Logaritminen asteikko
Logaritmisella asteikolla on valmistumisen järjestelmä on geometrisen . Jokainen vaihe kertoo arvon positiivisella vakiolla . Siksi arvon akselin sijainti on verrannollinen sen logaritmiin .
Logaritminen asteikko soveltuu erityisen hyvin sovellusten suuruusluokkien laskemiseen . Se näyttää pienessä tilassa monenlaisia arvoja edellyttäen, että ne ovat nollasta poikkeavia ja samanmerkkisiä.
Logaritmisia asteikoita käytetään joko analogisten laskelmien suorittamiseen tai tulosten esittämiseen kaavioissa .
Määritelmä
Logaritminen asteikko sijoittaa arvot eksponentiaalisesti kasvavalle akselille . Pisteet, jotka on erotettu samalla etäisyydellä, edustavat arvoja samassa raportissa.
Logaritminen asteikko on määritelty vain ehdottomasti positiivisille arvoille.
Lineaarisen ja logaritmisen asteikon vertailu
Yllä olevassa kuvassa esitetään kahden tyyppiset asteikot:
- Lineaarisen asteikon avulla kaksi astetta, joiden ero on 10, ovat vakiona.
- Logaritmisen asteikon avulla kaksi astetta, joiden suhde on 10, ovat tasaisella etäisyydellä.
Logaritmisessa mittakaavassa suuret numerot pakataan, siirretään lähemmäksi arvoa 1 ja esitetään helposti, kun taas alle 1: n numerot laajennetaan ja palautetaan nopeasti negatiiviseen äärettömyyteen.
Logaritmiset yksiköt
Joskus käytetään logaritmisia yksiköitä, toisin sanoen joiden arvo on määrän kahden arvon välisen suhteen logaritmi. Valittu logaritminen perusta riippuu niitä käyttävän oppiaineen tottumuksista:
- luonnollinen logaritmi , jonka pohja on nolla , helpottaa tiettyjä laskelmia ja arvioidaan lisää suoraan ansiosta Taylorin sarja , mutta ei salli intuitiivisen desimaalin suuruusluokkaa. Neperin on luonnollinen logaritmi suhde kahden valtuudet.
- desimaalilogaritmi (perusta 10) antaa suoraan käsityksen suuruusluokasta, koska ominaisuus , toisin sanoen merkki ja pilkua edeltävä osa, antaa sen suoraan. Sen luettavuus tekee siitä hyödyllisen monilla tekniikan alueilla , vaikkakin muunnetussa muodossa. Sitä käytetään tilastoissa ja kemia määrittelee pH: n .
- Desibeli , yleisesti käytetty tietoliikenne- , elektroniikka ja akustiikka on määritelty 10 kertaa desimaalin suhteen logaritmi kahden toimivalta; mutta jos taulukot logaritmit ja myöhemmin tasku laskimet ollut antanut helpommin desimaalin logaritmiin, sanoisimme kurinalaisesti että desibeli on pohja logaritmi 10 0.1 (tai noin 1,26) suhde kahden suurvallan. Itse asiassa tätä kerrointa vastaa desibeli.
- base 2 -logaritmia käytetään laskennassa , biteillä ja musiikissa , oktaaveilla .
- Samoin puolisävelaskel on karkaistu mittakaavassa musiikkia, joka on kahdestoista osa oktaavin, on pohja logaritmi 2 1 ÷ 12 (tai noin 1,06) ja taajuus .
Logaritmisessa yksikössä porrastettu lineaarinen asteikko vastaa logaritmista asteikkoa tarkasteltavan määrän kannalta.
Käyttää
Dia sääntö hyödyntää ominaisuuksien logaritminen asteikko, jotta kertolasku.
Puolilogaritmisen kehyksen kuvaajia käytetään osoittamaan niiden määrien kehitys, joista yhdellä on lineaarinen evoluutio (yleensä x-akselin riippumaton muuttuja ) ja toisella eksponentiaalinen evoluutio.
Esimerkki: hintakehitys:In Economics , arvot kansainvälisten valuuttojen , varastoja , hyödykkeitä ja muita kaupan tuotteita, joihin sovelletaan hinnan inflaatiota , on merkitty Logaritmiasteikolla y-akselilla, kun aika on piirretty y-akselilla. Lineaarinen X -akseli.
Esimerkki: Taajuusvaste:In elektroniikka , taajuusvaste järjestelmän, ja erityisesti on suodatin , on yleensä edustettuna semi-logaritminen kaavio, jossa logaritminen asteikko taajuuksien abskissalla ja lineaarinen asteikko ordinaatta-akselilla, valmistui desibeleinä , suhteellinen tietyllä taajuudella (esimerkiksi 1000 Hz ) saatuun jännitteeseen .
Koska desibelit ovat logaritminen yksikkö, sähköisen jännitteen tai jännitesuhteiden kannalta asteikko on myös logaritminen, mikä sallii Bode-kaaviossa asymptoottiset juovat suorina viivoina.
Molempien akselien logaritmisessa merkinnässä olevat kaaviot soveltuvat kooille, jotka sisältävät molemmat riippumattomat muuttujat, koska riippuvainen muuttuja voi ottaa erittäin erilaisia arvoja. Kun toinen on verrannollinen toisen korkeuteen tehoon , kaavio piirtää viivan, jonka kaltevuus on verrannollinen eksponenttiin.
Tikkaiden rakenne
Tiedämme vähimmäisarvot x min ja maksimit x max, jotka on esitettävä, ja näiden kahden arvon välisen asteikon pituus l .
Pituus l vastaa kerrointa r = x max ÷ x min .
Keskelle sijoitettu piste on samalla etäisyydellä x min ja x max . Keskipistettä vastaava arvo on ääriarvojen geometrinen keskiarvo .
Sen sijaan, että laskisimme tämän askel askeleelta, käytämme logaritmien perusominaisuutta:
log ( a × b ) = log ( a ) + log ( b )Voimme laskea arvosuhteet eksponenttifunktion avulla , joka on logaritmisen funktion vastavuoroinen funktio.
Voit skaalata akselin tarpeidesi mukaan laskemalla akselin pituuden yksikköarvon. Etenemisen logaritmi pituusyksikköä kohti saadaan yksinkertaisella jaolla: log ( r ) ÷ l ja etenemisen arvo on r 1 / l .
Tällä tavalla, jos jakaa etäisyys l osaksi n yhtä suureen osaan, suhde arvojen, joka vastaa kunkin segmentin on r 1 / n . Kokonaispituus, joka vastaa x min: n ja x max: n välistä eroa, vastaa siten hyvin kertomista r: llä , kun taas kunkin segmentin pituus vastaa kertomista samalla määrällä.
Yhtäläiset pisteet osoittavat arvoja geometrisessa etenemisessä .
Esimerkki logaritmisen asteikon rakentamisesta:
- Pienin arvo: 0,1
- Suurin arvo: 100
- suhteellinen poikkeama: r = 100 ÷ 0,1 = 1000
- akselin pituus: 600 pikseliä
Haluamme, että 10: n kerrannaiset ilmoitetaan. 1000-suhteen suhteen on kolme kertolaskua 10: llä, mikä vastaa kolmea 600 ÷ 3 = 200 pikselin pituista moduulia .
Näissä moduuleissa haluamme ilmoittaa kunkin arvon sijainnin, 2-9.
- Kertominen 2: lla vastaa 0,1: n ja 0,2: n, 1: n ja 2: n, 10: n ja 20: n välistä etäisyyttä. Vastaava pituus saadaan logaritmien kolmen säännön avulla : joka antaa 60,2 pikseliä.
- Vastaavasti kertominen 3: lla antaa 95,4 pikseliä välillä 0,1 ja 0,3, 1 ja 3 ja 10 ja 30. Meidän on ilmeisesti pyöristettävä.
- Niiden kerrannaiset saadaan helposti: etäisyys 1: n ja 4: n välillä on kaksi kerrottamalla kahdella, joten 120,4 pikseliä; välillä 1 ja 8, kolmen kertominen kahdella, toisin sanoen 180,6; välillä 1 ja 6 kerrottuna kolmella ja kerrottamalla kahdella, toisin sanoen 95,4 + 60,2 = 155,6 pikseliä; ja välillä 1–9 kahden kertominen 3: lla, toisin sanoen 190,8 pikseliä.
- Asteikko 5 saadaan helposti: koska kaksi kertaa viisi on kymmenen, pituus 0,5: stä 1: ään, 5: stä 10: een, 50: stä 100: een, on 60,2 pikseliä (voimme siis huomata, että kertominen 5: llä vastaa 200: n pituutta - 60,2 = 139,8 pikseliä).
- Ainoastaan seitsemän on sijoitettava samalla menettelyllä, jossa kolme sääntöä on logaritmeissa.
- Näiden segmenttien pituus on voimassa kertolaskuille ja myös jakoille.
- Yhden pikselin siirtyminen oikealle vastaa exp: n kasvua (log (1000) ÷ 600) ≈ 1.0115795
Kukin moduuleista toistetaan kolme kertaa, muoto on muuttumaton, vain pisteiden selitys muuttuu.
Huomaa: Logaritmin perusta , jossa laskelmat suoritetaan, on merkityksetön.Rakentaminen ilman laskukonetta
- 2 kerrottuna kymmenen kertaa itsessään antaa 1024. Siksi 2 prosentin sisällä on kymmenen kertaa segmentin pituus, joka vastaa kertomista 2 asteikon kahden pään välillä välillä 0,1 - 100, ja tämän vuoksi tämän segmentin mitat ovat 600 ÷ 10 ≈ 60 pikseliä. Tällä pituudella voimme sijoittaa 2, 4, 5 ja 8 edellä esitetyllä tavalla.
- 7 × 7 on 49 tai 50 - 2%. 100: n pituus on kaksi moduulia, joissa on 200 pikseliä, ts. 400 pikseliä, vähennämme pituuden 2: lle, koska arvo on jaettava kahdella, loput 339,8; ja arvon 7 arvo on puolet eli 169,9, joka on pyöristetty arvoon 169, koska 7 × 7 on vähän alle 50.
- 3 × 3 on 9. Tiedämme pituuden, joka vastaa 8, 3 × 60,2 = 180,6 pikseliä, joka vastaa 10 200 pikseliä, 9: tä vastaava pituus on näiden kahden välillä, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3; 3: ta vastaava on puolet, joka pyöristetään 95: ään.
Kun tietty arvo otetaan viitteeksi (esimerkiksi 1), etäisyyttä numeroa edustavasta pisteestä kyseistä arvoa edustavaan pisteeseen kutsutaan sen logaritmiseksi koordinaatiksi .
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoiset linkit
- Aix-en-Provencen planetaario : logaritmit
- (en) Puolihirsinen tyhjä paperi