Keplerin yhtälö

In tähtitiede , yhtälö Kepler on sideaine kaava radalla, epäkeskisyys e ja eksentrinen anomalia E , jonka keskimääräinen anomalia M . Tämän yhtälön merkitys on, että se mahdollistaa siirtymisen tähden liikkeen dynaamisista parametreista (keskimääräinen poikkeama) geometrisiin parametreihin (eksentrinen poikkeama). Tämän yhtälön vahvisti Kepler elliptisten kiertoratojen osalta analysoimalla Tycho Brahen suorittamat Mars-planeetan sijaintilukemat . Sitten se yleistettiin muille kiertoradoille ( parabolinen , hyperbolinen , näennäisparabolinen, suoraviivainen) Newtonin mekaniikan periaatteita käyttäen .

Esittelyssä Keplerin yhtälö

Keplerin yhtälö sinänsä on se, jonka Kepler on asettanut elliptisille kiertoradoille. Se voidaan kuitenkin hylätä useissa muodoissa kattamaan kaikki kiertoradat.

Elliptisen kiertoradan tapaus

Keplerin yhtälö elliptisellä kiertoradalla on:

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

keskimääräisen poikkeaman $M$ määrittelemällä:

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

kanssa $n kappaletta$ väliaineen liikkeen:

{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ cdot \ pi} {T}}}

$t$ aika ja $t 0$ ovat hetki, jolloin kulku tapahtuu periapsiin . $T$ on kiertorata .

Esittely

Sen demonstrointi on yksinkertaista ja sisältää ellipsisektorin pinta-alan laskemisen, jonka kärjessä on toinen kahdesta polttopisteestä, kahdella eri menetelmällä, joista toinen käyttää alueiden lakia ja l 'toinen laskemalla tämän elliptisen sektorin alue projisoituna ellipsin pääympyrään.

Mukaan Keplerin toinen laki , alue skannataan segmentin $SP$ kaavion on verrannollinen aika. Joten elliptisen sektorin $SzP$ pinta-ala on yhtä suuri kuin $k ( t - t 0 )$ , missä $t$ on aika ja $t 0$ on tähden kulkemisen hetki $z: ssä$ . Suhteellisuusvakio $k$ voidaan määrittää helposti: kiertoradan $T$ lopussa pyyhkäisypinta-ala on yhtä suuri kuin ellipsin $π ab$ kokonaispinta-ala ( $a$ ja $b$ ovat puolisuuri akseli ja puoli-pieni ellipsin akseli), joko:

{\ displaystyle SzP = {\ frac {\ pi ab} {T}} (t-t_ {0})}

Ellipsi-sektorin $SzP$ pinta-ala on $määritettävä$ geometrisesti, jotta saadaan aikaan yhteys $z:$ n kulun jälkeen kuluneen ajan ja kiertoradan sijainnin välillä.

Kepler käytti tähän apupiiriä, joka oli rajattu ellipsille (pyöreän sektorin alue on helppo tunnistaa).

Sektorin $Szx$ pinta-ala on yhtä suuri kuin pyöreän sektorin $czx$ ja kolmion $cSx ero$ . ${\ displaystyle Szx = czx-cSx = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot E - {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot e \ cdot \ sin (E)}$

missä $E$ ilmaistaan radiaaneina.

Lopuksi $SzP = Szx \times b / a$ : toinen on kompression toinen suhteesta $b / a$ (missä tarkemmin sanottuna suhteen $b$ $/$ $a$ affiniteetti ) Saamme Keplerin yhtälön yksinkertaistamisen jälkeen selittämällä yhtälön $SzP$ $=$ $k$ $($ $t$ $-$ $t$ $0$ $)$ , toisin sanoen:

{\ displaystyle {\ frac {2} {ab}} SzP = {\ frac {2 \ pi} {T}} (t-t_ {0}) = Ee \ cdot \ sin (E)}

Keskimääräinen liike voidaan ilmaista myös:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

tai

$G$ on gravitaation universaali vakio
$m 1$ ja $m 2$ näiden kahden ruumiin massat
$a$ ellipsin puolisuuri akseli ; $p$ on ellipsin parametri ${\ displaystyle a = {\ frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

Keplerin yhtälö, joka liittyy linkkiin eksentrisen poikkeaman $E$ ja todellisen poikkeaman $v välillä$

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ cdot \ tan {(E / 2)}}

tekee mahdolliseksi määrittää tähtien sijainti kiertoradallaan ajan mittaan.

Hyperbolinen kiertoradan tapaus

Hyperbolisen kiertoradan ( $e > 1$ ) tapauksessa voimme analyyttisesti todistaa Keplerin yhtälöä vastaavan suhteen:

{\ displaystyle e \ cdot \ sinh {(H)} - H = M}

missä $sinh$ tarkoittaa hyperbolista siniä .

M määritetään samalla tavalla kuin elliptinen tapaus, ilmaisemalla seuraava keskimääräinen liike:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {(- a) ^ {3}}}}}

Argumentti H ei ole enää kulma, kuten E : n tapauksessa elliptisessä liikkeessä. Tässä tapauksessa H liittyy todelliseen poikkeamaan v seuraavasti:

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {e + 1} {e-1}}} \ cdot \ tanh {(H / 2)}}

Parabolinen kiertorata

Keplerin yhtälöä ei ole määritelty parabolisen liikkeen puitteissa ( $e = 1$ ). Se korvataan Barkerin yhtälöllä.

{\ displaystyle M = s + {\ frac {s ^ {3}} {3}}}

kanssa

{\ displaystyle ~ s = \ tan {(v / 2)}}

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = 2 \ cdot {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {p ^ {3}}}}}

Tämä kuutioyhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti Cardanin menetelmällä .

Keplerin yhtälön yleinen lauseke

Muuttujaa muuttamalla elliptiset, paraboliset ja hyperboliset Kepler-yhtälöt voidaan ryhmitellä yhdeksi "universaaliksi" yhtälöksi. Yksi mahdollisista ilmaisuista on:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} c_ {3} (\ alpha x ^ {2}) = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}} (t-t_ { 0})}

periapsi $q = a (1- e )$ ja $a = 1 / a$ . $α$ on positiivinen elliptisille kiertoradoille, nolla parabolisille kiertoradoille ja negatiivinen hyperbolisille kiertoradoille. Uusi muuttuja $x$ määritetään seuraavasti:

{\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}

ja funktio $c 3 ( t )$ on yksi Stumpff-funktioista , joka kirjoitetaan yleisessä tapauksessa:

{\ displaystyle c_ {k} (t) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + k)!}} t ^ { ei}}

Esittely

Alkaen elliptisestä yhtälöstä,

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}} (t-t_ {0})}

kanssa

{\ displaystyle \ mu = G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}

ja muuttamalla muuttujaa

${\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}$

saamme

{\ displaystyle ax-ea {\ sqrt {a}} \ cdot \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = {\ sqrt {\ mu}} (t -t_ {0})}

Sinuksen sarjakehityksen myötä löydämme:

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right) = {\ frac {x} {\ sqrt {a}}} - {\ frac {x ^ {3} } {a {\ sqrt {a}}}} \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} { \ vasen ({\ frac {x ^ {2}} {a}} \ oikea)} ^ {n}}}

Keplerin yhtälö muuttuu:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} {(\ alfa x ^ {2})} ^ {n}} = {\ sqrt {\ mu}} (t-t_ {0})}

Epäjatkuvuuskohta on varten parabolinen radat on poistettu, ja lauseke ei enää näytä alle neliöjuuri, joten tämä yhtälö käyttökelpoinen myös hyperbolinen kiertoradan. Hyperbolisen Kepler-yhtälön perusteella saatu kaava olisi kaikissa pisteissä, jotka vastaavat tätä poseeraamalla . ${\ displaystyle x = iH \ cdot {\ sqrt {a}}}$

$X: n$ määrittäminen universaalin yhtälön mukaan mahdollistaa ruumiin sijainnin määrittämisen kiertoradallaan $( X , Y )$ :

{\ displaystyle X = a (\ cos {E} -e) = q + a \ cdot \ cos {\ vasen ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ oikea)} = qx ^ {2 } \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 2)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = qx ^ {2} c_ {2} (\ alpha x ^ {2})}

{\ displaystyle Y = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E} = {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}} {\ sqrt {a}} \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} \ summa \ limits _ {n = 0} ^ { + \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} c_ {1} (\ alpha x ^ {2})}

Funktiot $c 1 ( t )$ ja $c 2 ( t )$ määritellään samalla tavalla kuin edellä $c 3 ( t )$ .

Suoraviivainen kiertorata

Suoraviivainen kiertoradat ovat rajatapauksista muiden kiertoradat, tekemällä etäisyys periapsis $q$ pyrkivät kohti nollaa samalla semi-pääakselin vakio: kiertoradalla sitten pyrkii kohti segmentin tai semi-linja. Elliptisten ja hyperbolisten kiertoradojen tapauksessa tämä edellyttää eksentrisyyden $e$ suuntaamista kohti 1: tä, koska puoli-pääakseli $a$ , epäkeskisyys $e$ ja periapsi $q$ on kytketty $q$ $=$ $a$ $(1-$ $e$ $)$ . Siksi on olemassa kolmenlaisia suoraviivaisia kiertoratoja: elliptinen, parabolinen ja hyperbolinen. Käytännössä tähti kuvaa vain osan näistä kiertoradoista, mikä johtaa joko törmäykseen tai pakoon. Tietyt kamikaze-komeetit, jotka on havaittu avaruuden aurinkokeskuksissa ( SoHO , SDO jne.) Tai planeettojen välisten koettimien kiertoradalla, ovat lähellä suoraviivaisia kiertoratoja.

Elliptiselle suoralle radalle Keplerin yhtälöstä tulee:

{\ displaystyle ~ E- \ sin {(E)} = M}

keskimääräisen poikkeaman $M$ määrittelemällä:

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

Todellisella poikkeavuudella, jolla ei ole enää merkitystä suoraviivaiselle kiertoradalle, tähden sijainti määritellään sen etäisyydellä, joka erottaa sen päätähdestä r :

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cos {(E)})}

Hyperbolisen suoraviivan kiertoradan osalta Keplerin yhtälöstä tulee:

{\ displaystyle ~ \ sinh {(H)} - H = M}

ja tähden sijainti:

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cosh {(H)})}

on negatiivinen hyperbolinen kiertoratojen

Lopuksi parabolisen suoran kiertoradan osalta:

{\ displaystyle M = {\ frac {s ^ {3}} {6}}}

kanssa

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}}}

ja tähden sijainti:

{\ displaystyle r = {\ frac {s ^ {2}} {2}}}

Keplerin yhtälön ratkaiseminen

Keplerin yhtälö

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

voit laskea suoraan tiettyä sijaintia vastaavan päivämäärän (sidottu $M: ään$ ) (sidottu $E: hen$ ), esimerkiksi päiväntasausten päivämäärän määrittämiseksi. Toisaalta käänteinen ongelma, joka määrittää planeetan sijainnin tietylle päivämäärälle, vaatii $E:$ n määrittämisen , tietäen $M: n$ ja $e: n$ . Tätä ongelmaa ei voida ratkaista helposti.

Keplerin yhtälön ratkaiseminen on löytää $E ( e , M )$ :

kuten Fourier-sarjan , koska se on pariton jaksollinen funktio $M$
kuin kokonaisluku sarja on $e$ , jos $e < e 0 : = 0,6627 ...$ , suppenemissäde sarjan.
numeerisena arvona, jossa on useita numeroita ( $d$ ), optimoidulle laskenta-ajalle $tc ( d )$ .

Fourier-sarja

Se on Lagrangen joka löytää ilmaisun, vaikka nimi $J n ( x )$ liittyy nimeen Besselin .

$E - M$ on $M$ : njaksollinen pariton funktio:

${\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = 2 \ cdot \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {J_ {n} (ne)} {n}} \ sin (nM) }$

jossa $J n ( x )$ on Bessel-funktion ja yhden uudelleen sellainen järjestys $n$ .

Esittely

$E - M$ on jakson $2π$ jatkuva, pariton ja jaksollinen funktio ; Siksi sitä voidaan kehittää Fourier-sarjoissa, joiden kosini-kertoimet ovat kaikki nollia.

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = \ Sigma _ {p = 1} b_ {p} \ sin (pM)}

kanssa

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e \ sin (E) \ sin (pM) ~ \ mathrm {d} M}

Integraatiomuuttujan muuttamiseksi integroidaan osittain, asettamalla $u = sin ( E )$ ja $d v = sin ( pM ) d M$ , saadaan:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (E) \ cos (pM) ~ \ mathrm {d} E}

Muuntamalla kosinien tulo kosinien summaksi saadaan:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} \ vasen ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1 + p) E-ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1- p) E + ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E \ oikea)}

sen jälkeen kun $d M$ on korvattu $(1- e cos E ) d E: llä$ (yhtälö, joka saadaan johtamalla Keplerin yhtälö).

Ensimmäisen tyyppiset Besselin toiminnot ilmaistaan kuitenkin seuraavasti:

{\ displaystyle J_ {p} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [pE-x \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E}

mistä :

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} [J_ {p + 1} (pe) + J_ {p-1} (pe)]}

Lisäksi Besselin toiminnot varmistavat toistuvuussuhteen:

{\ displaystyle J_ {p-1} (x) + J_ {p + 1} (x) = {\ frac {2p} {x}} J_ {p} (x)}

siis lopulta:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {2} {p}} J_ {p} (pe).}

Koko eksentrisyyssarja

Lagrange löytää edelleen ratkaisun, jonka Laplace täydentää antamalla lähentymissäteen. Nämä teokset innoittavat Cauchyä , joka löytää analyyttisten sarjojen teorian ratkaisemaan tämän hankalan ongelman; tämä huipentuu Puiseux'n työhön .

Lagrangen sarjan inversiolauseen soveltaminen tarjoaa:

${\ displaystyle EM = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {e ^ {n} \ yli n!} \ cdot a_ {n} (M)}$

kanssa

{\ displaystyle \ a_ {n} (M) = {\ mathrm {d} ^ {n-1} \ yli {\ mathrm {d} M ^ {n-1}}} (\ sin ^ {n} M) .}

Sarjan pienin konvergenssisäde, joka riippuu $M: stä$ , saavutetaan $M = π / 2$ : lle ja on $yhtä suuri kuin$ $e 0 = 0,6627434193,$ kuten Laplace ( 1823 ) on osoittanut ja Cauchy ja Puiseux osoittavat:

{\ displaystyle e_ {0} = 2 {\ frac {\ sqrt {x (1-x)}} {1-2x}}}

x

sellainen .

{\ displaystyle {\ frac {1-x} {x}} = \ exp \ left ({\ frac {2} {1-2x}} \ oikea)}

Tämän vuoksi tätä kaavaa ei voida soveltaa komeettojen sijainnin määrittämiseen, joiden epäkeskisyys on usein lähellä 1: tä.

Ensimmäiset ehdot ovat:

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin M + e ^ {2} \ cdot \ sin M \ cdot \ cos M + e ^ {3} \ cdot \ left (\ sin M \ cdot \ cos ^ {2} M - {\ sin ^ {3} M \ yli 2} \ oikea) + \ pistettä}

Huomaa: tämä laajennus on mahdollista saada sarjaan korvaamalla edellisessä Fourier-sarjassa Besselin toiminnot niiden rajoitetulla laajennuksella:

{\ displaystyle J_ {n} (x) = (x / 2) ^ {n} \ summa _ {p = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {p} \ yli p! (n + p )!} (x / 2) ^ {2p}}

Saamme sitten rajoitetun laajennuksen paljon yksinkertaisemmin kuin sarjainversiomenetelmällä:

{\ displaystyle EM =}

{\ displaystyle \ left (e - {\ frac {e ^ {3}} {8}} + {\ frac {e ^ {5}} {192}} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin M + \ vasen ({\ frac {e ^ {2}} {2}} - {\ frac {e ^ {4}} {6}} + {\ frac {e ^ {6}} {48}} + \ cdots \ oikea) \ cdot \ sin 2M + \ left ({\ frac {3} {8}} e ^ {3} - {\ frac {27} {128}} e ^ {5} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 3M}

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {e ^ {4}} {3}} - {\ frac {4} {15}} e ^ {6} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 4M + \ vasen ({\ frac {125} {384}} e ^ {5} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 5M + \ left ({\ frac {27} {80}} e ^ {6} + \ cdots \ oikea) \ cdot \ sin 6M}

Huomaa, että vaikka Fourier-sarja lähentyy arvoon $0 < e <1$ ja Besselin funktioiden laajennuksilla on ääretön lähentymissäde, termien uudelleenjärjestelyn jälkeen saatu tulos lähenee vain $e <0,662 ...$

Komeettojen tapaus:

e > e 0

Ensimmäisenä ongelmana on Horrocks , sitten erityisesti Halley , hänen epäkeskikomeettansa $e = 0,9673 laskelmia varten$ .

Useita ratkaisuja on ehdotettu muuttamalla hieman Barkerin yhtälöä ( $e = 1$ ). Besselin ( 1805 ) ehdottama ratkaisu kattaa domeenin $e > 0,997$ . Gauss havainnollisti itseään antamalla mukavan ratkaisun $arvoon 0,2 < e <0,95$ .

Barkerin yhtälön yleistys on sarjalaajeneminen, joka lähentyy sitä nopeammin, kun epäkeskisyys $e$ on lähellä arvoa 1, mikä osoittautuu sopivaksi komeettatapauksille (tämä sarja koskee myös hieman hyperbolisia tapauksia):

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S + (1-2 \ gamma) {\ frac {S ^ {3}} {3}} - \ gamma (2-3 \ gamma) {\ frac { S ^ {5}} {5}} + \ gamma ^ {2} (3-4 \ gamma) {\ frac {S ^ {7}} {7}} - \ ldots = S + \ summa _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ vasen (p- (p + 1) \ gamma \ oikea) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1} }}

jonka lähentymissäde on: ${\ displaystyle | \ gamma | S ^ {2} <1}$

jossa $S = rusketus ( v / 2)$

{\ displaystyle n = {\ frac {k} {2}} {\ frac {\ sqrt {1 + e}} {q ^ {3/2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1-e} {1 + e}}}

$v$ on todellinen poikkeama , $k$ Gaussin gravitaatiovakio , $e$ ja $q$ ovat vastaavastikiertoradaneksentrisyys ja periastroni , $t$ aika ja $t 0$ ovat periastroniin kulkeutumisen hetki.

Kun $e = 1$ , sarja pienenee Barkerin yhtälöksi.

Esittely

Keplerin ensimmäisen lain mukaan kiertoradat ovat kartiomaisia leikkauksia (ellipsejä, paraboloja tai hyperboleja), joiden keskipisteessä on aurinko. Joten komeetta - aurinkoetäisyys r ja todellinen poikkeama v liittyvät toisiinsa kartiopoikkileikkauksen yhtälöllä napakoordinaateissa:

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos v}}}$

missä $p$ ja $e$ ovat vastaavasti kartion epäkeskisyyden parametri.

Keplerin toinen laki (aurinko-komeettasegmentti pyyhkäisee yhtäläiset alueet yhtä suurina aikoina) voidaan ilmaista, kun otetaan huomioon äärettömän pieni aikaväli $d t$ :

${\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = h}$

missä $h$ on vakio, jota kutsutaan alueen vakiona .

Yhdistämällä nämä kaksi yhtälöä voimme saada $r: n$ katoamaan , jotta saadaan yhteys ajan ja todellisen poikkeaman välillä, toisin sanoen Keplerin yhtälön muoto, joka soveltuu mihin tahansa kiertoradalle.

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1 + e \ cos {v}}} \ right) ^ {2} dv = h ~ \ mathrm {d} t}$

joko integroimalla $t 0: n$ ja $t$ : n välille:

${\ displaystyle {\ frac {h} {p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {v} {\ frac {1} {{(1 + e \ cos {x}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} x}$

muuttamalla integraatiomuuttujaa $s = tan ( x / 2)$ ja asettamalla $S = tan ( v / 2)$ , muutamme tämän trigonometrisen integraalin rationaaliseksi funktion integraaliksi :

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s.}$

Rationaalinen toiminto voidaan integroida suoraan kaikkien edellä esitettyjen Kepler-yhtälöiden muotojen saamiseksi $y-$ merkistä riippuen . Mutta laajentamalla järkevä murtoluku $s:$ n kokonaislukusarjaksi , sitten integroimalla tämä sarja termeittäin, saadaan:

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s = \ int _ {0} ^ {S} 1+ \ summa _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ vasen (p- (p + 1) \ gamma \ oikea) s ^ {2p} ~ \ mathrm {d} s = S + \ summa _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ vasen (p- (p + 1) \ gamma \ oikea) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}$

kartion parametrin ja alueiden vakion välinen suhde ,

${\ displaystyle p = a (1-e ^ {2}) = q (1 + e) = {\ frac {h ^ {2}} {G (m_ {1} + m_ {2})}} }$

avulla voidaan löytää haettu kaava (laiminlyömällä komeetan massa $m 2$ suhteessa aurinkoon).

Numeerinen laskenta

Keplerin yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä algoritmia funktion nollan löytämiseksi . Tyyppimenetelmät valmennus, puolittamismenetelmä , väärän sijainnin menetelmä vaatii lähtökehyksen , jossa juuri on läsnä. Keplerin yhtälön jaksollisuuden ja pariteetin vuoksi on aina mahdollista pienentää aloitusväli arvoon $[0, π]$ . Tämä tarjoaa lähtökohdan näille menetelmille, mutta hienostuneempia menetelmiä on helppo löytää.

Menetelmissä kiinteän pisteen tyyppi edellyttää alustavan arvion juuren, alkiossa menetelmän $E 0$ , aloittaa laskelmat: monet kirjallisuudessa, helpoin tapa on $E 0 = M$ .

Yksinkertaisin kiinteän pisteen menetelmä, jota Kepler käyttää, on:

{\ displaystyle E_ {0} = M ~}

{\ displaystyle E_ {n + 1} = M + e \ cdot \ sin E_ {n} {\ text {for}} n = 0,1 \ ldots}

konvergoituu hitaasti, kun $e$ on lähellä 1. Sitten on edullista lisätä konvergenssikiihtyvyysalgoritmi: esimerkiksi Aitkenin Delta-2 tai Steffensenin muunnos.

Keplerin yhtälö soveltuu erityisen hyvin algoritmeihin, jotka edellyttävät suurten peräkkäisten johdannaisten laskemista, koska vaaditut konelaskennan kustannukset ovat alhaiset. Todellakin :

{\ displaystyle f (E) = Ee \ cdot \ sin EM}

{\ displaystyle f '(E) = 1-e \ cdot \ cos E}

{\ displaystyle f '' (E) = e \ cdot \ sin E}

{\ displaystyle f '' '(E) = e \ cdot \ cos E}

Seuraavat johdannaiset päätetään syklisesti edellisistä. Newtonin ja Halleyn menetelmän korkeamman asteen variantit ovat siis tässä tapauksessa erittäin tehokkaita. On huomattava, että näillä menetelmillä voi olla joissakin tapauksissa vaikeuksia lähentyä toisiaan ( $e$ lähellä 1 ja $M$ lähellä 0). Näillä vyöhykkeillä on suositeltavaa joko ehdottaa vähemmän karkeaa lähtöarvoa (Mikkolan ( Seppo Mikkola ) tai Markleyn siemen ) tai rajoittaa iteratiivisia menetelmiä pakottaakseen ne lähentymään (muokkaus Newtonin menetelmän Hammingista ), tai käyttää iteratiivisia menetelmiä, joilla on vähemmän paikallista lähentymistä ( Laguerren menetelmä ).

Esimerkki

Viimeisimmän vierailunsa aikana vuonna 1986, Halleyn komeetta vieraili Giotto-koetin . Komeetan sijainnin määrittämiseksi tämän kohtaamisen aikana tarvittavat tiedot ovat:

perihelioniin siirtymispäivä $t 0$ :9. helmikuuta 1986kello 10:59:55 UTC
kokouspäivä $t$ :14. maaliskuuta 1986klo 00:03:00 UTC, ts. $t - t 0$ = 32,54328 päivää
kiertoradan epäkeskisyys $e$ : 0,96727426
etäisyys perihelioniin $q$ : 0,58710224 tai puoli-pääakseli $a = q / (1- e ) = 17,940753$ ja keskimääräinen liike $n = k / a 1,5 = 0,0002263836 rad / päivä$ .

Keskimääräinen poikkeama on $M = n ( t - t 0 ) = 0,0073673887 rad$

Keplerin ratkaisuyhtälö on:

{\ displaystyle E-0.96727426 \ sin (E) = 0.0073673887}

Alkaen arvosta $E 0 = M$ ja käyttämällä Newtonin menetelmää,

{\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ cdot \ sin E_ {n} -M} {1-e \ cdot \ cos E_ {n}}} }

löydämme peräkkäin:

0,0073673887 0,2249486948 0,1929911041 0,1909186907 0,1909107985 0,1909107984

… (Seuraavat arvot ovat identtisiä) $Johdetaan$ komeetan sijaintikulma sen kiertoradalla (todellinen poikkeama) $v = 1,2771772327 rad = 73,176865125 °$

Komeetan etäisyys auringosta lasketaan $r = a (1 - e cos ( E ))$ = 0,902374257 AU (hieman pienempi kuin maan ja auringon välinen etäisyys)

Nopeus komeetta on yhtä kuin 43,780 8 km / s ${\ displaystyle v = 42.1219 {\ sqrt {1 / r-1 / (2a)}}}$

Komeettojen iteroinnit eivät aina mene niin hyvin, kuten vastakkaisesta kaaviosta käy ilmi. Jos eksentrisyys on yli 0,97, konvergenssi on epävarma iteraatioiden $E 0 = M$ lähtökohtana . Muut tarkemmat lähtökohdat mahdollistavat tämän kuopan välttämisen.

Komeettojen tapauksessa Barkerin yhtälön kvasi-parabolisen yleistämisen ratkaiseminen aiheuttaa kaksi ongelmaa:

sarjan likimääräinen laskeminen, joka saattaa edellyttää suurta määrää termejä tai jopa mahdotonta, jos se eroaa. On käynyt ilmi, että tämä sarja soveltuu erityisen hyvin konvergenssikiihtyvyysalgoritmien, erityisesti Aitkenin Δ²: n tai Peter Wynnin ε-algoritmien käyttöön , jotka paitsi kiihdyttävät konvergenssia myös laajentavat sen konvergenssialuetta. Käytännössä vaikeudet syntyvät, kun komeetta on hyvin kaukana periapsiestaan (se on ollut sitten näkymätön pitkään), tai sen epäkeskisyys poikkeaa huomattavasti yhdestä (tässä tapauksessa on järkevämpää ratkaista elliptinen tai hyperbolinen Kepler yhtälö).
Itse yhtälön ratkaiseminen. Tämä voidaan suorittaa Newton-tyyppisillä menetelmillä:

{\ displaystyle F (S) = - n (t-t_ {0}) + S + \ summa _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ cdot (p- (p + 1) \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}

huomaamalla, että johdannainen ilmaistaan yksinkertaisesti:

{\ displaystyle F '(S) = {\ frac {1 + S ^ {2}} {{(1+ \ gamma \ cdot S ^ {2})} ^ {2}}}}

seuraavat johdannaiset voidaan helposti päätellä.

Voimme valita iteraation $S 0$ alkuarvoksi kuutioyhtälön ratkaisun, joka saadaan pitämällä ensimmäiset termit (hieman erilainen kuin Barkerin yhtälö) Cardan-menetelmällä

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S_ {0} + (1-2 \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {{S_ {0}} ^ {3}} {3}}.}

Nykyinen tutkimus

Symplektisten integraattoreiden kautta suoritettavat laskelmat edellyttävät aina, että pysytään desimaalien lukumäärän rajalla pienimmillä laskentakustannuksilla. Se riippuu paljon dupletista $( M , e )$ , $M$ välillä 0 ja $π$ ja $e: stä$ , varsinkin kun tämä viimeinen parametri on lähellä arvoa 1.

Nijenhuis (1991) omaksuu Mikkolan (1987) menetelmän, joka on järjestyksessä 4 olevan Newtonin menetelmä, valitsemalla ”riittävästi” alkio $E 0$ dubletin $( M , e ) mukaan$ .

On selvää, että numeerisissa laskelmissa laskelmien määrä on välttämätön, samoin kuin desimaalien lukumäärä, kun otetaan huomioon aurinkokunnan epävakaus, kun Liapunov-kerroin on $10 (t / 5 Myr)$ . Tulemme eksponentiaalista seinää vasten: vaikea mennä pidemmälle kuin 25 Myr, jopa 128-bittisellä prosessoinnilla.

Nämä laskelmat (tähtitieteelliset ... mutta tietokoneistetut) toimivat IMCCE-Pariisin koneissa. Lasketaan maanpäällisen auringonpaisteen leveysaste 65 ° pohjoista leveyttä, I (65, t), ja yritämme päätellä korrelaation aikaisempaan ilmastoon: geologinen asteikko neogeeniin asti (25 M vuotta) on johdettu (Gradstein 2004 geologinen mittakaava). Seuraava suunniteltu vaihe: 65 miljoonaa vuotta vanhaa.

Tieteen historia

Ennen Kepleriä yhtälöä tutkittiin jo muista syistä:

tämä on ongelma vähentää paikallisia koordinaatteja geokeskisiksi koordinaateiksi: parallaksikorjausta on vähennettävä. Habash al Hasib on jo puuttunut siihen.

Ennen 1700, oli jo monta kertaa: Kepler luonnollisesti, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665 ?), Wren (1658), Wallis (1659), Jeremiah Horrocks (1638) ...

Huomautuksia

(La) J.Kepler , Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex observibus GV Tychonis Brahe , The Warnock Library, 1609
(sisään) T. Barker (sisään) , Selvitys dikoverien huolestuttavista komeeteista, tapa löytää heidän kiertoradansa ja joitain parannuksia paikkojen rakentamisessa ja laskemisessa , Lontoo 1757
(in) RH Battin, Tähtitieteellinen opastus , McGraw-Hill, New York, 1609, luku. 2
(julkaisussa) K. Stumpff (de) , "Spinorien toteuttamisesta taivaanmekaniikan ongelmiin" teknisissä huomautuksissa NASA D-4447, New York, 1968, c. 2
J.-L.Lagrange, ”On Kepler's problem”, Berliinin kuninkaallisen tiedeakatemian muistelmissa , voi. 25, 1771, s. 204 - 233
(in) Peter Colwell, " Besselin funktioita ja Keplerin yhtälö " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 99, n o 1,Tammikuu 1992, s. 45-48
A. Cauchy, "Memoir on different analysis of analysis", julkaisussa Memoirs of the Royal Academy of Sciences (Pariisi) , voi. 8, 1829, s. 97-129 .
V. Puiseux, "Sarjojen lähentymisestä, joka esiintyy planeettojen elliptisen liikkeen teoriassa", julkaisussa Journal of pure and alkalmazott matematiikka , voi. 14, 1849, s. 33-39
(vuonna) E. Halley, "Astronomiae cometicae synopsis" julkaisussa Philosphical Transactions of the Royal Society , voi. 24, 1705, s. 1882-1899
(La) CF Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium , Hampuri, Perthes & Besser, 1809, s. 35-44 .
Minor Planet Circular 10634 (24. huhtikuuta 1986)
(in) "Orbital nopeus" in Wikipedia ,15. kesäkuuta 2021( lue verkossa )

Bibliografia

(en) Peter Colwell , Keplerin yhtälön ratkaiseminen kolmen vuosisadan aikana , Richmond, Va, Willmann-Bell,1993, 202 Sivumäärä ( ISBN 978-0-943-39640-8 , OCLC 28724376 )
(en) John Brinkley , Trans Roy Irish Ac , voi. 7, 1803, s. 321-356
(en) Jean Meeus , tähtitieteelliset algoritmit , Richmond, Va, Willmann-Bell,1991, 429 Sivumäärä ( ISBN 978-0-943-39635-4 , OCLC 24067389 )
(en) Albert Nijenhuis (de) , ” Keplerin yhtälön ratkaiseminen suurella tehokkuudella ja tarkkuudella ” , Celest. Mech. Dyn. Astron. , voi. 51,1991, s. 319-330 ( lue verkossa )
(en) Seppo Mikkola , ” Keplerin yhtälön kuutioarvo ” , Celest. Mech. Dyn. Astron. , voi. 40,1987, s. 303–312 ( lue verkossa )

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoiset linkit

[OI] (in) " Keplerin yhtälö " [ "Kepler yhtälö"] auktoriteettitietueessa n o 20110803100034177 on Oxford indeksi (OI) tietokantaan Oxford Reference on Oxford University Press (OUP) .
(en) Danbyn ja Burkardtin artikkelisarja [1] [2]
(en) Odellin ja Goodingin algoritmi ja laskentaohjelma [3]
(fr) Gaussin menetelmä Keplerin yhtälön ratkaisemiseksi
Auktoriteettitiedot :