Klein-pullo

Vuonna matematiikan , The Kleinin pullo (lausutaan kla.in ) on alue suljettu, reunattomia ja suuntaamaton , eli, pinta, johon se ei ole mahdollista määritellä "kotimainen" ja "ulkoa”. Saksalainen matemaatikko Felix Klein kuvasi Klein-pullon ensimmäisen kerran vuonna 1882 . Sen nimi johtuu mahdollisesti sekaannuksesta tai sanaleikkeistä termien Klein Fläche ("Klein-pinta") ja Klein Flasche ("Klein-pullo") välillä.

Kleinin pullo on läheistä sukua Möbiuksen nauha ja upotettiin ja todellisen projektiivisen tasossa , kuten Boy pinnalla . Se on yksi yksinkertaisimmista esimerkkeistä abstraktista vaihtelusta , sillä se on pinta, jota ei voida edustaa kunnolla kolmiulotteisessa tilassa. Matemaattisesti, sanotaan sisällyttää upottamalla on C-luokan ∞ avaruudessa ℝ 3 kolme ulottuvuutta, mutta ei ole mitään upottamisen jatkuvasti.

Rakentaminen

Klein-pullo on mahdollista esittää vain avaruudessa ℝ 3 (kolmiulotteinen tila), jos hyväksymme sen ylittävän itsensä  ; ei myöskään ymmärrys siitä, että Klein-pullosta voidaan nähdä, on "tarkka". Vuonna ℝ 4 , se on toisaalta mahdollista toteuttaa ilman itsestään risteys (matemaattisesti, sanomme, että siinä on upotus ( injektiivinen upotus ) luokan C ∞ vuonna ℝ 4 ).

Tässä on aikajana ℝ 3: ssa . Liimaa kaksi punaista reunaa alkuperäisestä neliöstä nuolien suuntaan. Tuloksena oleva kuva on sylinteri, jonka kaksi reunaa haluamme tunnistaa sinisillä nuolilla. Näiden nuolien suunnan kunnioittamiseksi on välttämätöntä kääntää yksi ympyröistä, ennen kuin liimataan se takaisin toiseen, ja käyttää tätä varten itsensä leikkausta.

Jos kaksi sinistä segmenttiä suunnattaisiin samalla tavalla, vastakkaisten segmenttien liimaaminen antaisi toruksen . Jos päinvastoin, kaksi punaista segmenttiä suunnattaisiin vastakkaiseen suuntaan kuin kaksi sinistä segmenttiä, vastakkaisten segmenttien liimaaminen antaisi projektivisen tason .

Vaihtoehtoinen rakennusmenetelmä

Klein-pullon saa myös liimaamalla kaksi Möbius-nauhaa reunoilleen. Vastaavasti Klein-pullo on kahden projisoitavan tason yhdistetty summa .

Annamme itsellemme kaksi kopiota tällaisesta neliöstä, ja saamme kaksi kopiota Möbius-nauhasta, jolloin tällä kertaa ensin tunnistetaan sinisten nuolien mukaan. Jokaisella näistä nauhoista on tällöin vain yksi reuna: punaiset pystysivut, jotka oli yhdistetty edellisen tunnistuksen jälkeen; Kahden nauhan uudelleenliimaamista reunoillaan voidaan sitten pitää vastaavana toisen neliön oikean reunan, ensimmäisen vasempaan reunaan, ja päinvastoin. Voimme helposti nähdä, että löydämme sitten sylinterin, mutta jo suoritettujen sinisten reunojen tunnistamisen, toisin sanoen Klein-pullon.

On ehkä helpompaa nähdä, että pystysuoraan kahtia leikattu Klein-pullo tarjoaa todellakin kaksi Möbiuksen nauhaa.

Visualisointi

Tässä artikkelissa esitetystä esityksestä on mahdollista ymmärtää Klein-pullon rakenne ja vähemmän henkisen ponnistuksen kustannuksella kuin luulisi.

Kuvittele henkilö elävän tasaisessa, 2-ulotteisessa maailmassa. Yritämme sitten selittää yksilölle, mikä solmu on. Tätä varten piirrämme solmun tasolle: hän näkee vain itsensä leikkaavan käyrän. Sitten hänelle selitetään, että hän ei näe leikkauspisteitä, vaan että käyrä kulkee "ylhäältä" ja "alapuolelta". Yksilömme on hämmästynyt: elämällä tasaisessa maailmassa, hän ei ymmärrä, mikä on yläpuolella tai mikä on alapuolella. Sieltä puuttuu ulottuvuus (ylhäältä ja alhaalta), jotta solmu voidaan visualisoida.

Me törmäämme samaan ongelmaan, kun yritämme visualisoida Klein-pulloa, koska näemme itsensä leikkaavan pinnan. Siitä huolimatta, jos ajattelemme neljännellä ulottuvuudella, riittää kuvitella, että tässä paikassa pullo kulkee "ylhäältä" ja "alapuolelta" tämän neljännen ulottuvuuden merkityksessä eikä siten leikkaa itseään.

Voimme tavallaan katsoa, ​​että Klein-pullo on pinta, joka tekee "solmun". Pintana (2-ulotteinen esine) se tarvitsee 4 ulottuvuutta solmun sitomiseen, samoin kuin käyrälle (1-ulotteinen esine) solmun sitomiseen tarvitaan 3 ulottuvuutta.

Parametrointi

Aiemmin nähty Klein-pullon kolmiulotteisen upotuksen parametrointi saadaan seuraavasti: on parametri, joka seuraa pullon runkoa, kun se kehittyy sen osaa pitkin. u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}

x=2(20u3-65πu2+50π2u-16π3)cos⁡(v)(cos⁡(u)(3cos2⁡(u)-1)-2cos⁡(2u))80π38cos2⁡(2u)-cos⁡(2u)(24cos3⁡(u)-8cos⁡(u)+15)+6cos4⁡(u)(1-3synti2⁡(u))+17-3cos⁡(u)-34y=-(20u3-65πu2+50π2u-16π3)synti⁡v60π3z=-2(20u3-65πu2+50π2u-16π3)synti⁡ucos⁡v15π38cos2⁡(2u)-cos⁡(2u)(24cos3⁡(u)-8cos⁡(u)+15)+6cos4⁡(u)(1-3synti2⁡u)+17+synti⁡(u)cos2⁡(u)+synti⁡u4-synti⁡ucos⁡u2{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} x & = & {\ frac {{\ sqrt {2}} \ left (20u ^ {3} -65 \ pi u ^ {2} +50 \ pi ^ { 2} u-16 \ pi ^ {3} \ oikea) \ cos \ vasen (v \ oikea) \ vasen (\ cos \ vasen (u \ oikea) \ vasen (3 \ cos ^ {2} \ vasen (u \ oikea) -1 \ oikea) -2 \ cos \ vasen (2u \ oikea) \ oikea)} {80 \ pi ^ {3} {\ sqrt {8 \ cos ^ {2} \ vasen (2u \ oikea) - \ cos \ vasen (2u \ oikea) \ vasen (24 \ cos ^ {3} \ vasen (u \ oikea) -8 \ cos \ vasen (u \ oikea) +15 \ oikea) +6 \ cos ^ {4} \ vasen (u \ oikea) \ vasen (1-3 \ sin ^ {2} \ vasen (u \ oikea) \ oikea) +17}}}} - {\ frac {3 \ cos \ vasen (u \ oikea) - 3} {4}} \\ y & = & - {\ frac {\ vasen (20u ^ {3} -65 \ pi u ^ {2} +50 \ pi ^ {2} u-16 \ pi ^ {3 } \ oikea) \ sin v} {60 \ pi ^ {3}}} \\ z & = & - {\ frac {{\ sqrt {2}} \ vasen (20u ^ {3} -65 \ pi u ^ {2} +50 \ pi ^ {2} u-16 \ pi ^ {3} \ oikea) \ sin u \, \ cos v} {15 \ pi ^ {3} {\ sqrt {8 \ cos ^ {2 } \ vasen (2u \ oikea) - \ cos \ vasen (2u \ oikea) \ vasen (24 \ cos ^ {3} \ vasen (u \ oikea) -8 \ cos \ vasen (u \ oikea) +15 \ oikea ) +6 \ cos ^ {4} \ left (u \ right) \ left (1-3 \ sin ^ {2} u \ right) +17}}}} + {\ frac {\ sin \ left (u \ oikea) \ cos ^ {2} \ vasen (u \ oikea) + \ sin u} {4}} - {\ frac {\ sin u \, \ cos u} {2}} \ end {array}}}

kanssa0≤u<2πja0≤v<2π.{\ displaystyle {\ text {with}} \ quad 0 \ leq u <2 \ pi \ quad {\ text {ja}} \ quad 0 \ leq v <2 \ pi.}

Yksinkertaisempi parametrointi saadaan seuraavasti, jolloin saadaan "8" upotus Klein-pulloon. Se koostuu käyrän ottamisesta muodoltaan 8 pystysuorassa tasossa ja saadakseen sen suorittamaan täydellisen käännöksen Oz-akselin ympäri samalla, kun 8 itse tekee U-käännöksen. Tämä rakenne on verrattavissa Möbius-nauhan rakenteeseen , jossa kääntyvä segmentti korvataan 8. Klein-pullo muodostetaan sitten sylinteristä, jonka pohja on 8: n muotoinen, jolloin kaksi vastakkaista alustaa on liimattu yhteen. heidän suuntautumisensa kanssa.

x=(r+cos⁡u2synti⁡v-synti⁡u2synti⁡2v)cos⁡uy=(r+cos⁡u2synti⁡v-synti⁡u2synti⁡2v)synti⁡uz=synti⁡u2synti⁡v+cos⁡u2synti⁡2v{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} x & = & \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ oikea) \ cos u \\ y & = & \ vasen (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ sin u \\ z & = & \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin v + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ end {array}}}

Tässä upotuksessa itse leikkaus on ympyrä, joka on kirjoitettu Oxy-tasoon. Positiivinen vakio on tämän ympyrän säde. Parametri antaa kulman Oxy-tasossa ja on parametri, joka määrittää kuvan osan 8: n muodossa. r{\ displaystyle r}u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}

Ominaisuudet

• Klein-pullo on kahden todellisen projektiivisen tason yhdistetty summa .
• Leikkaamalla se symmetriatasoonsa nähden kahdesti saadaan Möbius-kaistale .
• Sen Euler-Poincaré-ominaisuus on nolla.
• Sen nollasta poikkeavat Betti- luvut ovat b 0 = 1 ja b 1 = 1.
• Sen kromaattinen numero on 6.
• Sen perustavaa laatua (joka voidaan laskea ottaen huomioon, että se on CW-kompleksi , tai osamäärä tason tai torus , tai koko tila on kuidutuksen piireissä ympyrä) on osittain suora tuote on ℤ itse antaman esityksen < , b | aba −1 b〉.
• Mukaan on Hurewicz lauseen , ensimmäisen homologia ryhmä on sen abelianized . Siksi se on suora tulo ℤ × ℤ 2 .
• Klein-pullossa on suuntaava päällyste, jossa on kaksi kerrosta, diffeomorfinen torukseen nähden.

Populaarikulttuurissa ja taiteessa

• Kleinin pullo on tehty luvun ( XII ) in La Potière Jalouse by Claude Lévi-Strauss (Plon 1985 painos): psykoanalyyttinen tulkinnat ja semanttisen alalla kehon aukkoja.
• Yksi shadoks-motto ( "jos ratkaisua ei ole, ei ole ongelmaa" ) sisältää Klein-pullon kuvassaan , se symboloi ongelmaa, jota ei voida ratkaista.
• Futurama- sarjakuvassa olutmerkkiä "  Klein's Beer  " myydään Klein-pulloissa.
• NetHack- videopelissä yrittää kaataa juoma itseensä tuottaa seuraavan viestin: “  Se on juoma pullo, ei Klein pullo!  " ( " Se on juoma pullo, ei Klein pullo! " )
• Magic: The Gathering -pelissä kortti on nimeltään “  Elkin Bottle  ” (Jääkausi, 1995) kunnioituksena pelin keksijälle ja ammatinsa matemaatikolle Richard Garfieldille . Suunnittelijat vaihtoivat nimen, "Elkin" on "Klein": n anagrammi .
• Vuonna Quai Branly museo , kuva Kleinin pullo nimenomaisesti mainittu paneeli selittää visio seksuaalisuuden ns primitiivinen sivilisaatioita. Täydellistä miestä pidetään yksilönä, jonka lisääntymisosat sulautuvat suun sisäosiin siten, että tällä miehellä ei ole sisä- eikä ulkopuolta. Puheen tueksi kävijä saattoi huomata lasisen Klein-pullon (katso vastapäätä oleva kuva). Tätä merkkiä ei enää näy museossa tällä hetkellä.
• Romaani Le Sixième Sommeil by Bernard Werber , Kleinin pullo on yksi tapa sankari, Jacques Klein, antamaan uusi ulottuvuus unen.
• Vuonna 2014 taiteilija Gary Hill tuotti Klein-pullon omalla tuotannollaan ( Robert Morrisin jälkeen ), joka koostui läpinäkyvästä Klein-pullosta, joka oli asetettu alustalle ja jossa heijastettiin otsikkoon viittaava video.
• Hänen asennus Bonbons très bon vuodesta 1993, Ranskalaisen taiteilijan Fabrice Hybert integroitu lasi Kleinin pullo, josta osa palautuu muoto vatsaan.
• Joanga JoJon Bizarre Adventure , Stone Ocean , kuudennessa osassa antagonisti Enrico Pucci viittaa Klein-pulloon ja Möbiuksen nauhaan .
• NERV: n tieteellinen päällikkö Ritsuko Akagi on nimennyt kerran Neon Genesis Evangelionin jaksossa 20 "Sydämen muoto, kansan peili".

Huomautuksia ja viitteitä

1. Ian Stewart , 17 yhtälöä, jotka muuttivat maailmaa , painokset Robert Laffont ,Tammikuu 2014, 416  Sivumäärä ( ISBN  978-2-221-13334-7 ja 2-221-13334-X , luettu verkossa ) , s.  135.
2. (in) Francis Bonahon , matala-Dimensional Geometria: From Euclidean pinnat on Hyperbolic solmua , Providence, RI, AMS kirjakauppaelokuu 2009, 384  Sivumäärä ( ISBN  978-0-8218-4816-6 , online-esitys ) , s.  95.
3. (in) "  Klein'sche Flasche  " on vismath.eu (näytetty 12 päivänä syyskuuta 2015 mennessä ) .
4. (en) Allen Hatcher , algebraic topology , CUP ,2001( ISBN  978-0-521-79540-1 , lue verkossa ).
5. Magiccorporation -sivusto .
6. (in) "  Klein Bottle with the Image of Own Making (Robert Morrisin jälkeen)  " , osoitteessa portlandartmuseum.us (käyty 20. joulukuuta 2017 )
7. "  Erittäin hyvät karkit (Fabrice Hyber) - atlasmuseum  " , osoitteessa publicartmuseum.net ( katsottu 20. joulukuuta 2017 )

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Torus
• Projisointitaso
• Möbius-nauha
• Pojan pinta

Ulkoiset linkit

• Kleinin yhtälöt ja pullojen esitykset
• www.klein-bottle-film.com : 2010 Klein Bottle Animation : Virtuaalinen automatka Klein Bottlen läpi ja Felix Kleinin alkuperäinen kuvaus - animaatio Berliinin Freie Universitätissä.
• Klein-pullo Publimath- verkkosivuston sanastossa
• Video on YouTubessa