Tilan yhtälö

In fysiikan , ja erityisesti termodynamiikan , tilanyhtälö järjestelmän on termodynaaminen tasapaino on suhde eri fyysisten parametrien (kutsutaan tilamuuttujat ), joka määrittää sen tilan. Se voi olla esimerkiksi suhde lämpötilan , paineen ja tilavuuden välillä . Fyysisen järjestelmän tilayhtälön yhtälöstä on mahdollista määrittää tätä järjestelmää kuvaavien termodynaamisten suuruuksien kokonaisuus ja siten ennustaa sen ominaisuudet.

Tilayhtälöt rajoittuvat yleensä tietyntyyppiseen käyttäytymiseen tai fyysisiin ilmiöihin. Samalla kappaleella voi siis olla useita tilayhtälöitä, jotka liittyvät esimerkiksi sen magneettiseen tilaan tai termodynaamiseen tilaan.

Jotta runko voidaan karakterisoida tilayhtälöllä tietyllä hetkellä, tämän rungon tilan on oltava riippuvainen vain parametrien kyseisellä hetkellä ottamista arvoista. Hystereesin ilmiötä osoittaville elimille ei siis voida kuvata tilayhtälöä.

Esimerkki nesteestä

Harkitse yksinkertaisimpana esimerkkinä termodynaamisessa tasapainossa olevaa nestettä ( kaasua tai nestettä ). Neljä tilamuuttujaa käytetään yleisesti:

hänen paineensa ; $P$
sen lämpötila ; $T$
sen määrä ; $V$
materiaalin määrä . $ei$

Tällainen suhde ei riitä luonnehtimaan nestettä. Lisäksi vaaditaan ilmoitus energialuonteesta.

Termodynamiikka osoittaa, että ominaisuus muuttuja on sisäinen energia funktio entropia , tilavuus ja määrä materiaalia . Kun näiden neljän muuttujan välinen suhde on tiedossa, on aina mahdollista laskea sisäisen energian osittaiset johdannaiset verrattuna entropiaan ja tilavuuteen lämpötilan ja paineen määrittämiseksi, mikä mahdollistaa ainakin paikallisen tilan löytämisen yhtälö kannalta , , ja . Kautta menetelmä muuttuvien muuttujista johtuen Legendre , voidaan osoittaa, että joukko 4 mukavin ominaisuuksia muuttuja on vapaan energian funktio ja helposti mitattavissa: . Koska ero on arvoinen ), näyttää siltä, että saadaan suoraan tilayhtälölle, jonka syy termodynaamiset taulukot usein antavat . $U$ $S$ $V$ $ei$ $P$ $V$ $T$ $ei$ ${\ displaystyle G = U + PV-TS}$ $P$ $T$ ${\ displaystyle G = n \ cdot f (P, T)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} G = V \, \ mathrm {d} PT \, \ mathrm {d} S + \ mu \, \ mathrm {d} n}$ ${\ displaystyle V / n = \ vasen ({\ frac {\ partis f} {\ osittainen P}} \ oikea) _ {T, n}}$ ${\ displaystyle G (P, T, n) / n}$

Suurella rajalla ( äärellinen), joka on termodynamiikan kehys, saadaan siten suhde kolmen suureen välille , ja sitä kutsutaan yleensä tilayhtälöksi. $ei$ ${\ displaystyle V / n}$ ${\ displaystyle V / n}$ $P$ $T$

Joitakin esimerkkejä tilayhtälöistä

Täydellinen kaasu globaalissa termodynaamisessa tasapainossa (ETG)

Ihanteellisen kaasun tilayhtälö ETG: ssä on kirjoitettu:

{\ displaystyle P \, V = N \, k _ {\ mathrm {B}} \, T,}

missä $k B$ tarkoittaa Boltzmannin vakiota . Yhtälö voidaan ilmaista myös käyttämällä hiukkastiheyttä $n$ : ${\ displaystyle P = n \, k _ {\ mathrm {B}} \, T.}$

Tilan yhtälön vastaava lauseke on:

{\ displaystyle P \, V = n \, R \, T.}

Tässä n on määrä, aineen, on mol , kaasun pitää, ja R yleinen vakio ihanteellinen kaasujen (8.3144.72 J mol -1 K -1 ). Kaksi vakioita ja k B on yhdistetty $R$ $=$ $k$ $B$ $N$ .

Täydellinen kaasu paikallisessa termodynaamisessa tasapainossa (ETL)

Käytännössä mikään ei takaa, että tarkasteltavalla materiaalilla on tasainen paine, lämpötila ja tiheys koko kaasun tilavuudessa; puhumme sitten paikallisesta termodynaamisesta tasapainotilasta (jos sillä on ollut aikaa toteutua, muuten sanomme, että ilmiö on ETL: n ulkopuolella). Siksi on usein asianmukaista kirjoittaa tilayhtälö tietyssä avaruuspisteessä x :

P ({{\ mathbf x}}) = n ({{\ mathbf x}}) k _ {{\ mathrm {B}}} T ({{\ mathbf x}})

Polytrooppinen

Polytrope on määritelty se, että sen tilanyhtälö ei riipu nimenomaisesti sen lämpötilasta, usein adiabaattinen suhde . Polytrooppin tilayhtälö kirjoitetaan

\ P = \ kappa \ rho ^ {\ gamma}

κ on vakio, samoin kuin γ, jota kutsutaan adiabaattiseksi indeksiksi.

Van der Waalsin tilayhtälö

Ihanteellisten kaasujen tilayhtälö ei mahdollista ottaa huomioon tiettyjä ratkaisevia ominaisuuksia, etenkään sitä, että neste voi esiintyä nestemäisessä tilassa ja kaasumaisessa tilassa. Kehittyneemmät tilayhtälöt mahdollistavat tämän mahdollisuuden huomioon ottamisen useissa osavaltioissa. Yksinkertaisinta tilayhtälöä, joka voi tehdä tämän, kutsutaan van der Waalsin tilayhtälöksi . Se on kirjoitettu:

{\ displaystyle \ left (P + {\ frac {N ^ {2} a} {V ^ {2}}} \ right) (V-Nb) = Nk _ {\ mathrm {B}} T \,}

Tämä yhtälö selittää nesteen kahden eri tilan olemassaolon sekä sen, että tietyn lämpötilan ja tietyn paineen ulkopuolella nesteä ei ole enää mahdollista erottaa kaasusta.

Termi homogeeninen tilavuudelle vastaa tarkasteltavan nesteen N-molekyylien käyttämää luontaista tilavuutta (laajassa merkityksessä). Erityinen molekyylitilavuudessa b tai covolume riippuu siten fluidin luonteesta harkita. $Huom$

Termi vastaa painetta. Tämän koheesioiksi kutsutun paineen termin voidaan nähdä nesteen molekyylien välisten pinta-alayksikköä koskevien vuorovaikutusvoimien tuloksena (se voi olla esimerkiksi dipolaarisia vuorovaikutuksia). Kuten parametri "b", myös "a" riippuu tarkasteltavan nesteen luonteesta. Nämä kaksi parametria voivat yleensä olla enemmän tai vähemmän monimutkaisia muiden termodynaamisten suureiden toimintoja. ${\ frac {N ^ {2} a} {V ^ {2}}}$

Viraalinen valtion yhtälö

Viraalinen yhtälö on todellisten kaasujen tilayhtälö, joka käsittää sarjan voimien kehityksen : ${\ displaystyle 1 / V}$

{\ displaystyle {\ frac {PV} {RT}} = n \ vasen (1 + {\ frac {A} {V}} + {\ frac {B} {V ^ {2}}} + {\ frac { C} {V ^ {3}}} + \ pistettä \ oikea) \, \!}

Ehdotettu yhtälö on puhtaasti empiirinen, kertoimien A, B, C, arvot. . . valitaan siten, että yhtälö sopii kokeellisiin tietoihin.

Fotonikaasut

Jos pidämme kaasun fotonien vallitsee termodynaaminen tasapaino ne totella hyvin yksinkertainen yhtälö valtion, nimittäin:

P = {\ frac {1} {3}} {\ frac {U} {V}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {45}} {\ frac {(k _ {{\ mathrm { B}}} T) ^ {4}} {(\ hbar c) ^ {3}}}

itse fotonitiheys on kiinnitetty suhteella

n = {\ frac {2 \ zeta (3)} {\ pi ^ {2}}} \ vasen ({\ frac {k _ {{\ mathrm {B}}} T} {\ hbar c}} \ oikea ) ^ {3}

jossa on alennettu Planckin vakio , c valon nopeus ja ζ Riemannin Zeta funktio (ζ (3) yhtä kuin noin 1,202). $\ hbar$

Paramagnetismin tilayhtälö

Täysin eri alalla, paramagnetismin kentällä, on mahdollista kuvata paramagneettisen kiteen tilamuuttujia, jotka ovat altistuneet ulkoiselle magneettikentälle . Tällä kertaa tilamuuttujat ovat: hiukkasten lukumäärän N , lämpötilan T ja tilavuuden V lisäksi meillä on keskimääräinen magnetoituminen M ja magneettikentän voimakkuus. Osoitamme, että tilan yhtälö on kirjoitettu

M = N {\ frac {g \ mu _ {{\ mathrm {B}}}} {2V}} \ tanh {\ frac {g \ mu _ {{\ mathrm {B}}} B} {2k _ { {\ mathrm {B}}} T}}

missä määrät g ja μ B ovat Landén kerroin ja Bohrin magnetoni .

Tämä yhtälö antaa mahdollisuuden ymmärtää jäähdytystä adiabaattisella kentän katkaisulla ( Giauque , Nobelin kemia 1949).

Muu

Mustan aukon fysiikan alalla kaikki mustaa aukkoa kuvaavat makroskooppiset parametrit ( massa , sähkövaraus , kulmamomentti ) mahdollistavat sen pinnan (tarkemmin sen horisontin pinnan ) määrittämisen. Tämä suhde esittää erittäin silmiinpistäviä yhtäläisyyksiä termodynamiikan tilayhtälön kanssa edellyttäen, että yksi omaksuu massan sisäiseen energiaan ja pinnan entropiaan. Tämä analogia synnytti mustien aukkojen termodynamiikan .

Maan tieteen tai kiinteän tilan fysiikan korkean paineen alalla käytämme Murnaghanin , Birch-Murnaghanin tai Vinetin tilayhtälöitä .

Polymeerien alalla käytetään pvT-tilayhtälöä .