. Tekijällä ei ole singulariteettia r = 2 M: ssä , koska m (r) pienenee paljon nopeammin kuin r .
2m(r)r<1{\ displaystyle {\ frac {2m (r)} {r}} <1}
(1-2m(r)r){\ displaystyle (1 - {\ frac {2m (r)} {r}})}![(1 - {\ frac {2m (r)} {r}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28033e32da18d450b19e479e96aad8594f685d00)
Ääretön minkowskilainen metriikka
Tila-aika , jota esittää tämä tieto on asymptoottisesti tasainen. Kun metriikka lähestyy Minkowskin mittaria , ja aika-ajan vaihtelu muistuttaa Minkowskin avaruutta (löydämme vain termin, joka on, kuten näimme edellisessä kappaleessa, pallon tasaisessa tilassa ).
r→∞{\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}
r2{\ displaystyle r ^ {2}}![r ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a363a15442d031416d1eb62254a9c726e3f6c66c)
Aika t
Ajallinen koordinaatti t on valittu tässä metrinen siten, että ne aina ortogonaalisia kanssa spatiaalinen mitat (kertoimet osoitettu , ja ovat aina nolla), edustaa todellista ajallista koordinaatti. Siksi aika on välttämättä Minkowskin aika, jonka määrittelee kello, joka sijaitsee massiivisen kohteen äärettömyydessä.
drdt{\ displaystyle \ mathrm {d} r \ mathrm {d} t}
dθdt{\ displaystyle \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} t}
dφdt{\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5df00f0998d6513c3bb9500cda2262da1b844c5)
Fyysisesti voimme mitata Schwarzschild-ajan t missä tahansa vaiheessa toimimalla seuraavasti. Sijoitamme kellon jokaiseen aika-ajan pisteeseen, ja "pääkello" asetetaan kohtaan r = ääretön. Nämä kellot seuraavat maailmankaikkeuden viivoja, koska ne ovat paikallaan toistensa suhteen (fotonit, jotka vastaanotetaan kaukaisesta kellosta ilman punasiirtymää ). Säädämme (rytmissä ja siirtymässä) kelloja askel askeleelta suhteessa "pääkelloon" Einstein-synkronoinnilla .
Tämä tarkoittaa, että aika Schwarzschildin t pyrkii kiihdyttämään lähestyttäessä (aika kaukana kello kulkee nopeammin ja nopeammin).
rs{\ displaystyle r_ {s}}![r_ {s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28528468fc3b17c72144f4ba50bb7b4257c1e316)
Mittarin ainutlaatuisuus, laajennukset ja yleistykset
Ainutlaatuisuus
Birkhoffin lause on ainutlaatuisuuslause, jonka nojalla Schwarzschild-metriikka on ainoa tarkka ratkaisu Einsteinin yhtälöön, joka kuvaa gravitaatiokentän, joka syntyy äärellisen koon, pallomaisen symmetrisen ja sähkövarauksettoman massajakauman alipaineessa.
Laajennukset
Kruskal-Szekeres-laajennus on Schwarzschild-metriikan suurin analyyttinen laajennus. Siinä korostetaan, että Schwarzschildin musta aukko on ikuinen musta aukko eli se, joka ei ole syntynyt painovoiman romahduksesta.
Yleistykset
Schwarzschild-metriikka on yleistetty kosmologisen vakion, lisäparametrien ja muiden ulottuvuuksien huomioon ottamiseksi.
Schwarzschildin horisontti
Schwarzschild horisontti on tapahtuma horisontin samannimisiä musta aukko.
Kun metrikassa oleva kerroin pyrkii äärettömään. Tätä sädettä kutsutaan tapahtumahorisontiksi . Kun voimme nähdä, että alueellisen ja ajallisen koordinaatin rooli ja se on päinvastainen. Alueella suunta on aikatyyppiä ja avaruustyyppiä. Suunta muuttuu, kun tarkkailija ylittää tapahtumahorisontin. Tämä tarkoittaa, että Schwarzschildin säteen sisällä etäisyys tarkkailijasta on ajanmitta!
r=rs=2GMvs.2{\ displaystyle r = r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}
dr2{\ displaystyle dr ^ {2}}
r<rs{\ displaystyle r <r_ {s}}
r{\ displaystyle r}
t{\ displaystyle t}
r>rs{\ displaystyle r> r_ {s}}
t{\ displaystyle t}
r{\ displaystyle r}
r{\ displaystyle r}![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
Tämä mittarin singulariteetti on ilmeinen vain, koska se on käytetyn koordinaattijärjestelmän patologia. Jos olisimme läsnä todellisessa singulariteetissa, toisin sanoen aika-aika-alueella, jossa fysikaaliset määrät , kuten energia, paine ... tulevat äärettömiksi, niin Riemannin tensorin ilmaisema mittakaavan kaarevuus olisi itsessään ääretön. . Tämä kaarevuus määritetään kuitenkin täydellisesti, kun tarkkailija ylittää Schwarzschildin säteen. Kaarevuusvariantti on säännöllinen. Riemannin kaarevuustensorin komponentit ovat rajattomat vain, kun .
r=rs{\ displaystyle r = r_ {s}}
K=M/r3{\ displaystyle K = M / r ^ {3}}
r=0{\ displaystyle r = 0}![r = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89)
On mahdollista muodostaa joukko koordinaatteja, jotka soveltuvat paremmin taivaankappaletta lähestyvälle koobiilihavainnolle , jossa metriikka on täysin säännöllinen horisontin tasolla. Horisontin ylittävä tarkkailija ei siis havaitse mitään erityistä tapahtumaa. Esimerkin tarjoavat Kruskal-Szekeresin koordinaatit . Idealisoidussa tapauksessa, jossa taivaankappale on täsmällinen horisontin sisäisen alueen keskellä, voimme osoittaa, että on olemassa todellinen singulariteetti. Tässä vaiheessa tarkkailija havaitsee välttämättä kaikkien havaittavien fyysisten määrien poikkeaman.
Koska tapahtumahorisontti riippuu vain massasta , voimme määrittää useiden tavallisten taivaankappaleiden Schwarzschild-säteet.
M{\ displaystyle M}![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Joidenkin taivaankappaleiden fyysiset parametrit ja likimääräinen Schwarzschild-säde.
Taivaallinen esine
|
Massa
|
säde
|
Schwarzschildin säde
|
---|
Maa
|
6.1024{\ displaystyle 6.10 ^ {24}} kg
|
6.103{\ displaystyle 6.10 ^ {3}} km
|
0,9 cm
|
---|
Jupiter
|
2.1027{\ displaystyle 2.10 ^ {27}} kg
|
7.104{\ displaystyle 7.10 ^ {4}} km
|
3 m
|
---|
Aurinko
|
2.1030{\ displaystyle 2.10 ^ {30}} kg
|
7.105{\ displaystyle 7.10 ^ {5}} km
|
3 km
|
---|
Pulsar
|
2.1030{\ displaystyle 2.10 ^ {30}} kg
|
10 km
|
3 km
|
---|
Sirius A
|
2 M⊙{\ displaystyle M _ {\ odot}}
|
1.75 R⊙{\ displaystyle R _ {\ odot}}
|
6 km
|
---|
Horisontin alapuolella: Kruskal-Szekeresin koordinaatit
Koska Einsteinin yhtälöt ovat vaihtelevia, fyysikot ja matemaatikot ovat etsineet uusia koordinaatistoja ilman singulariteettia ja ennen kaikkea edustavat todennäköisesti koko Schwarzschildin geometriaa. Paul Painlevé ja Allvar Gullstrand tai jopa Georges Lemaître ovat julkaisseet useita yrityksiä tällä alalla. Mutta fyysikko Arthur Eddingtonille hyvitetään pääpiirteet ensimmäisen ei-yksikön koordinaatistojärjestelmän luomiselle vuonna 1924. Vuonna 1938 Georges Lemaître kehitti synkronisen metriikan ( Lemaître-metriikka ); Finkelstein löysi toisen, ei-synkronisen, vuonna 1958, ja nykyään sitä kutsutaan Eddington-Finkelstein-koordinaateiksi : molemmat mahdollistavat pienimassaisen ruumiin pääsyn Schwarzschildin mustaan aukkoon tutkittavaksi, eivätkä esitä mitään singulariteettia Schwarzschildin säteellä. Synge osoittaa, että Eddington - Finkelstein-metriikka kattaa vain osan Schwarzschildin aika-ajan geometriasta, aivan kuten Lemaître.
rg=2GMvs.2{\ displaystyle r_ {g} = {2GM \ yli c ^ {2}}}![r_ {g} = {2GM \ yli c ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89446853879559dee6823507606e382fcf9cb37e)
Vasta 1960-luvulla Martin Kruskal ja George Szekeres onnistuivat toisistaan riippumatta luomaan koordinaatit, joissa geodeettiset aineet voivat ylittää näennäisen singulariteetin molempiin suuntiin . Tätä järjestelmää tutkitaan hyvin usein, koska Kruskal-Szekeres-jakotukki on Schwarzschild-jakotukin suurin analyyttinen jatko.
Yksittäisyys
Metrinen johtaminen
Tämä kappale osoittaa, kuinka Schwarzschild-metriikka saadaan matemaattisista ja fysikaalisista oletuksista.
Matemaattiset sopimukset
Käytämme koordinaatistoa, joka merkitsee aikaa, säteittäistä etäisyyttä, leveyttä ja pituusastetta . Nämä muuttujat voivat saada seuraavat arvot.
(t,r,θ,ϕ){\ displaystyle \ vasen (t, r, \ theta, \ phi \ right)}![\ vasen (t, r, \ theta, \ phi \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883b2d68ef317adb70e76285ffc4edf6f8bc7ea3)
{t∈Rr∈R+θ∈[0,π]ϕ∈[0,2π]{\ displaystyle {\ begin {cases} t \ in \ mathbb {R} \\ r \ in \ mathbb {R} ^ {+} \\\ theta \ in \ left [0, \ pi \ right] \\\ phi \ sisään \ vasen [0,2 \ pi \ oikea] \ loppu {tapaukset}}}
Karl Schwarzschildin mielestä tapaus on symmetrinen, pallomainen, staattinen, kuormittamaton ja tyhjä tila keskirungon ulkopuolella. Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että:
- Tila-aika , jossa pallomainen symmetria , voimme myös sanoa isotrooppinen , on tila-aika, jossa kaikki komponentit metristä ovat ennallaan aikana pyörimisen käytön . Matemaattisesti muunnokset ja jätä metriikka muuttumattomaksi.θ→-θ{\ displaystyle \ theta \ rightarrow - \ theta}
ϕ→-ϕ{\ displaystyle \ phi \ rightarrow - \ phi}![\ phi \ rightarrow - \ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a514572850058f3197fbb3cfbf6861c9d0e52b95)
- Aika-aika on staattinen, kun metriikan komponentit ovat riippumattomia ajasta . Matemaattisesti muunnos ei vaikuta metriikkaan. Tämä tarkoittaa sitä, että missä käytettiin sopimusta .t→t+klo{\ displaystyle t \ suorakulmainen t + a}
∂tgμv=0{\ displaystyle \ osittainen _ {t} g _ {\ mu \ nu} = 0 \,}
∂t≡∂∂t{\ displaystyle \ osittainen _ {t} \ equiv {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen t}}}![{\ displaystyle \ osittainen _ {t} \ equiv {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293309a9bf874e86a04b46a8009e82074790f4a6)
- Liuos tyhjiössä on ratkaisu, jossa energiaa vauhtia tensor että Einsteinin yhtälö on nolla ulkopuolella keskirungon. Ja kun kyseessä on nolla kosmologisen vakio , tämä merkitsee sitä, että , jos on Ricci tensor .Tμv=0{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = 0 \,}
Rμv=0{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 0 \,}
Rμv{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} \,}![R _ {{\ mu \ nu}} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fb5f43b5ffc8f197ecc79a16d8ac872b67ed20)
Seuraava LLSC-metrinen allekirjoitus (- + + +) .
+g=-(x0)2+(x1)2+(x2)2+(x3)2{\ displaystyle + \ mathbf {g} = - (\ mathbf {x} ^ {0}) ^ {2} + (\ mathbf {x} ^ {1}) ^ {2} + (\ mathbf {x} ^ {2}) ^ {2} + (\ mathbf {x} ^ {3}) ^ {2}}
Metrinen diagonalisaatio
Edellä kuvatut aika-aikaolosuhteet mahdollistavat metriikan yksinkertaistamisen. Esimerkiksi staattisen aika-ajan ehtona on, että jos sovellamme koordinaattimuunnosta , metriikan kertoimet muuttuvat seuraavasti:
(t,r,θ,ϕ)→(-t,r,θ,ϕ){\ displaystyle (t, r, \ theta, \ phi) \ oikeanpuoleinen nuoli (-t, r, \ theta, \ phi)}![(t, r, \ theta, \ phi) \ oikeanpuoleinen nuoli (-t, r, \ theta, \ phi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fea3f8269721c34d9d1b56f9a1a3998b86280f)
gμt′=∂xa∂x′μ∂xβ∂x′tgaβ=-gμt{\ displaystyle g _ {\ mu t} '= {\ frac {\ partituali x ^ {\ alpha}} {\ osittain x ^ {' \ mu}}} {\ frac {\ osittain x ^ {\ beta}} {\ional x ^ {'t}}} g _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ mu t}}![{\ displaystyle g _ {\ mu t} '= {\ frac {\ partituali x ^ {\ alpha}} {\ osittain x ^ {' \ mu}}} {\ frac {\ osittain x ^ {\ beta}} {\ional x ^ {'t}}} g _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ mu t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad1e4277bfdc1a5499fe1328c54560408b5edcb)
( ).
μ≠t{\ displaystyle \ mu \ neq t}![\ mu \ neq t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1006d1674c190db5459c3b6a2c32e97d48fe2420)
Mutta me määräsimme sen . Mikä tarkoittaa:
gμt′=gμt{\ displaystyle g '_ {\ mu t} = g _ {\ mu t}}![g '_ {{\ mu t}} = g _ {{\ mu t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e176a9902066c4df9e6e3658ce8d41b9a301512)
gμt=0{\ displaystyle g _ {\ mu t} = \, 0}![g _ {{\ mu t}} = \, 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1831cd6c0bc0e82672cea9fcf44cfbab9d3e10f1)
( ).
μ≠t{\ displaystyle \ mu \ neq t}![\ mu \ neq t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1006d1674c190db5459c3b6a2c32e97d48fe2420)
Samoin koordinoi muunnokset ja anna vastaavasti:
(t,r,θ,ϕ)→(t,r,-θ,ϕ){\ displaystyle (t, r, \ theta, \ phi) \ oikealle (t, r, - \ theta, \ phi)}
(t,r,θ,ϕ)→(t,r,θ,-ϕ){\ displaystyle (t, r, \ theta, \ phi) \ oikealle (t, r, \ theta, - \ phi)}![(t, r, \ theta, \ phi) \ oikealle (t, r, \ theta, - \ phi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7d6fe7d0ffa7cb621a1cdace9fbe8534e757c8)
gμθ=0{\ displaystyle g _ {\ mu \ theta} = \, 0}![g _ {{\ mu \ theta}} = \, 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8206dee88535a3d04eeb8e1b082e157295084db)
( );
μ≠θ{\ displaystyle \ mu \ neq \ theta}
gμϕ=0{\ displaystyle g _ {\ mu \ phi} = \, 0}![g _ {{\ mu \ phi}} = \, 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d6817b2b035df3d1f4e99f91575242727394a4)
( ).
μ≠ϕ{\ displaystyle \ mu \ neq \ phi}
Yhdistämällä kaikki nämä tulokset saadaan:
gμv=0{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \, 0}![g _ {{\ mu \ nu}} = \, 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997df8edb8694b4b0f8c8ddb353c2456b100bd40)
( ).
μ≠v{\ displaystyle \ mu \ neq \ nu}![\ mu \ neq \ nu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4379369da2c78ddd6bc9fe97117b575bb5eeb5)
Tämän seurauksena muuttujalla on seuraava muoto:
ds2=gttdt2+grrdr2+gθθdθ2+gϕϕdϕ2{\ displaystyle ds ^ {2} = \, g_ {tt} dt ^ {2} + g_ {rr} dr ^ {2} + g _ {\ theta \ theta} d \ theta ^ {2} + g _ { \ phi \ phi} d \ phi ^ {2}}![ds ^ {2} = \, g _ {{tt}} dt ^ {2} + g _ {{rr}} dr ^ {2} + g _ {{\ theta \ theta}} d \ theta ^ {2 } + g_ {{\ phi \ phi}} d \ phi ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe543fc3d92efbe7d4046cb12198cc423c6913f)
jossa neljä komponenttia metriikan ( , , ja ) ovat riippumattomia aikakoordinaatilla.
gtt{\ displaystyle g_ {tt}}
grr{\ displaystyle g_ {rr}}
gθθ{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta}}
gϕϕ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi}}![g _ {{\ phi \ phi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39023076c70f7559bbcdeeaeea30b890b71d1a02)
Metriikan komponenttien yksinkertaistaminen
Kunkin hypersurface missä , ja ovat vakioita (eli jokainen säteittäinen viiva), on oltava riippuvainen ainoastaan (ehto symmetrisen pyöreä). Joten on yhden muuttujan funktio:
t{\ displaystyle t}
θ{\ displaystyle \ theta}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
grr{\ displaystyle g_ {rr}}
r{\ displaystyle r}
grr{\ displaystyle g_ {rr}}![g _ {{rr}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad43fe4f64a7a01e7faf98135067a898cd23b32)
grr=AT(r){\ displaystyle g_ {rr} = A \ vasen (r \ oikea)}![g _ {{rr}} = A \ vasen (r \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bc7366e4c7809c8e0481f18c8240b2cd3614a7)
.
Samanlainen argumentti, jota sovelletaan, tarkoittaa, että:
gtt{\ displaystyle g_ {tt}}![g _ {{tt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1cc27914684384a6b3203adde4472b82a6c871)
gtt=B(r){\ displaystyle g_ {tt} = B \ vasen (r \ oikea)}![g _ {{tt}} = B \ vasen (r \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2648ee6fab6a6ef32d1121f88b8ecc010e1aec0)
.
Hyperpinnoissa, joissa ja jotka ovat vakioita, asetamme metriikalle olevan 2-pallomainen ja riippumaton ajasta:
t{\ displaystyle t}
r{\ displaystyle r}![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
dl2=r02(r)(dθ2+synti2θdϕ2){\ displaystyle dl ^ {2} = r_ {0} ^ {2} (r) (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}![dl ^ {2} = r _ {{0}} ^ {2} (r) (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d99c504b760d1665e69d7febf5a00d12781488)
.
Valitsemalla yksi näistä hyperpinnoista (säteen omaava ), tälle pinnalle rajoitetun metrikomponentin (jota merkitään ja merkitään ) on oltava muuttumattomia pyörimisoperaatioissa ja (jälleen pallomaisessa symmetriassa). Siten vertaamalla tämän hyperpinnan metriikan muotoja saadaan:
r{\ displaystyle r}
g~θθ{\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ theta \ theta}}
g~ϕϕ{\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ phi \ phi}}
θ{\ displaystyle \ theta}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
g~θθ(dθ2+g~ϕϕg~θθdϕ2)=r02(r)(dθ2+synti2θdϕ2){\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ theta \ theta} \ vasen (d \ theta ^ {2} + {\ frac {{\ tilde {g}} _ {\ phi \ phi}} {{\ tilde {g}} _ {\ theta \ theta}}} d \ phi ^ {2} \ right) = r_ {0} ^ {2} (r) (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2 } \ theta d \ phi ^ {2})}![{\ tilde {g}} _ {{\ theta \ theta}} \ vasemmalle (d \ theta ^ {2} + {\ frac {{\ \ilde {g}} _ {{\ phi \ phi}}} {{ \ tilde {g}} _ {{\ theta \ theta}}}} d \ phi ^ {2} \ right) = r _ {{0}} ^ {2} (r) (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ab7a8393c4ebcf78d77e2940daf2a2ec7218fa)
mikä merkitsee välittömästi:
g~θθ=r02(r){\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ theta \ theta} = r_ {0} ^ {2} (r)}![{\ tilde {g}} _ {{\ theta \ theta}} = r _ {{0}} ^ {2} (r)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ee85a9f99aa3b209d71d43b9451f0427da2db1)
ja .
g~ϕϕ=r02(r)synti2θ{\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ phi \ phi} = r_ {0} ^ {2} (r) \ sin ^ {2} \ theta}![{\ tilde {g}} _ {{\ phi \ phi}} = r _ {{0}} ^ {2} (r) \ sin ^ {2} \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d78b02c088f82d9c623a4d59d10be2ea74ee2c2)
Tavanomaisesti muuttujan muutos suoritetaan, ja jotta notaatiota ei ylikuormiteta, jatketaan tämän uuden muuttujan merkitsemistä ; pidämme myös samaa merkintää toiminnoille ja .
r→r0(r){\ displaystyle r \ rightarrow r_ {0} (r)}
r{\ displaystyle r}
r0{\ displaystyle r_ {0}}
AT{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Joten mittari voidaan kirjoittaa muodossa:
ds2=B(r)dt2+AT(r)dr2+r2dθ2+r2synti2θdϕ2{\ displaystyle ds ^ {2} = B \ vasen (r \ oikea) dt ^ {2} + A \ vasen (r \ oikea) dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}![ds ^ {2} = B \ vasen (r \ oikea) dt ^ {2} + A \ vasen (r \ oikea) dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ { 2} \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c95087e26b4425b8ed886df61a7d83c632e001)
missä ja mitkä toiminnot ovat vielä määrittelemättä. ja sen on oltava nollasta poikkeava kaikkialla (muuten metriikka olisi yksikkö näissä kohdissa).
AT{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
r{\ displaystyle r}
AT{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Kenttäyhtälöt
Funktioiden määrittämiseksi ja käytämme Einstein-yhtälöä tyhjiössä:
AT{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Rμv=0{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = \, 0}![R _ {{\ mu \ nu}} = \, 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73915fc4e7656b8e0d13d7c444a57dd8a6f2ac39)
missä on Ricci-tensori . Näiden yhtälöiden joukossa vain neljä ei ole triviaali, ja yksinkertaistamisen jälkeen saadaan:
Rμv{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}![R _ {{\ mu \ nu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ee22d1a052bee0115efb8b5ffdaf10b04e42aa)
- 4∂r(AT)B2-2r∂r2(B)ATB+r∂r(AT)∂r(B)B+r∂r(B)2AT=0{\ displaystyle 4 \ osittainen _ {r} (A) B ^ {2} -2r \ osittainen _ {r} ^ {2} (B) AB + r \ osittainen _ {r} (A) \ osittainen _ {r } (B) B + r \ osittainen _ {r} (B) ^ {2} A = 0}
![{\ displaystyle 4 \ osittainen _ {r} (A) B ^ {2} -2r \ osittainen _ {r} ^ {2} (B) AB + r \ osittainen _ {r} (A) \ osittainen _ {r } (B) B + r \ osittainen _ {r} (B) ^ {2} A = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df43211b378a39684a6877efeaf7c95842934d1)
- r∂r(AT)B+2AT2B-2ATB-r∂r(B)AT=0{\ displaystyle r \ osittainen _ {r} (A) B + 2A ^ {2} B-2AB-r \ osittainen _ {r} (B) A = 0 \,}
![{\ displaystyle r \ osittainen _ {r} (A) B + 2A ^ {2} B-2AB-r \ osittainen _ {r} (B) A = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e5ceb834e93391872dca225a37fcc9e9915465)
- -2r∂r2(B)ATB+r∂r(AT)∂r(B)B+r∂r(B)2AT-4∂r(B)ATB=0{\ displaystyle -2r \ osittainen _ {r} ^ {2} (B) AB + r \ osittainen _ {r} (A) \ osittainen _ {r} (B) B + r \ osittainen _ {r} (B ) ^ {2} A-4 \ osittainen _ {r} (B) AB = 0}
![{\ displaystyle -2r \ osittainen _ {r} ^ {2} (B) AB + r \ osittainen _ {r} (A) \ osittainen _ {r} (B) B + r \ osittainen _ {r} (B ) ^ {2} A-4 \ osittainen _ {r} (B) AB = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775fbe99394d31a8e23cf94dc3193a2778814a34)
Neljäs yhtälö on yksinkertaisesti toinen kerrottuna . Vähentämällä ensimmäinen ja kolmas saadaan:
synti2θ{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta}![\ sin ^ {2} \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02635acae84e17f9bae3ce887b425276ffeaa1a0)
∂r(AT)B+AT∂r(B)=0→AT(r)B(r)=K{\ displaystyle \ osittainen _ {r} (A) B + A \ osittainen _ {r} (B) = 0 \ oikeanpuoleinen nuoli A (r) B (r) = K \,}
missä on nollasta poikkeava vakio. Korvaamalla toinen yhtälö ja yksinkertaistamalla meillä on:
K{\ displaystyle K}
AT(r)B(r)=K{\ displaystyle A (r) B (r) \, = K}![A (r) B (r) \, = K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae81d95e66350c8a1d37c19c078b4b4751410fd)
r∂r(AT)=AT(1-AT){\ displaystyle r \ osittainen _ {r} (A) = A (1-A) \,}
jonka yleinen ratkaisu on:
AT(r)=(1+1Sr)-1{\ displaystyle A (r) = \ vasen (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ oikea) ^ {- 1} \,}
reaalivakion kanssa, joka ei ole nolla . Tämän seurauksena symmetrisesti pallomaisen ja tyhjiössä olevan staattisen ratkaisun metriikka kirjoitetaan:
S{\ displaystyle S}![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
ds2=K(1+1Sr)dt2+(1+1Sr)-1dr2+r2(dθ2+synti2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = K \ vasen (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ oikea) dt ^ {2} + \ vasen (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ oikea) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}
.
Heikko kentän likiarvo
Tiedeyhteisö katsoo, että se soveltuu astrofysikaalisiin ongelmiin, joissa painovoimakenttä ja keskimassan kulmamomentti ovat heikot. Esimerkiksi aurinkokunnassa on täysin mahdollista pitää planeettojen kokonaismassa vähäisenä aurinkoon verrattuna . Auringon pyörimisnopeus on itsessään melkein nolla verrattuna valon nopeuteen.
Laskea vakiot ja käytämme "heikko kenttä lähentämisestä". Toisin sanoen, sijoitamme itsemme kauas keskustasta, missä painovoimakenttä on heikko. Siksi katsomme rajaehdon. Infinityssä Schwarzschild-mittarin on oltava identtinen tasaisen Minkowski-tilan kanssa. Erityisen suhteellisuusteollisuuden yleistuloksista alkaen kaikki mittarin komponentit voidaan määrittää käyttämättä tensorilaskentaa. on gravitaatiovakio , on massa keskeinen kohde, ja on valon nopeus .
K{\ displaystyle K}
S{\ displaystyle S}![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
G{\ displaystyle G}
M{\ displaystyle M}
vs.{\ displaystyle c}![vs.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
- Ensimmäisen funktion arviointi .gtt{\ displaystyle g_ {tt}}
![g _ {{tt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1cc27914684384a6b3203adde4472b82a6c871)
Harkitse kiinteää tapahtumaa . Oikea aika annetaan sitten:
dr=dθ=dϕ=0{\ displaystyle dr = d \ theta = d \ phi = 0}![dr = d \ theta = d \ phi = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7db64d02b0f9c8b075690d0f9189ee1c8d39574)
ds2≡dτ2{\ displaystyle ds ^ {2} \ equiv d \ tau ^ {2}}
dτ2=gttvs.2dt2{\ displaystyle d \ tau ^ {2} = g_ {tt} c ^ {2} dt ^ {2}}
Vastaavuusperiaate antaa meille ilmaisun ajallisen koordinaatin ja massajakauman ympäristössä mitatun oikean ajan välillä.
dτ≃vs.dt(1+GMvs.2r)=vs.dt(1+ΔUvs.2){\ displaystyle d \ tau \ simeq {\ frac {cdt} {(1 + {\ frac {GM} {c ^ {2} r}})}} = {\ frac {cdt} {(1 + {\ frac {\ Delta U} {c ^ {2}}})}}}
dτ2≃(1-2GMvs.2r)vs.2dt2{\ displaystyle d \ tau ^ {2} \ simeq (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}}) c ^ {2} dt ^ {2}}
Harkitsemme nyt vapaapudotuskokeilua. Hiukkanen putoaa, kun se altistuu painovoimakentälle. Sillä on nopeudet ja kun se sijaitsee pisteissä A ja B. Sovellamme energiansäästölakia .
vAT{\ displaystyle v_ {A}}
vB{\ displaystyle v_ {B}}![v_ {B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cbd964d9426eebe62527f39816392dea9a377b)
EM=12vAT2+UAT=12vB2+UB{\ displaystyle {\ frac {E} {M}} = {\ frac {1} {2}} v_ {A} ^ {2} + U_ {A} = {\ frac {1} {2}} v_ { B} ^ {2} + U_ {B}}
12(vAT2vs.2-vB2vs.2)=UB-UATvs.2=-ΔUvs.2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ({\ frac {v_ {A} ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {v_ {B} ^ {2}} { c ^ {2}}}) = {\ frac {U_ {B} -U_ {A}} {c ^ {2}}} = - {\ frac {\ Delta U} {c ^ {2}}}}![{\ frac {1} {2}} ({\ frac {v_ {A} ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {v_ {B} ^ {2}} {c ^ { 2}}}) = {\ frac {U_ {B} -U_ {A}} {c ^ {2}}} = - {\ frac {\ Delta U} {c ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e346900b687ec27ae52d63aa3308e6b7422fad9)
.
Erityisessä suhteellisuusteollisuudessa, jos se edustaa hiukkasemme oikeaa aikaa, meillä on:
τ{\ displaystyle \ tau}![\ tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
tBtAT=τ1-vB2vs.2τ1-vAT2vs.2≃1+12(vAT2vs.2-vB2vs.2)=1-ΔUvs.2{\ displaystyle {\ frac {t_ {B}} {t_ {A}}} = {\ frac {\ tau {\ sqrt {1 - {\ frac {v_ {B} ^ {2}} {c ^ {2 }}}}}} {\ tau {\ sqrt {1 - {\ frac {v_ {A} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}} simeq 1 + {\ frac {1 } {2}} \ vasen ({\ frac {v_ {A} ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {v_ {B} ^ {2}} {c ^ {2}} } \ right) = 1 - {\ frac {\ Delta U} {c ^ {2}}}}![{\ displaystyle {\ frac {t_ {B}} {t_ {A}}} = {\ frac {\ tau {\ sqrt {1 - {\ frac {v_ {B} ^ {2}} {c ^ {2 }}}}}} {\ tau {\ sqrt {1 - {\ frac {v_ {A} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}} simeq 1 + {\ frac {1 } {2}} \ vasen ({\ frac {v_ {A} ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {v_ {B} ^ {2}} {c ^ {2}} } \ right) = 1 - {\ frac {\ Delta U} {c ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca38317fe71b0ea8d783bac4a070eac4c6bfb9b)
.
Aikaisempiin arvioihin, siinä tapauksessa, jossa kenttä on pieni, meillä on: .
gtt≃(1-2GMvs.2r){\ displaystyle g_ {tt} \ simeq \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea)}![g _ {{tt}} \ simeq \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29e0df25c5a38e91b24239ed3ce61813c0f9cc9)
- Toimintojen arviointi .grr{\ displaystyle g_ {rr}}
![g _ {{rr}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad43fe4f64a7a01e7faf98135067a898cd23b32)
Oletetaan , että metrisen tensorin determinantti on suunnilleen Minkowskian .
Tässä tapauksessa on diagonaalinen ja me: .
{g=-1suorakulmaisin koordinaateing=-r4siei2θpallomaisissa koordinaateissa{\ displaystyle {\ begin {cases} g = -1 & {\ text {suorakulmaisissa koordinaateissa}} \\ g = -r ^ {4} sin ^ {2} \ theta ja {\ text {pallomaisissa koordinaateissa}} \ loppu {tapaukset}}}![{\ begin {cases} g = -1 & {\ text {suorakulmaisin koordinaatit}} \\ g = -r ^ {4} sin ^ {2} \ theta ja {\ text {pallomaisissa koordinaateissa}} \ end { tapaukset}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdacd955f9cbdc647c154c962bd74f62ff47b6ff)
Koska Lorentzian muuttuja on ääretön, meillä on: . Lähentäminen antaa, että .
gttgrr=-1{\ displaystyle g_ {tt} g_ {rr} = - 1}
gtt{\ displaystyle g_ {tt}}
grr{\ displaystyle g_ {rr}}
grr=-(gtt)-1≃-(1-2GMvs.2r)-1{\ displaystyle g_ {rr} = - (g_ {tt}) ^ {- 1} \ simeq - \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) ^ {- 1 }}![g _ {{rr}} = - (g _ {{tt}}) ^ {{- 1}} \ simeq - \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea ) ^ {{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5ba09c1d64722a3eff3890e2b2fa8f635477ff)
Allekirjoituksen (- + + +) avulla metrisen tensorin kaksi ensimmäistä komponenttia ovat:
grr=-(gtt)-1≃(1-2GMvs.2r)-1{\ displaystyle g_ {rr} = - (g_ {tt}) ^ {- 1} \ simeq \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) ^ {- 1} }
.
- Arvio toiminnoista ja .gθθ{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta}}
gϕϕ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi}}![g _ {{\ phi \ phi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39023076c70f7559bbcdeeaeea30b890b71d1a02)
Koska pallomaisissa koordinaateissa : , samalla tavoin metrisen allekirjoituksen ja ensimmäisille komponenteille saadut tulokset, päätämme suhde:g=gttgrrgθθgϕϕ=-r4siei2θ{\ displaystyle g = g_ {tt} g_ {rr} g _ {\ theta \ theta} g _ {\ phi \ phi} = - r ^ {4} sin ^ {2} \ theta}
gθθgϕϕ=r4siei2θ{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta} g _ {\ phi \ phi} = r ^ {4} sin ^ {2} \ theta}
gθθ=r2{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta} = r ^ {2}}
ja .
gϕϕ=r2siei2θ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} sin ^ {2} \ theta}![g _ {{\ phi \ phi}} = r ^ {2} sin ^ {2} \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa92a176585609da6e3fd2707a247e6b6d7446bf)
Schwarzschild-mittari voidaan lopulta kirjoittaa seuraavassa muodossa:
ds2=-(1-2GMvs.2r)vs.2dt2+(1-2GMvs.2r)-1dr2+r2(dθ2+synti2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) c ^ {2} dt ^ {2} + \ vasen (1- { \ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ oikea) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}
.
Yleissopimuksen käyttäminen :
G=vs.=1{\ displaystyle G = c = 1}![G = c = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39d46bcab0fb0fdacbe443e08e4ff3af308035f)
ds2=-(1-2Mr)dt2+(1-2Mr)-1dr2+r2(dθ2+synti2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ oikea) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}
.
Singulariteetti saavutetaan, kun , toisin sanoen, kun koordinaatti säde on: .
(1-2Mr)=0{\ displaystyle \ vasen (1 - {\ frac {2M} {r}} \ oikea) = 0}
r{\ displaystyle r}
2M{\ displaystyle 2M}![2M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beac4fab89c7f2b8472b8a83005f935d425b31de)
Tätä sädettä kutsutaan Schwarzschildin säteeksi, painovoiman säteeksi, Schwarzschildin pintaan, Schwarzschildin horisonttiin, Schwarzschildin palloksi tai Schwarzschildin yksinäisyydeksi. Tätä viimeistä, vanhentunutta ilmaisua käytetään enimmäkseen vanhassa tieteellisessä kirjallisuudessa, koska on osoitettu, että se ei ole fyysinen singulaarisuus.
Muut yhteystiedot
Schwarzschild-metriikan lausekkeet muissa aika-aika-koordinaattijärjestelmissä
Yhteystiedot |
Metrinen
|
---|
Saapuva Eddington-Finkelstein |
ds2=-(1-RSr)dv2+2dvdr+r2dΩ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) \ mathrm {d} v ^ {2 } +2 \, \ mathrm {d} v \, \ mathrm {d} r + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) \ mathrm {d} v ^ {2 } +2 \, \ mathrm {d} v \, \ mathrm {d} r + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23adfd319a5c25647a748451e85bed62532b32f0) |
Lähtevä Eddington-Finkelstein |
ds2=-(1-RSr)du2-2dudr+r2dΩ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) \ mathrm {d} u ^ {2 } -2 \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} r + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) \ mathrm {d} u ^ {2 } -2 \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} r + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd6136f2b3aecfe783aabbe5fae8f2fbf530a45) |
isotrooppinen |
ds2=-(1-M2r¯)2(1-M2r¯)2dt2+(1+M2r¯)4(dr¯2+r¯2dΩ2){\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - {\ frac {\ vasen (1 - {\ frac {M} {2 {\ bar {r}}}} \ oikea) ^ {2}} { \ vasen (1 - {\ frac {M} {2 {\ bar {r}}}}} \ oikea) ^ {2}}} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ vasen (1 + {\ frac {M} {2 {\ bar {r}}}} \ oikea) ^ {4} \ vasen (\ mathrm {d} {\ bar {r}} ^ {2} + {\ bar {r}} ^ { 2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2} \ oikea)}![{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - {\ frac {\ vasen (1 - {\ frac {M} {2 {\ bar {r}}}} \ oikea) ^ {2}} { \ vasen (1 - {\ frac {M} {2 {\ bar {r}}}}} \ oikea) ^ {2}}} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ vasen (1 + {\ frac {M} {2 {\ bar {r}}}} \ oikea) ^ {4} \ vasen (\ mathrm {d} {\ bar {r}} ^ {2} + {\ bar {r}} ^ { 2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2} \ oikea)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e363321d13ad579250afc47f77d9107e7dda45f) |
Kerr-Schild |
ds2=-(1-2MR)dt~2+4MRdt~dR+(1+2MR)dR2+R2dΩ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {2M} {R}} \ oikea) \ mathrm {d} {\ tilde {t}} ^ {2} + {\ frac {4M} {R}} \ mathrm {d} {\ tilde {t}} \ mathrm {d} R + \ vasen (1 + {\ frac {2M} {R}} \ oikea) \ mathrm { d} R ^ {2} + R ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {2M} {R}} \ oikea) \ mathrm {d} {\ tilde {t}} ^ {2} + {\ frac {4M} {R}} \ mathrm {d} {\ tilde {t}} \ mathrm {d} R + \ vasen (1 + {\ frac {2M} {R}} \ oikea) \ mathrm { d} R ^ {2} + R ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb06fef71b8e952a667b026e5e0a63c552ae2163) |
Kruskal-Szekeres |
ds2=-32M3Re-R2MdUdV+R2dΩ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - {\ frac {32M ^ {3}} {R}} e ^ {\ frac {-R} {2M}} \ mathrm {d} U \ mathrm {d} V + R ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - {\ frac {32M ^ {3}} {R}} e ^ {\ frac {-R} {2M}} \ mathrm {d} U \ mathrm {d} V + R ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e23230bd14bebbabc9ac1537e3b6afa65aa960) |
Novikov |
ds2=-dτ2+(1+R∗2R∗2)(∂R∂R∗)2dR2+R2dΩ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \, \ mathrm {d} \ tau ^ {2} + \ vasen ({\ frac {1 + R _ {*} ^ {2}} {R_ {*} 2}} \ oikea) \ vasen ({\ frac {\ osittainen {R}} {\ osittainen {R _ {*}}}} \ oikea) ^ {2} \ mathrm {d} R ^ {2 } + R ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \, \ mathrm {d} \ tau ^ {2} + \ vasen ({\ frac {1 + R _ {*} ^ {2}} {R_ {*} 2}} \ oikea) \ vasen ({\ frac {\ osittainen {R}} {\ osittainen {R _ {*}}}} \ oikea) ^ {2} \ mathrm {d} R ^ {2 } + R ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a13e0579600c283db559e2a7a70080a3d540ea) |
Painlevé-Gullstrand |
ds2=-(1-RSr)vs.2dT2+2RSRvs.dTdr+r2dΩ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) c ^ {2} \, \ mathrm {d} T ^ {2} +2 {\ sqrt {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {R}}} \, c \, \ mathrm {d} T \, \ mathrm {d} r + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ vasen (1 - {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {r}} \ oikea) c ^ {2} \, \ mathrm {d} T ^ {2} +2 {\ sqrt {\ frac {R _ {\ mathrm {S}}} {R}}} \, c \, \ mathrm {d} T \, \ mathrm {d} r + r ^ {2} \ mathrm {d} \ Omega ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224dcbc3e12a55bb47e8741b6fe62e781f4ce408) |
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Einsteinin artikkeli Merkuruksen perihelionin etenemisestä sisältää likimääräisen ratkaisun.
-
osoitettu kirje Sommerfeld avulla tietää, että Schwarzschild ollut, ei mainita itärintamalla , vaan että lännen , vuonna Alsace .
-
Koordinaatit kutsutaan myös koordinaatit Schwarzschildin-Droste (vuonna Englanti: Schwarzschildin-Droste koordinaatit ).
-
Aika koordinaatit kutsutaan Schwarzschildin ajan (vuonna Englanti: Schwarzschild aikaa ).t{\ displaystyle t}
-
Radiaalista koordinaattia kutsutaan myös areolaariseksi säteeksi (englanniksi: areenan säde ) tai pienemmäksi kehäksi (englanniksi: pienemmäksi kehäksi ).r{\ displaystyle r}
-
Kulmakoordinaattia kutsutaan myös napakulmaksi (englanniksi: polar angle ).θ{\ displaystyle \ theta}
-
Kulmikas koordinoida kutsutaan myös atsimuuttikulmaan (vuonna Englanti: atsimuuttikulmaan ).φ{\ displaystyle \ varphi}
Viitteet
-
Collion 2019 , liite, A.2, s. 195.
-
Peter ja Uzan vuonna 2012 , 1 kpl osa. , luku. 1. s , lahko. 1.6 , § 1.6.2 , s. 68.
-
Eisenstaedt 2002 , s. 237.
-
Johannes Droste, Hendrik Lorentzin opiskelija , hankki itsenäisesti, mutta varsinkin ennen Schwarzschildia saman ratkaisun. Vrt. Einstein, A., Valikoidut teokset, Suhteellisuustasot I , Toim. Le Seuil, CNRS, Coll. Tietolähteet, n. 9, s. 170 . ja Einstein, A., Selected Works, Relativities II , n. 18, s. 47 .
-
Collion 2019 , s. 195.
-
Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2010 , luku . 9 , johdanto. , s. 193.
-
Heinicke ja Hehl 2017 , § 2.1 , s. 120.
-
Deruelle ja Lasota 2018 , luku . 14 .
-
Hakim 2001 , luku. 8 , 3 § , s. 219.
-
Lasota 2010 , luku. 4 , s. 81.
-
Snygg 2011 , luku. 12 , lahko. 12.2 , s. 402-403.
-
Schwarzschild 1916a .
-
Andrillat 1970 , s. 105.
-
Papapetrou ja Hamoui 1968 , s. 195.
-
Papapetrou 1976 .
-
Earman ja Janssen 1993 , § 7 , s. 158.
-
Israel 1987 , § 7.7 , s. 233.
-
Heinicke ja Hehl 2017 , § 2.1 , s. 122.
-
Droste 1916 .
-
Gialis ja aavikko 2015 , § 2.5 , s. 335.
-
Hakim 2001 , luku. 7 , 6 § , s. 185.
-
Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2010 , luku . 11 , johdanto. , s. 245.
-
Le Bellac 2015 , luku. 5 , § 5.6 , s. 93.
-
Le Bellac 2015 , luku. 7 , § 7.1 , s. 113.
-
Deruelle ja Uzan 2018 , liv. 3, osa. II , luku. 6 , s. 455.
-
Bambi 2018 , luku. 8 , § 8.3 , s. 149.
-
Misner, Thorne ja Wheeler 1973 , luku. 25 , 25.5 § , s. 667, kuva. 25.5 .
-
Misner, Thorne ja Wheeler 1973 , luku. 32 , § 32.4 , s. 851.
-
Susskind ja Lindesay 2004 , 1 kpl osa. , luku. 1 s , § 1.1 , s. 3.
-
Gourgoulhon 2014 , luku . 3 , lahko. 3.2 , § 3.2.5 , s. 59.
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1,3 , § 1.3.1 , s. 5.
-
Barrau ja Grain 2016 , luku. 8 , lahko. 8.1 , § 8.1.3 , s. 164.
-
Susskind ja Lindesay 2004 , 1 kpl osa. , luku. 1 s , § 1.1 , s. 4.
-
Trilles ja Spagnou 2020 , luku . 16 , lahko. 16.8 , s. 247.
-
Sachs 2004 , luku. 2 , § 2.8 , s. 39.
-
Spagnou 2017 , 4 th osa. , luku. 3 .
-
Collion 2019 , liite, A.2, s. 195 (A.9).
-
Damour 2005 , s. 288.
-
Eisenstaedt 1993 , s. 92 artiklan 3 kohta.
-
Gialis ja aavikko 2015 , luku . 4 , § 4.4 , s. 117.
-
Misner, Thorne ja Wheeler 1973 , luku. 31 , § 31.2 , s. 820 (31,1).
-
Wald 1984 , s. 124 (6.1.44).
-
Choquet-Bruhat 2008 , luku . IV , lahko. 5 , s. 78.
-
Choquet-Bruhat 2008 , luku . XII , lahko. 7 , § 7.1 , s. 78.
-
Choquet-Bruhat 2008 , luku . XIII , lahko. 6 , § 6.1 , s. 419.
-
Choquet-Bruhat 2008 , luku . IV , lahko. 11 , § 11.1 , s. 92.
-
Bernard Schutz Gravity alusta asti Cambridge University Press, 2003, s. 287
-
Taillet, Villain ja Febvre 2018 , sv Birkhoff (lause), s. 79, pylväs 1 .
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv- laajennus, s. 290, pylväs 1 .
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Kruskal-kaavio, s. 207, pylväs 2 .
-
Susskind ja Lindesay 2004 , 1 kpl osa., Kap. 1 s , § 1.6 , s. 15.
-
Taillet, Villain ja Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (koordinaatit), s. 415, pylväs 2 .
-
Deruelle ja Uzan 2018 , liv. 3, osa. II , luku. 7 , § 7.3 , s. 455.
-
(sisään) AS Eddington , " Whiteheadin ja Einsteinin formulæn vertailu "Helmikuu 1924( DOI 10.1038 / 113192a0 , Bibcode 1924Natur.113..192E ) ,s. 192 URL-osoite =http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
-
Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 2: Kenttäteoria [ yksityiskohtia painoksista ], §102, alaviite.
-
Synge, JL, Hiukkasen painovoimakenttä , 1950, Proc. R. Irlannin Acad. A 53, 83-114.
-
Mavrides, S., Universumin relativistinen , Masson, 1973, s. 338 .
-
" Landau-Lifshitz Spacelike -konventti ": Landau-Lifshitz-avaruustyyppi.
-
Tämä lähentäminen ei ole menetelmä, jota Karl Schwarzschild käytti perustamaan mittaria, jolla nyt on hänen nimensä. Tämä käytti tensorilaskua.
-
Gourgoulhon 2014 , s. 63 (3,40).
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1,3 , § 1.3.4 , s. 8 (1,19).
-
Gourgoulhon 2014 , s. 62 (3,38).
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1.3 , § 1.3.4 , s. 8 (1,20).
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1,3 , § 1.3.2 , s. 7 (1,9).
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1,3 , § 1.3.6 , s. 13 (1,40).
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1,3 , § 1.3.3 , s. 8 (1,18).
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1.3 , § 1.3.7 , s. 13 (1,42).
-
Gourgoulhon 2014 , s. 235 (B.135).
-
Faraoni 2015 , luku . 1. s , lahko. 1.3 , § 1.3.5 , s. 12 (1,32).
Katso myös
Bibliografia
- Kip Thorne, John Archibal Wheeler, Charles Misner Gravitaatio WH Freeman & Co, 1973:
-
s. 612
-
s. 614
-
s. 596
-
Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka [ yksityiskohdat painoksista ], luvut X - XII.
-
[Andrillat 1970] H. Andrillat ( préf. By J.-C. Pecker ), Johdatus tutkimus kosmologiat , Pariisi, A. Colin , Coll. "Intersciences",1970, 1 til. , 223 Sivumäärä , sairas. , 21 cm ( OCLC 300091140 , important BNF n o FRBNF35372807 , SUDOC 002174170 ).
-
[Choquet-Bruhat 2008] Y. Choquet-Bruhat , Yleinen suhteellisuusteoria ja Einstein-yhtälöt [" Yleinen suhteellisuusteoria ja Einsteinin yhtälöt "], Oxford, OUP , coll. "Oxfordin matemaattiset monografiat",Joulu 2008, 1 st ed. , 1 til. , XXIV -785 Sivumäärä , kuva. , 24 cm ( ISBN 978-0-19-923072-3 , EAN 9780199230723 , OCLC 493785270 , DOI 10.1093 / acprof: oso / 9780199230723.001.0001 , SUDOC 130297577 , online-esitys , lue verkossa ) , luku . IV (“ Schwarzschildin avaruusaika ja mustat aukot ”), s. 72-105.
-
[Damour 2005] Th. Damour , "Yleinen suhteellisuusteoria" , julkaisussa A. Aspect , F. Bouchet , É. Brunet et ai. ( ehdotus : M. Leduc ja M. Le Bellac ), Einstein tänään , Les Ulis ja Pariisi, EDP Sciences ja CNRS , koko . "Nykyinen tieto / fysiikka",Tammikuu 2005, 1 st ed. , 1 til. , VIII -417 Sivumäärä , sairas. ja portr. , 24 cm ( ISBN 2-86883-768-9 ja 2-271-06311-6 , EAN 9782868837684 , OCLC 61336564 , ilmoitusta BNF n o FRBNF39916190 , SUDOC 083929657 , online-esitys , lukea verkossa ) , chap. 6 , s. 267-320.
-
[Deruelle ja Uzan 2018] (en) N. Deruelle ja J.-Ph. Uzan ( käänn. The fr. Kirjoittanut P. , Forcrand-Millard ) Suhteellisuussuhteet modernissa fysiikassa ["Suhteellisuusteoriat"] ["Modernin fysiikan suhteellisuusteoria"], Oxford, OUP , al. "Oxfordin valmistuneet tekstit",elokuu 2018, 1 st ed. , 1 til. , XI -691 Sivumäärä , sairas. , 17,1 x 24,6 cm ( ISBN 978-0-19-878639-9 , EAN 9780198786399 , OCLC 1078374303 , ilmoitusta BNF n o FRBNF45570670 , DOI 10,1093 / OSO / 9780198786399.001.0001 , SUDOC 229944329 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Earman ja Janssen 1993] (en) J. Earman ja M. Janssen , ” Einsteinin selitys Merkuruksen perihelionin liikkeelle ” , julkaisussa J. Earman , M. Janssen ja JD Norton ( toim. ), Gravitaation vetovoima : uusi tutkimukset yleisen suhteellisuusteorian historiassa , Boston, Basel ja Berliini, Birkhäuser , coll. " Einstein tutkimukset " ( n o 5),Joulu 1993, 1 st ed. , 1 til. , X -432 Sivumäärä , 24 cm ( ISBN 0-8176-3624-2 ja 3-7643-3624-2 , OCLC 468313142 , ilmoitusta BNF n o FRBNF37536464 , Bibcode 1993agns.book ..... E , SUDOC 017407214 , lukea verkossa ) , 2 e osa. (" Yleisen suhteellisuusteorian empiirinen perusta "), luku. 1. vaihe [“Einsteinin selitys Merkuruksen perihelionin liikkeestä”], s. 129-172 ( Bibcode 1993agns.book..129E ).
-
[Eisenstaedt 1982] J. Eisenstaedt , " Schwarzschild-ratkaisun historia ja singulariteetit (1915-1923) ”, Arch. Hist. Tarkka Sci. , voi. 27, n ° 2Kesäkuu 1982, taide. n o 4, s. 157-198 ( DOI 10.1007 / BF00348347 , JSTOR 41133669 , Bibcode 1982AHES ... 27..157E ).
- [Eisenstaedt 1993] (en) J. Eisenstaedt , " Pimeät kappaleet ja mustat aukot, taikaympyrät ja montgolfierit : valo ja gravitaatio Newtonista Einsteiniin " , julkaisussa M. Beller , J. Renn ja RS Cohen ( toim. ), Einstein vuonna konteksti , Cambridge ja New Yorkissa, CUP ( Science yhteydessä , vol. 6, n o 1)Marraskuu 1993, 1 st ed. , 1 til. , 368 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 0-521-44834-4 , EAN 9780521448345 , OCLC 30817497 , SUDOC 017997518 , online-esitys , lukea verkossa ) , 2 toinen osa. (" Vastaanoton konteksti "), luku. 2 , s. 83-106 ( DOI 10.1017 / S0269889700001320 )
-
[Eisenstaedt 2002] J. Eisenstaedt ( pref. Of Th. Damour ), Einstein ja yleisen suhteellisuusteorian: polut aika-avaruuden , Pariisi, CNRS , coll. "Tieteen historia",Huhtikuu 2002, 1 st ed. , 1 til. , 344 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-2-271-05880-5 , EAN 9782271058805 , OCLC 300489860 , ilmoitusta BNF n o FRBNF38820881 , SUDOC 061123226 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Faraoni 2015] (en) V. Faraoni , Kosmologiset ja mustan aukon näkyvät horisontit , Cham, Springer , coll. " LNP " ( n o 907)Heinäkuu 2015, 1 st ed. , 1 til. , XVI -199 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-3-319-19239-0 , EAN 9783319192390 , OCLC 920717522 , DOI 10.1007 / 978-3-319-19240-6 , Bibcode 2015LNP ... 907 ..... F , SUDOC 187688281 , online-esitys , lue verkossa ) , luku . 1. s (” Kiinteät mustat aukot suhteellisessa suhteellisuudessa ”), lahko. 1.3 (" Schwarzschild-avaruusaika ") ["Schwarzschild-aika-aika"], s. 5-13.
-
[Heinicke ja Hehl 2017] (en) Ch. Heinicke ja FW Hehl , ” Schwarzschildin ja Kerrin ratkaisut Einsteinin kenttäyhtälöstä : johdanto ” , julkaisussa Ni W.-T. ( Ed. ,) Sata vuotta yleisen suhteellisuusteorian : Genesis ja empiirisen perustan painovoiman aaltoja, cosmology ja kvanttigravitaatio [ "Sata vuotta yleisen suhteellisuusteorian: genesis ja empiirinen perusta gravitaatioaallot, cosmology ja kvanttigravitaatio”], t . I st , Singapore, World Scientific , ulos al. ,Heinäkuu 2017, 1 st ed. , 1 til. , 719 Sivumäärä , sairas. , 25 cm ( ISBN 978-981-4678-48-3 , EAN 9789814678483 , OCLC 1002304256 , DOI 10,1142 / 9389-Vol1 , Bibcode 2017ohy1.book ..... N , SUDOC 203795857 , online-esitys , lukea verkossa ) , 1 ensimmäinen osa. (” Genesis, solutions and energy” ), luku. 3 [”Schwarzschildin ja Kerrin ratkaisut Einstein-kenttäyhtälöön: johdanto”], s. 109-185 ( DOI 10.1142 / 9789814635134_0003 , yhteenveto ) : Uusintapainos julkaisussa Int. J. Mod. Phys. D , voi. 24, n ° 2Joulu 2015, id. 1530006-214 ( DOI 10,1142 / S0218271815300062 , Bibcode 2015IJMPD..2430006H , arXiv +1503,02172 , yhteenveto ) .
-
[Israel 1987] (en) W. Israel , " Tummat tähdet : idean evoluutio " , julkaisussa S. Hawking ja W. Israel ( toim. ), Kolmesataa vuotta gravitaatiota , Cambridge, CUP , ulkopuolella coll. ,Syyskuu 1987( Repr. Maaliskuu 1989), 1 kpl ed. , 1 til. , XIII -690 Sivumäärä , sairas. , 26 cm ( ISBN 0-521-34312-7 ja 0-521-37976-8 , EAN 9780521379762 , OCLC 299412629 , ilmoitusta BNF n o FRBNF35046285 , Bibcode 1987thyg.book ..... H , SUDOC 020207778 , online-esityksen , lukea verkossa ) , luku . 7 [”Mustat tähdet: idean kehitys”], s. 199-276 ( Bibcode 1987thyg.book..199I ).
-
[Mavridès 1973] S. Mavridès ( préf. Of GC Mc Vittie ), relativistiset maailmankaikkeus , Pariisi, Masson ,Helmikuu 1973, 1 st ed. , 1 til. , XIX -383 Sivumäärä , sairas. , 16 x 24 cm ( ISBN 2-225-36080-7 (virheellisesti muokattu), EAN 9782225360800 , OCLC 465790240 , important BNF n o FRBNF35398161 , Bibcode 1973unre.book ..... M , SUDOC 002236877 , lukea verkossa ).
-
[Papapetrou ja Hamoui 1968] A. Papapetrou ja A. Hamoui , " Yksinkertaiset aineen kerrokset suhteellisessa suhteellisuudessa ", Annales de l'IHP, osa A , t. IX , n o 21968, s. 179-211 ( lue verkossa ).
-
[Papapetrou 1976] A. Papapetrou , " Pallon symmetrinen häiriö laajenevan maailmankaikkeuden metriikassa ", Annales de l'IHP, osa A , t. XXIV , n o 21976, s. 165-170 ( lue verkossa ).
-
[Sachs 2004] (en) M. Sachs , kvanttimekaniikka ja painovoima , Berliini ja Heidelberg, Springer , coll. "Frontiers-kokoelma",Tammikuu 2004, 1 st ed. , 1 til. , XIV -191 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-3-540-00800-2 ja 978-3-642-05641-3 , OCLC 442210204 , important BNF n o FRBNF39994566 , DOI 10.1007 / 978-3-662-09640-6 , SUDOC 084371331 , online-esitys , lue verkossa ).
-
[Stephani, Kramer, MacCallum et ai. 2003] H. Stephani , D. Kramer , MAH MacCallum , C. Hoenselaers ja E. Herlt , tarkka ratkaisuja Einsteinin alan yhtälöitä , Cambridgen ja New Yorkissa, CUP , Coll. " Cambridgen monografiat matemaattisesta fysiikasta ",2003, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1980), 1 til. , XIX -701 Sivumäärä , sairas. , 26 cm ( ISBN 978-0521-46702-5 , EAN 9780521467025 , OCLC 470528966 , ilmoitusta BNF n o FRBNF38966860 , DOI 10,1017 / CBO9780511535185 , SUDOC 076433722 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Susskind ja Lindesay 2004] (in) L. Susskind ja J. Lindesay , Johdatus mustia aukkoja, Säieteorian ja tiedon vallankumous : holografinen universumin [ "Johdatus mustia aukkoja, tiedotus ja vallankumous Säieteorian: holografinen universumin ”], Hackensack, maailman tieteellinen ,Joulu 2004, 1 st ed. , 1 til. , XV -183 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-981-256-083-4 ja 978-981-256-131-2 , OCLC 228785721 , important BNF n o FRBNF42042361 , DOI 10,1142 / 5689 , Bibcode 2005bhis.book ..... S , SUDOC 094474664 , online-esitys , lue verkossa ).
-
[Weinstein 2015] (en) G. Weinstein , Yleinen suhteellisuuskonflikti ja kilpailut : Einsteinin polemiikka fyysikkojen kanssa , Newcastle upon Tyne, Cambridge Scholars ,Joulu 2015, 1 til. , XVI -421 Sivumäärä , sairas. , 21 cm ( ISBN 978-1-4438-8362-7 , OCLC 936302001 , online-esitys , lue verkossa ).
-
[Snygg 2011] (en) John Snygg , Uusi lähestymistapa differentiaaligeometriaan Cliffordin geometrisen algebran avulla [“Uusi lähestymistapa differentiaaligeometriaan, Cliffordin geometrisen algebran avulla”], Basel, Birkhäuser , hors coll. ,Joulu 2011, 1 st ed. , 1 til. , XVII -465 Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 15,6 × 23,4 cm ( ISBN 978-0-8176-8282-8 , OCLC 800297357 , DOI 10.1007 / 978-0-8176-8283-5 , SUDOC 158717376 , online-esitys , lue verkossa ).
Sanakirjat ja tietosanakirjat
-
[Taillet, Villain ja Febvre 2013] R. Taillet , L. Villain ja P. Febvre , Fysiikan sanakirja , Bryssel, De Boeck Univ. , paitsi coll. ,Helmikuu 2013, 3 ja toim. ( 1 st ed. Toukokuu 20081 til. , X -899 Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 24 cm ( ISBN 978-2-8041-7554-2 , EAN 9782804175542 , OCLC 842156166 , important BNF n o FRBNF43541671 , SUDOC 167932349 , lukea verkossa ) , sv "Schwarzschild metrinen" , s. 434.
Esittely- tai suosittuja teoksia
-
[Collion 2019] S. Collion , Matka aika-ajan matematiikassa: mustat aukot, iso bang, singulariteetit , Les Ulis, EDP Sci. , coll. "Johdanto . klo ... ",Tammikuu 2019, 1 st ed. , 1 til. , VIII -200 Sivumäärä , sairas. 17 x 24 cm: n ( ISBN 978-2-7598-2279-9 , EAN 9782759822799 , OCLC 1085244403 , ilmoitusta BNF n o FRBNF45568170 , SUDOC 233873899 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Deruelle ja Lasota 2018] N. Deruelle ja J.-P. Lasota , Gravitational waves , Paris, O. Jacob , coll. "Sciences",Helmikuu 2018, 1 st ed. , 1 til. , 325 Sivumäärä , sairas. , 14,5 x 22 cm ( ISBN 978-2-7381-4334-1 , EAN 9782738143341 , OCLC 1029842061 , ilmoitusta BNF n o FRBNF45489870 , SUDOC 225473925 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Hakim 2001] R. Hakim , relativistinen gravitaatio , Les Ulis ja Paris, EDP Sci. ja CNRS , koll. "Nykyinen tieto / astrofysiikka",1994( Repr. 2001), 1. krs ed. , 1 til. , XV -310 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 2-86883-370-5 ja 2-271-05198-3 , EAN 9782868833709 , OCLC 50236119 , ilmoitusta BNF n o FRBNF39918721 , SUDOC 060559675 , online-esitys , lukea verkossa ) , chap. 8 , § 3 ("Schwarzschild-ratkaisu"), s. 219 - 225.
-
[Lasota 2010] J.-P. Lasota , mustien aukkojen tiede , Pariisi, O. Jacob , coll. "Sciences",Helmikuu 2010, 1 st ed. , 1 til. , 192 Sivumäärä , sairas. , 14,5 x 22 cm ( ISBN 978-2-7381-2008-3 , EAN 9782738120083 , OCLC 656362604 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42143103 , SUDOC 142276332 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Le Bellac 2015] M. Le Bellac ( pref. Of Th. Damour ), Suhteellisuustilat: tila, aika, gravitaatio , Les Ulis, EDP Sci. , coll. "Johdanto . klo ... ",Huhtikuu 2015, 1 st ed. , 1 til. , XIV -218 Sivumäärä , sairas. 17 x 24 cm: n ( ISBN 978-2-7598-1294-3 , EAN 9782759812943 , OCLC 910332402 , ilmoitusta BNF n o FRBNF44362603 , SUDOC 229944329 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Spagnou 2017] P. Spagnou , Ajan mysteerit: Galileosta Einsteiniin , Pariisi, CNRS , coll. "Tieteellinen juhla",Tammikuu 2017, 1 st ed. , 1 til. , 277 Sivumäärä , sairas. ja kuva. 15 x 23 cm ( ISBN 978-2-271-08911-3 , EAN 9782271089113 , OCLC 973489513 , SUDOC 198 491 859 , online-esitys , lukea verkossa ) , 4 th osa. ("Yleisen suhteellisuusteollisuuden aika"), luku. 3 ("Schwarzschild-metriikka").
-
[Trilles ja Spagnou 2020] S. Trilles ja P. Spagnou , Aika satelliittipaikannuksessa , Les Ulis ja Pariisi, EDP Sci. ja CNRS , koll. ”Nykyinen tieto / fyysinen ",1 kpl Oct. 2020, 1 st ed. , 1 til. , XIV -419 Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 15,5 × 22,8 cm , leveä ( ISBN 978-2-7598-2434-2 ja 978-2-271-13542-1 , EAN 9782759824342 , OCLC 1202412260 , ilmoitusta BNF n o FRBNF46587400 , SUDOC 249923122 , online-esitys , lukea verkossa ).
Korkeakouluoppaat
-
[Bambi 2018] (en) C. Bambi , Johdatus yleiseen suhteellisuusteoriaan : kurssi fysiikan opiskelijoille , Singapore, Springer , coll. "Fysiikan perustutkintoluennot",kesäkuu 2018, 1 st ed. , 1 til. , XVI -335 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-981-13-1089-8 , EAN 9789811310898 , OCLC 1042158863 , DOI 10.1007 / 978-981-13-1090-4 , SUDOC 229495745 , online-esitys , lue verkossa ) , luku . 8 (" Schwarzschild-avaruusaika ") ["Schwarzschild-aika-aika"], s. 141-161.
-
[Barrau ja Grain 2016] A. Barrau ja J. Grain , Yleinen suhteellisuusteoria: kurssit ja korjatut harjoitukset , Malakoff, Dunod , coll. "Sciences Sup. ",elokuu 2016, 2 nd ed. ( 1 st ed. elokuu 20111 til. , VIII -231 Sivumäärä 17 x 24 cm: n ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , ilmoitusta BNF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Gialis ja Désert 2015] D. Gialis ja F.-X. Aavikko , yleinen suhteellisuusteoria ja astrofysiikka: Korjatut ongelmat ja harjoitukset , Les Ulis, EDP Sci. , coll. ”Grenoble Sci. ",Marraskuu 2015, 1 st ed. , 1 til. , X -353 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-2-7598-1749-8 , EAN 9782759817498 , OCLC 920911577 , ilmoitusta BNF n o FRBNF44394347 , SUDOC 188192891 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2010] MP Hobson , GP Efstathiou ja Lasenby ( trans. Of Engl. Vuoteen L. konna , rev. By R. Taillet ,) suhteellisuusteorian [ " Yleinen suhteellisuusteoria: johdantona fyysikot "], Bryssel , De Boeck University , ulkopuolella coll. , Helmikuu 2010, 1 st ed. , 1 til. , XX -554 Sivumäärä , sairas. , 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , online-esitys , lukea verkossa ) , chap. 9 (“Schwarzschildin geometria”), s. 193-225.
-
[Peter ja Uzan 2012] P. Peter ja J.-Ph. Uzan ( préf. Of Th. Damour ), Primordial kosmologian , Pariisi, Belin , Coll. "Tikkaat",Helmikuu 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Syyskuu 20051 til. , 816 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-2-7011-6244-7 , EAN 9782701162447 , OCLC 793482816 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42616501 , SUDOC 158540697 , online-esitys , lukea verkossa ).
Perustyöt
-
[Misner, Thorne ja Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne ja JA Wheeler , gravitaatio ["Gravitaatio"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 til. , XXVI -1279 Sivumäärä , sairas. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 ja 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , ilmoitusta BNF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , lukea verkossa ).
-
[Wald 1984] (en) RM Wald , Yleinen suhteellisuusteoria , Chicago ja Lontoo, UCP , hors coll. ,Kesäkuu 1984, 1 st ed. , 1 til. , XIII -491 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 0-226-87032-4 ja 0-226-87033-2 , EAN 9780226870335 , OCLC 300307884 , DOI 10,7208 / Chicago / 9780226870373.001.0001 , Bibcode 1984ucp..book ..... W , SUDOC 011892242 , online-esitys , lue verkossa ).
Alkuperäiset artikkelit
Schwarzschild
-
[Schwarzschild 1916a] (de) K. Schwarzschild , ” Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie ” [ ”On painovoimakentässä pisteen massan mukaan Einsteinin”], Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften , lisäksi sinun on tiedettävä siitä enemmän.3. helmikuuta 1916, s. 189-196 ( Bibcode 1916SPAW ....... 189S , lukea verkossa ) :
-
[Schwarzschild 1916b] (de) K. Schwarzschild , ” Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie ” [ ”On painovoimakentän kokoonpuristumattomalla nesteellä alalla mukaan Einsteinin”], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berliini ,Maaliskuu 1916, s. 424-434 ( Bibcode 1916skpa.conf..424S , lukea verkossa ) :
Droste
-
[Droste 1916] (nl) J. Droste , " Het veld van een enkel centrum in Einstein's theorie der zwaartekracht, en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld " , Verslagen van de gewone vergaderingen der Wis- en Natuurkundige Afdeeling , t. XXV , 1 st osa., N o 1,1916, s. 163-180 ( lue verkossa ) :
-
[Droste 1917] (en) J. Droste , " Yhden keskuksen kenttä Einsteinin gravitaatioteoriassa ja hiukkasen liike tässä kentässä " ["Yhden keskuksen kenttä gravitaation d 'Einstein-teoriassa , ja hiukkasen liike tällä alalla '], Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings , voi. 19, n o 1,Maaliskuu 1917, s. 197-215 ( Bibcode 1917KNAB ... 19..197D , lukea verkossa ).
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoiset linkit
-
(en) Schwarzschild Black Hole sivustolla scienceworld.wolfram.com
-
[Gourgoulhon 2014] É. Gourgoulhon , yleinen suhteellisuusteoria (kursseja intro. Jotta yleinen suhteellisuusteoria annetaan 2 ja vuoden Master tutkimus Tähtitiede, astrofysiikka ja avaruusteknologian federaation tähtitieteen opetusta and Astrophysics Île-de-France ( obs. De Paris , yliopisto Pariisi - VI , - VII ja - XI ja ENS ), lukuvuosi2013-2014), Pariisi, obs. Pariisista ,Maaliskuu 2014, 1 til. , 341 Sivumäärä , 30 cm ( online-esitys , lue verkossa ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">