Yläraja ja alaraja

On matematiikka , käsitteet yläraja ja alaraja on joukko on todellinen määrä puuttua analyysi , kuten tietyssä tapauksessa on seuraava yleinen määritelmä: yläraja (tai supremum ), joka on osa a (osittain) sarja määräsi sanoen pienin sen yläraja . Tällaista päätelaitetta ei aina ole, mutta jos sitä on, se on ainutlaatuinen. Se ei välttämättä kuulu asianomaiselle osapuolelle. Kaksoisosa , osan alaraja (tai infimaatti ) on suurin sen alaraja.

Kun järjestetty joukko on reaalien joukko, ylemmän rajan olemassaolo taataan kaikille vapaille ja rajoitetuille osille : sanomme, että ℝ: llä on ylemmän rajan ominaisuus . Tämä sama ominaisuus varmistaa myös alarajan olemassaolon jokaiselle reaaliluvuilla vähennetylle joukolle. Ei- vapaan rajatun aikavälin ℝ ylä- ja alarajat ovat yksinkertaisesti sen ääripäitä.

Funktion ylä- ja alarajat ovat kaikkien sen arvojen rajat.

Huom Englanti ilmaisuja yläraja ja alaraja eivät ole vastaa että ”yläraja” ja ”alarajan”, mutta yläraja ja alaraja , tässä järjestyksessä; ”Ylemmät” kääntää ainakin yläraja tai Supremum ja ”alarajan” ja suurin alaraja tai infimum .

Määritelmä

Yleinen tapaus

On osittain järjestetty joukko E , ylempi päätelaite osa F on E on, jos on, sitä pienempi yläraja on F on E . Se on klassisesti merkitty sup ( F ), ja sille on tunnusomaista: M = sup ( F ) if

M on F : n yläraja : x ≤ M kaikille x : lle F , ja
se on pienin: kaikkien y ja E , jos y on yläraja on F (eli jos kaikki x on F , x ≤ y ), niin M ≤ y .

Huomautukset

Ylärajan käsitteen ja suurimman elementin välinen yhteys (vrt. Alla olevan osan “Esimerkit” alku ) johtuu siitä, että jos M kuuluu F: ään , yllä oleva kohta 2 tarkistetaan automaattisesti.
Jos M = sup ( F ), sitten, tietyn elementin y ja E :
- kohta 2. kirjoitetaan uudelleen:kun y ≥ M , riittää, että y suurentaa F: n jokaisen elementin ;
- kohdan 1 mukaan ja ≤ transitiivisuuden avulla päinvastoin : jos y ≥ M , niin y suurentaa kaikki F: n elementit tai taas ( ristiriidassa ):niin että y: tä ei rajoita M , riittää, että F: ssä on elementti, jota Y ei rajoita .

Samoin alaraja on F on E on, jos se on olemassa, suurin alaraja on F . Se on klassisesti merkitty inf ( F ) ja sille on tunnusomaista kaksoisominaisuudet (kääntämällä eriarvoisuuksien suunta).

Osalla, jopa korotettuna , järjestetystä joukosta ei välttämättä ole ylärajaa, mutta jos on, se on ainutlaatuinen . Samoin sen alaraja, jos sellainen on, on ainutlaatuinen.

Tilauksen kokonaismäärä

Voimme aina edellisessä määritelmässä korvata kohdan 2 sen ristiriidalla . Kun tilaus on E on yhteensä , päätellään, että osa M on E on yläraja osan F jos ja vain jos:

kaikille x : lle F: stä, x ≤ M ja
kaikilla y <M : llä E: ssä on F: ssä ainakin yksi x> y .

Realien tapaus

Kun E = ℝ (varustettu tavallista järjestyksessä), voimme myös korvata ”kaikille y <M ” sanalla ”kaikille y lomakkeen M -ε kanssa ε> 0”. Todellinen M on siis ℝ: n osan F yläraja vain ja vain, jos:

kaikille x : lle F: stä, x ≤ M ja
minkä tahansa todellisen ε> 0: n kohdalla F: ssä on ainakin yksi x> M –ε.

Ylä sidottu omaisuus

Sanomme, että järjestetyllä joukolla E on ylärajan ominaisuus, jos jollakin E: n vapaalla ja rajoitetulla osalla on yläraja.

Tämä pätee erityisesti reaalilukujen järjestettyyn joukkoon ℝ .

Järjestetyllä rationaalijoukolla ℚ ei ole tätä ominaisuutta

Riittää, kun osoitetaan, että löydämme osasta A osan , joka on tyhjä ja rajoitettu, jolla ei ole ylärajaa.

Harkitse tätä varten osajoukkoa . A on merkitty selvästi, esimerkiksi 2. Olkoon b olla järkevä yläraja on , ja näyttää uuden järkevä yläraja c < b , joka osoittaa, että ei ole pienempi järkevä yläraja. $A = \ {x \ sisään \ mathbb {Q} \; | \; x ^ {2} \ leq 2 \}$

Huomaa ensin, että 1 kuuluu ryhmään A siten, että b ≥ 1> 0, ja harkitse järkevää (rakennettu ottamalla inspiraatiota Heronin menetelmästä ). Koska meillä on c 2 ≥ 2, josta päätämme: ${\ displaystyle c = {\ tfrac {b} {2}} + {\ tfrac {1} {b}}> 0}$ ${\ displaystyle c ^ {2} -2 = \ vasen ({\ tfrac {b ^ {2} -2} {2b}} \ oikea) ^ {2}}$

toisaalta, että c on A: n yläraja ;
toisaalta, niin, että mikä ( c määritelmän mukaan ) kirjoitetaan uudelleen: b 2 ≥ 2. Koska ℚ ei sisällä kahden neliöjuuria , meillä on jopa b 2 > 2, tämä (jälleen c ) määritelmän mukaan tarkoittaa: c < b . ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {c}} \ kohteessa A}$ ${\ displaystyle b \ geq {\ tfrac {2} {c}}}$

Esimerkkejä

Jos F: llä on suurin elementti (varsinkin jos F on E: n äärellinen osajoukko , joka on järjestetty kokonaan as: ksi), niin tämä maksimielementti on F: n yläraja . Tässä tapauksessa sup ( F ) kuuluu F: ään . Toisaalta, jos sup ( F ) on olemassa ja alue F , sitten sup ( F ) on suurin osa F .
Reaalilukujen joukossa:
- kaikilla reaalilukujen tyhjillä pääosilla on yläraja;
- parantamattomalla osalla (kuten ℤ ) ei ole ylärajaa;
- tyhjä joukko ei ole ylä- tai alaraja;
- väli] 0, 1 [myöntää 0 alarajaksi ja 1 ylärajaksi;
- joukko {(–1) n + 1 / n | n = 1, 2, 3…} myöntää –1 alarajaksi ja 3/2 maksimielementiksi (siis ylärajaksi);
- järkevien lukujen joukko, jonka neliö on pienempi kuin 2, myöntää √ 2 ylärajaksi ja - √ 2 alarajaksi;
- kahden ei-vapaana sidotun joukon A ja B summan A + B yläraja on yhtä suuri kuin vastaavien ylempien rajojen summa;
- infimaatin ja supremumin käsitteet ovat kaksi: inf ( S ) = –sup (- S ), missä - S = {- s | s ∈ S }.
Rationaalilukujen joukossa:
- järkevien lukujen joukko, jonka neliö on pienempi kuin 2, on ℚ: n rajoitettu osa, jolla ei ole ylärajaa.
On valmis reaaliakselilla ℝ = ℝ ∪ { -∞ , + ∞ }:
- ℝ: n ei-tyhjillä ja rajoitetuilla osilla on sama yläraja kuin kohdassa ℝ;
- ei-tyhjä osa, jota ei kuitenkaan rajoita reaaliluku, myöntää $+ \infty$ : n ylärajaksi;
- tyhjällä joukolla on $-\infty$ ylärajana, koska mikä tahansa elementin ℝ on tyhjän joukon yläraja ja pienin niistä on $-\infty$ (ja sen alarajana on $+ \infty$ ).
Hila on järjestetty joukko, jossa jokainen pari on yläraja ja alaraja. Hilan sanotaan olevan täydellinen, jos kullakin sen osalla on ylä- ja alaraja (tämä ehto on itse asiassa tarpeeton). Esimerkiksi ℝ on epätäydellinen ristikko, kun taas ℝ on täydellinen ristikko.
Mitään ei-tyhjän joukon X , joukko ℝ X kuvausten välillä X ja ℝ (varustettuja tuote järjestys ) on siis täydellinen. Siten kaikilla X: stä ℝ: een kartoitettavilla perheillä $( f i ) i \in I$ on ylä- ja alaraja . Niiden määritelmästä seuraa, että kaikille $x$ $\in$ $X$ : lle ${\ displaystyle \ sup _ {i \ sisään I} f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ inf _ {i \ in I} f_ {i}}$ $\ left (\ sup _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ sup _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left (\ inf _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ inf _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ oikea).$ Täten toimintoperheen ylempi verhokoko on kukaan muu kuin sen yläraja.

Assosiatiivisuus

Ylärajat - ja vastaavasti alarajat - täyttävät seuraavan assosiatiivisuuden ominaisuuden :

Olkoon järjestetyssä joukossa ( F t ) t ∈ T osaryhmä, joista jokaisella on yläraja. Niin

{\ displaystyle \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup (F_ {t}) \ right) = \ sup \ left ({\ cup _ {t \ in T} F_ {t}} \ right) ,}

siinä mielessä, että tasa-arvon vasen puoli on olemassa ja vain, jos oikea puoli on olemassa, ja tässä tapauksessa ne ovat tasa-arvoisia.

Esittely

Merkitään y t (kullekin indeksille t ) ylärajana F t , Y asetettu kaikkien näiden y t ja F liitto F t . Riittää, kun varmistetaan, että kahdella joukolla Y ja F on sama joukko ylärajaa.

Kaikki F: n ylärajat suurentavat kutakin osaa F t niin, että jokainen yläraja y t , niin että Y suurentaa .
Kaikki ylärajan Y majorises kunkin y t ja varsinkin jokaisen osan F t , niin että niiden kokouksessa majorises F .

Täydellisessä ristikossa kuten ℝ - vrt. § ”Esimerkkejä” yllä - lausetta voidaan yksinkertaistaa (ylärajat ovat aina olemassa) ja päätämme esimerkiksi kaikista hilan elementtien kaksinkertaisesti indeksoiduista perheistä $( x s, t )$ :

{\ displaystyle \ sup _ {s \ in S} \ vasen (\ sup _ {t \ in T} (x_ {s, t}) \ oikea) = \ sup _ {t \ in T} \ vasen (\ sup _ {s \ in S} (x_ {s, t}) \ oikea).}

Huomautuksia ja viitteitä

Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu artikkelista " Infimum " (katso kirjoittajien luettelo ) .

( fr ) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Infimum " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

Gustave Choquet , analyysikurssi, osa II: topologia , s. Englanninkielisen käännöksen 129-130 .
(en) DA Vladimirov, Boolen algebrat analyysissä , Springer ,2002( lue verkossa ) , s. 5vain toteaa ja todistaa "vain jos", turhan hypoteesin T alle ei ole tyhjä.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoinen linkki

(en) " infimum " puolesta PlanetMath