Hasse-Weil zeta -toiminto

On matematiikka , Hasse-Weil Zeta funktio kiinnitetty algebrallinen erilaisia V määritelty yli alalla numerot K on yksi kaksi tärkeintä tyyppisiä L toimintoja . Tällaiset L funktiot 'global', ne määritellään Eulerian tuotteiden kannalta Weilin lause . Ne muodostavat yhden globaalien L-funktioiden kahdesta pääluokasta, toinen on L-funktiot, jotka liittyvät automorfisiin esityksiin . Olettamuksellisesti on yksinkertaisesti yksi olennainen yleisen L-funktion tyyppi, kahdella kuvauksella (tulevat algebrallisesta jakoputkesta, tulevat automorfisesta esityksestä); se olisi laaja yleistys Shimura-Taniyama-Weil-olettamuksesta , joka itsessään on viimeaikainen ja hyvin syvällinen (vuonna 2004 ) lukuteorian tulos .

Hasse-Weilin zeta-funktion kuvaus Eulerin tuotteena on suhteellisen yksinkertainen, ainakin rajallisella määrällä tekijöitä. Tämä seuraa Helmut Hassen ja André Weilin alkuperäisistä ehdotuksista , jotka perustuvat tapaukseen, jossa V on eristetty piste, ja Riemannin zeta-funktion tuloksista .

Ottaen tapauksessa, jossa K on kehon ℚ on rationaalilukuja ja V projektiivinen lajike ole yksikkö , voimme sillä lähes kaikki alkulukuja p harkita vähentämistä V modulo p , algebrallinen lajike V p on äärellinen F p kohteeseen p- elementtejä yksinkertaisesti vähentämällä yhtälöitä V: lle . Jälleen melkein kaikille p : lle se on ei-yksikkö. Me määrittelemme

{\ displaystyle Z_ {V, Q} (s) \,}

kuin on Dirichlet'n sarja monimutkainen muuttuja s , joka on ääretön tuote paikallisten zeta-toimintoja

{\ displaystyle \ zeta _ {V, p} \ vasen (p ^ {- s} \ oikea) \,}

Sitten , mukaan meidän määritelmän, on vain hyvin määritelty jopa kertomista , jonka järkevä toimintoja on rajallinen määrä . ${\ displaystyle Z (s)}$ ${\ displaystyle p ^ {- s}}$

Koska määrittelemättömyys on suhteellisen vaaraton ja sillä on analyyttinen laajennus kaikkialla, voidaan ymmärtää, että sen ominaisuudet eivät ole olennaisesti riippuvaisia siitä. Erityisesti, kun taas tarkka muoto funktionaaliyhtälö varten , mikä näkyy pystysuoraan kompleksitasossa, riippuu "puuttuu tekijät", olemassaolon tällaisen yhtälö ei riipu siitä. ${\ displaystyle Z (s)}$ ${\ displaystyle Z (s)}$

Tarkempi määritelmä on tullut mahdolliseksi kehittämällä étale-kohomologiaa ; tämä selittää siististi, mitä tehdä puuttuvilla "huonojen vähennysten" tekijöillä. Periaatteiden mukaisesti yleisen teorian aluevaltaus , 'huonojen' alkulukuja kuljettaa hyvää tietoa (teoria kuljettaja (in) ). Nämä ilmenevät Etale teoriassa jonka Ogg-Nero-Shafarevich kriteeri varten tehokkaaseen vähentämiseen ; toisin sanoen, kaikissa pelkkissä alkuluvuissa p on hyvä pelkistys, jolle Galois-esitys ρ V: n kohomologisissa ryhmissä on haarautumaton. Näiden määritelmä paikallisen zeta-toiminto voidaan ilmaista karakteristisen polynomin ja

{\ displaystyle \ rho (Frob (p)) \,}

${\ displaystyle Frob (p)}$ ollessa elementti Frobenius varten s . Mitä tapahtuu haarautuneita p on, että ρ on epätriviaali yli inertia ryhmää varten s . Näissä alkulukuissa määritelmä on "korjattava" ottamalla suurin osamäärä edustuksesta ρ, johon inertiaryhmä vaikuttaa triviaalin esityksen avulla . Tällä hienostuneisuus, määritelmää voidaan parantaa "lähes kaikki" p jotta kaikki p osallistuvat Euler tuote. Jean-Pierre Serre ja Pierre Deligne vahvistivat seuraukset funktionaaliselle yhtälölle 1960-luvun lopulla; itse funktionaalista yhtälöä ei ole yleisesti osoitettu. ${\ displaystyle I (p)}$ ${\ displaystyle Z (s)}$

Viitteet

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan peräisin englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista ” Hasse - Weil zeta function ” ( katso kirjoittajaluettelo ) .
JP Serre , paikalliset tekijät zeta toimintojen algebraic lajikkeiden (määritelmät ja arveluja) , 1969/1970, Sem. Delange-Pisot-Poitou, näyttely 19