Vuonna matematiikka , joka on murto-osa on tapa kirjoittaa rationaaliluvun kuin osamäärä kahden kokonaisluvun. Murtolukuklobtarkoittavat osamäärä mukaan b ( b ≠ 0 ). Tässä fraktiossa, kutsutaan osoittaja ja b nimittäjä .
Esimerkki:Murtoluku 568vastaa numeroa 7, koska 7 × 8 = 56 , joten 56: n ja 8: n osamäärä on 7.
Luku, joka voidaan esittää kokonaislukujen murto- osina, kutsutaan järkeväksi luvuksi . Perustelujoukkoa merkitään ℚ.
Murtoluvuille on yleisempi ja abstraktimpi määritelmä. Jos on kokonaisalue , voidaan luoda elin fraktioiden ja . Sen elementit on merkitty (analogisesti suhteellisten kokonaislukujen murtolukujen kanssa ) ja niillä on samat toimintaominaisuudet (summa, tulo, yksinkertaistaminen ...) kuin ℚ: n murtoluvuilla.
Osa on olleilta jako kahden suhteellinen kokonaislukujen n ja d ≠ 0. Se esitetään seuraavasti:
tai tai .Esimerkki : 3 / 7 tarkoittaa, että me jakaa 3 7; lausumme tämän murto-osan " kolme seitsemäsosaa ".
Jos me syödä 3 / 7 piirakan, osoittaja 3 osoittaa annosten määrä syödään, kun 7 osoittaa kokonaismäärän osia, ja siksi yksikkö katsotaan.
Joskus löydämme myös merkinnän
n : dtai
n ÷ dpaksusuolen tai Obelus korvaamalla osa bar.
Murtoluvun sanotaan olevan virheellinen, kun osoittajan absoluuttinen arvo on suurempi kuin nimittäjän.
Vaihtoehtoiset määritelmätJos murtoluvun käsite on tärkeä vaihe matemaattisessa ymmärryksessä alkeistasolla, sillä ei ole juurikaan hyötyä yleisessä teoriassa.
Dictionary of Mathematics määrittelee osa kuin "synonyymi järkevä numero" .
Tällä määritelmällä on useita haittoja. Kaikki ovat yhtä mieltä, että 3 / 4 on murto-osa, ja 6 / 8 on toinen osa, joka kuitenkin tarkoittaa samalla järkevä määrä. Murtoluvulla merkityn rationaalisen arvon tasa-arvo ei ole aina ilmeinen, kuten 57 ÷ 437 ja 3 ÷ 23 . Määritelmä rajoittaa myös tapausta, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat kokonaislukuja. Mutta samaa merkintää käytetään yleisesti reaalilukujen kanssa, kuten π ⁄ 2 tai √3 ⁄ 2 ; nämä lausekkeet noudattavat samoja yhdistämisen ja yksinkertaistamisen sääntöjä kuin murtoluvut.
Ranskassa opetusviranomaiset määrittelevät murto-osan seuraavasti: "Jos a ja b tarkoittavat kahta kokonaislukua ( a ∈ , b ∈ ), murtoluku a / b on matemaattisen olennon kirjoitus, jota kutsutaan rationaaliseksi , mutta n 'ei ole matemaattinen oleminen; kirjoittaminen on nimeltään "osoittajana", kirjallisesti b "nimittäjä"; vaakasuoraa tai vinoa palkkia kutsutaan "murtoviivaksi" ja se vastaa jakomerkkiä "
Tämä määritelmä herättää myös joitain pedagogisia vaikeuksia. Jos murtoluku olisi yksinkertainen kirjoitus, emme voisi tehdä siitä yhtä numerooperaation ehdoista. Meidän on kuitenkin ymmärtää ilmaisun 1 / 2 + 1 / 4 = 3 / 4 .
Stella Baruk ehdottaa näiden vaikeuksien vähentämistä huolehtimalla siitä, että puhutaan vastaavista murto- osista, kun ne merkitsevät samaa järkevää lukua, ja murtoluku-kirjoituksesta, kun osoittaja tai nimittäjä ei ole kokonaisluku, eikä sitä siksi ole olemassa. .Murtolukujen käsittelyä koskevien sääntöjen ymmärtämiseksi ja vahvistamiseksi on kaksi erilaista menetelmää. Ensimmäinen on hyödyntää geometriaa . Murtoluku edustaa osaa geometrisen kuvan alueesta tai monikulmion yhden sivun pituutta , usein kolmion . Murtolukuja koskevien lakien osoittaminen tarkoittaa geometrian tekemistä ja pinta-alojen tai pituuksien mittaamista. Tämä lähestymistapa on kuvattu artikkelissa Geometric Algebra .
Toinen lähestymistapa on puhtaasti algebrallinen . Järkevä numerot on rakennettu abstraktilla tavalla ekvivalenssiluokkia on kokonaislukuja . Luku- ja kertolasku kokonaisluvuista ovat yhteensopivia vastaavuusluokan kanssa, joka varustaa kaikki murtoluvut luonnollisella summauksella ja kertolaskulla. Tämän rakenteen avulla voidaan vahvistaa jakeiden käyttäytymistä säätelevät lait.
Tässä valittu lähestymistapa vastaa ensin kuvattua ja on puhtaasti geometrinen. Käytetyt menetelmät koskevat kokonaislukujen murto-osia. Geometria tarjoaa toisen menetelmän, jonka avulla tulokset voidaan yleistää kahden positiivisen reaaliluvun murtolukuihin. Se on kuvattu artikkelissa Geometric Algebra .
Tavoitteena on visualisoida n / d- murtoluku .
Murtoluku voidaan esittää piirustuksella. Usein geometrinen muoto, joka on jaettu useisiin osiin.
Murtoluvut, joista n < dNimittäjä d osoittaa geometriseen muotoon piirrettävien yhtä suurten osien lukumäärän ja osoittaja n osoittaa käytettyjen yhtä suurten osien lukumäärän.
Esimerkiksi, valitkaamme suorakulmio geometrinen muoto ja osa 3 / 4 . Nimittäjä on 4, joten suorakulmio jaetaan neljään yhtä suureen osaan.
Osoittaja on 3, joten vain 3 yhtä suurta osaa käytetään.
Tämä jako vastaa n / d : n (joka edustaa yksiköiden lukumäärää) osamäärää, jota seuraa murto, joka koostuu jakamisen loppuosasta osoittajalle ja d nimittäjälle.
Esimerkiksi murtoluvulle 7/3 koko jako antaa 2, jäljellä on 1. Osamäärä on siis 2 yksikköä, loput 1 siis 2 1/3. Tällaista murto-osaa on mahdotonta esittää yhdellä kaaviona, joten käytämme useita samanlaisia geometrisia muotoja:
Ottamaan 2 / 3 750, me jakaa 750 3, sitten tulos kerrotaan 2:
750-3 = 250; 250 x 2 = 500 So 2 / 3 750 = 500Kun / b c on kuin jakamalla c mukaan b ja kertomalla koko, jonka. Tai yksinkertaisemmin, kun tiedämme laskennan sääntöjä jakeet ottaen / b ja c on kuin kertomalla / b C. Yleisemmin näemme, että "of" korvataan kertomalla. Se on sama, kun laskemme 75% c: stä, meidän on vain laskettava 75% kerrottuna c: llä. Todellakin, 75% on murto-osa: 75% = 75 / 100 = 0,75.
Jos kerrotaan tai jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla, saadaan vastaava murtoluku .
Esimerkki: (olemme kertoneet 2/3 luvulla 2/2)
Yleensä murtoluvut n ⁄ d ja n ' ⁄ d' ovat samanarvoisia heti, kun n × d '= d × n'.
koska (näitä kahta tuotetta kutsutaan ristituotteiksi).Joitakin murto-osia voidaan yksinkertaistaa, ts. N ja d voidaan jakaa samalla luvulla, mutta niin suurina kuin mahdollista. Tätä numeroa kutsutaan n: n ja d : n GCD: ksi ( suurin yhteinen jakaja ) . Pelkistyksen jälkeen jakeen sanotaan olevan pelkistämätön .
Joitakin murtolukujen välisiä operaatioita varten kaikkien murtolukujen nimittäjien on oltava yhtä suuria. Tätä varten korvaa kukin murto vastaavalla murto-osalla varmistaen, että kaikki nimittäjät ovat samat. Tämä nimittäjä on pienin mahdollinen luku, joka on jaettavissa jokaisella nimittäjällä. Tätä numeroa kutsutaan nimittäjien PPCM: ksi ( vähiten yhteinen moninkertainen ). Operaatiota kutsutaan pelkistäväksi samaksi nimittäjäksi .
Esimerkki:
Huomautus: voit käyttää desimaalin kirjallisesti kuin 1/4 = 0,25 ja 2/5 = 0,4, 0,25 <0,4 joten 1 / 4 < 2 / 5 .
Jokainen osa on rajallinen tai ääretön määräajoin desimaalin laajeneminen , joka saadaan asettamalla jako n mukaan d .
1/4 = 0,25 2/3 = 0, 6 66 ... (jakso 6) 7/17 = 2, 428571 428571 ... (jakso 428571)Päinvastoin mikä tahansa luku, joka on desimaali tai jolla on säännöllinen desimaalilaajennus, voidaan kirjoittaa murto-osana.
Desimaaliluvun tapausRiittää, kun otetaan desimaaliluvusta desimaaliluku, jolta ei ole desimaalipistettä, ja nimittäjänä 10 n, jossa n on desimaalipilkun jälkeinen lukumäärä:
Rajoittamattoman desimaalilaajennuksen tapausAloitamme huolehtimalla koko osasta: 3, 45 45 ... = 3 + 0, 45 45 ...
Yksinkertaisen jaksollisen desimaalilaajennuksen tapausYksinkertainen jaksollinen luku on desimaaliluku, jossa jakso alkaa heti desimaalipilkun jälkeen. 0,666 ... tai 0,4545 ... tai 0,108108 ...
Osoittajaan riittää, että käytetään jaksoa, kun taas nimittäjä koostuu niin monesta 9 kuin jaksoa säveltävät numerot.
Esimerkiksi 0,4545: lle ... jakso on 45 ja koostuu kahdesta numerosta, saadaan murtoluku 45/99 = 5/11.
Siksi: 3,4545 ... = 3 + 5/11 = 38/11.
Muussa tapauksessa anna x = 0,4545454545 ...
100 x = 45.4545454545 ... = 45 + x siis 100 x - x = 45.4545454545 ... - 0.4545454545 ... = 45 siis 99 x = 45 siis x = 45/99.
Sekoitetun jaksottaisen desimaalilaajennuksen tapausSekoitettu jaksollinen desimaaliluku on desimaaliluku, jossa jakso ei ala heti desimaalin jälkeen, esimerkiksi: 0.8333 ... tai 0.14666 ...
Löydät murto-osan laskurin vähentämällä sekoitettu arvo sekoitetusta arvosta, jota seuraa ensimmäinen jakso. Mitä tulee nimittäjään, se koostuu niin monesta 9 kuin jaksoa säveltävät numerot, jota seuraa niin monta nollaa kuin sekaluvun muodostavan desimaalin jälkeen on numeroita.
Esimerkki: 0,36981981 ...
sekoitettu arvo: 36
Sekoitettu arvo, jota seuraa ensimmäinen jakso: 36981
Osoittaja = 36981 - 36 = 36945
Arvossa 0,36981981 ... jakso 981 koostuu kolmesta numerosta, joten nimittäjä koostuu kolmen 9: n sarjasta, jota seuraa kaksi nollaa, koska sekoitettu arvo 36 koostuu kahdesta numerosta. Lopuksi saadaan 0,36981981 ... = 36945/99900 = 821/2220.
Esimerkki 2 .
Lisää tai vähennä vain jokaisen murto-osan osoittaja ja säilytä yhteinen nimittäjä.
Esimerkki summasta:
Esimerkki erosta:
Eri nimittäjälleEnnen operaation suorittamista kukin osa on muunnettava vastaavaksi osaksi, jonka nimittäjä on heille yhteinen.
Esimerkki:
Kahden jakeen kertominen on helppoa, mutta ei ole helppo ymmärtää, miksi se toimii tällä tavalla. Esimerkiksi,
Tässä on selitys, joka perustuu murto-osien intuitiiviseen ymmärtämiseen. Voimme ymmärtää neljä viidesosaa neljä kertaa viidesosa (katso graafiset esitykset yllä) tai kuten . Joten moninkertaistaa jonka on suorittaa .
Mutta kerrottuna viidesosa määriä jakamalla 5, on sanottava, että kertoa nimittäjä 5 (yksiköt ovat 5 kertaa pienempi), nimittäin: .
Jako on käänteisen käänteinen. Algoritmisesti, kun jaamme murtoluvulla, korvataan jako kertolaskulla samalla kun käännetään seuraava murtoluku. Esimerkiksi :
Rationaalisilla murtoluvuilla tai yleisemmin kommutatiivisen renkaan murto-kentällä nimittäjän ja osoittajan käsitteellä on sama merkitys.
Vaikka ranskalaiset käyttävät helposti desimaalilukuja, anglosaksit haluavat usein ilmaista kokonaiset osat murtoluvuilla - epäilemättä kulttuurisen eron vuoksi (ajattele esimerkiksi metrisen järjestelmän ja keisarillisen järjestelmän suosiota kahdessa kulttuurissa). Esimerkiksi he sanovat henkilö on 5ft 5 / 8 ei 5.625ft.
Termi jae , ilmestyi ranskaksi lopussa ja XII : nnen vuosisadan, on johdannainen latinan alemman FRACTIO - "toimia tauolla" - käytetty keskiajan matemaattisia terminologiaa "jako". Tämä termi itsessään tulee klassisesta latinankielisestä frangere - "rikkoa" -, joka tulee indoeurooppalaisesta juuresta ° bhreg, jolla on sama merkitys ja josta on peräisin goottilainen juuret brikan, joka antaa tauon englanniksi ja brechen saksaksi.
Jakeet kerran kutsutaan numerot rikki , termiä käytetään edelleen 18 th -luvulla, esimerkiksi Encyclopédie .