On matematiikka , yleinen lineaarinen ryhmä - tai lineaarinen ryhmä - aste n on kommutatiivinen kentän K (tai yleisemmin: a yhtenäinen kommutatiivinen rengas ) on ryhmä on käännettävissä n x n matriisien kanssa kertoimien K , jolla on matriisi kertolasku . Merkitään sitä GL n ( K ) tai GL n (tässä GL ( n , K )). Nämä ryhmät ovat tärkeitä ryhmäesitysten teoriassa ja esiintyvät symmetrioita ja polynomeja tutkittaessa .
GL ( n , K ) ja sen alaryhmiä kutsutaan usein "lineaarisiksi ryhmiksi" tai "matriisiryhmiksi". Lineaarinen erityinen ryhmä , merkitty SL ( n , K ) ja koostuu matriisien determinantti 1, on normaali alaryhmä GL ( n , K ).
Ja kommutatiivinen unital rengas R , GL ( n , R ) on ryhmä matriisikertolaskun: yksikköjen ryhmän renkaan paneelit n x n kanssa kertoimet R .
Jos n ≥ 2, GL ( n , R ) ei ole abelin (paitsi tietysti, jos R on nolla ).
Tahansa kommutatiivinen alalla K , GL ( n , K ) on luotu , jonka ala-matriisit ja transvections ja dilations (koska transvections tuottaa erityinen lineaarinen ryhmä ).
Jos E on vektori tilaa kentällä K , me kutsumme yleinen lineaarinen ryhmä E ja merkitsemme GL ( E ) tai Aut ( E ), ryhmä automorphisms ja E varustettuja koostumus karttoja .
Jos E on ulottuvuus n , GL ( E ) ja GL ( n , K ) ovat isomorfisia . Tämä isomorfismi ei ole kanoninen ja riippuu valinta perustan ja E . Kun tämä perusta on valittu, mikä tahansa E: n automorfismi voidaan esittää kääntyvällä n × n- matriisilla, joka määrittää isomorfismin.
Jos kenttä K on ℝ ( reaaliluvut ) tai ℂ ( kompleksiluvut ), niin GL ( n, K ) on todellinen tai monimutkainen ulottuvuuden n 2 Lie-ryhmä . GL ( n ) koostuu matriiseista, joissa on nollasta poikkeava determinantti. Määrittävä tekijä on jatkuva (ja jopa polynominen) kartta, GL ( n ) on n × n matriisien jakotukin M ( n ) avoin ei-tyhjä osajoukko , mutta tämä jakotukki on ulottuvuutta n 2 .
Lie algebran liittyy GL ( n ) on M ( n ).
GL ( n ) on tiheä M ( n ): ssä.
GL ( n , ℂ) on kytketty, mutta ei yksinkertaisesti yhdistetty : sen perusryhmä on ääretön monogeeninen .
GL ( n , ℝ): llä on kaksi kytkettyä komponenttia : positiivisen determinantin ja negatiivisen determinantin matriisit. Positiivisen determinantin todelliset n × n- matriisit muodostavat GL: n ( n , ℝ) alaryhmän , jota merkitään GL +: lla ( n , ℝ). Jälkimmäinen on myös ulottuvuuden n 2 Lie-ryhmä ja sillä on sama Lie-algebra kuin GL ( n , ℝ). Sen perustavaa laatua on monogeeninen: triviaali ja n = 1, ääretön n = 2 ja järjestys 2 n > 2.
Jos K on rajallinen kenttä, jossa on q- elementtiä, kirjoitetaan joskus GL ( n , q ) GL: n ( n , K ) sijaan. Se on äärellinen ryhmä on järjestys ( q n - 1) ( q n - q ) ( q n - q 2 ) ... ( q n - q n -1 ), joka voidaan todistaa laskemalla emäkset on rajallinen vektorin tila .
Erityinen lineaarinen ryhmä tilauksen n on kommutatiivinen rengas R , on merkitty SL ( n , R ), koostuu matriisien determinantin 1.
Tämä on normaali alaryhmä GL ( n , R ), koska se on ydin on ryhmä morfismi "determinantti", GL ( n , R ) multiplikatiivisessa ryhmä R x on käännettävissä elementtejä R . Mukaan ensimmäinen isomorphism lause , osamäärä ryhmä GL ( n , R ) / SL ( n , R ) on isomorfinen R x . Itse asiassa, GL ( n , R ) on osittain suora tuote SL ( n , R ), jonka R x : GL ( n , R ) = SL ( n , R ) ⋊ R x .
Kentän K kohdalla SL ( n , K ) syntyy elementaaristen transvektiomatriisien avulla.
SL ( n, K ) on johdettu ryhmä päässä GL ( n, K ), paitsi jos n = 2, ja K = F 2 .
EsittelyKaikilla GL: n ( n, K ) kahden elementin kommutaattoreilla [ u, v ] = u −1 v −1 uv on determinantti 1, joten D (GL ( n, K )) ⊂ SL ( n, K ). Vastavuoroisen osallisuuden todistamiseksi riittää osoittamaan, että kaikki identiteetistä poikkeavat transvektiot ( n = 2) ovat kommutaattoreita. Koska ne kaikki ovat konjugoituja , riittää jopa näyttää se yhdelle heistä.
Kaikkia tapauksia käsitellään siis useimmiten useimmiten. Kuten ryhmän GL (2, F 2 ) = SL (2, F 2 ), se on isomorfinen symmetrinen ryhmä S 3 , jonka johdettu ryhmä on vuorotteleva ryhmä 3 .
Samojen tekniikoiden avulla voidaan osoittaa, että kaikki ryhmät SL ( n, K ) ovat täydellisiä , paitsi SL (2, F 2 ) ja SL (2, F 3 ).
Kun K on ℝ tai ℂ, SL ( n ) on Lie alaryhmä GL ( n ), jonka dimensio on n- 2 -1. Lie algebran SL ( n ) on muodostettu n x n matriisien kanssa reaali- tai kompleksiluku kertoimet nolla jäljittää .
Erityinen lineaarinen ryhmä SL ( n , ℝ) voidaan pitää ryhmä lineaarimuunnosten on ℝ n säilyttämisen määrä ja suunta.
Lineaarinen projektiivinen ryhmä (fi) PGL ( E ) vektorin avaruuden E yli kommutatiivinen kenttä K on osamäärä ryhmä GL ( E ) / Z ( E ), jossa Z ( E ) on keskus GL ( E ), että on aliryhmä, joka koostuu dilataatioista nollasta. Lopullisen ulottuvuuden avaruuden E lineaarinen erikoisprojektiivinen ryhmä PSL ( E ) on SL ( E ): n osamääräryhmä sen keskuksen SZ ( E ) mukaan, ts. Determinantin 1 homotetyydestä muodostuvan alaryhmän. Jos E = K n , niitä merkitään vastaavasti PGL ( n, K ) ja PSL ( n, K ). Äärellisen kentän F q lineaarista erikoisprojektiivista ryhmää PSL ( n , F q ) merkitään joskus L n ( q ): llä .
Tämä "projektiivisen ryhmän" nimitys tulee projektiivisesta geometriasta , jossa homogeenisiin koordinaatteihin ( x 0 : x 1 :…: x n ) vaikuttava projektio-ryhmä on tämän geometrian taustalla oleva ryhmä (näin ollen ryhmä PGL ( n +1) , K ) vaikuttaa ulottuvuuden n ) projektiviseen tilaan . Lineaarinen projektivinen ryhmä yleistää siis Möbius-muunnosten PGL (2) -ryhmän , jota joskus kutsutaan Möbius-ryhmäksi.
Kaikki PSL ( n, K ) ryhmien n ≥ 2 ovat yksinkertaisia , paitsi PSL (2, F- 2 ) ja PSL (2, F- 3 ).
Neliömatriisi, jonka kertoimet ovat kommutatiivisessa renkaassa R, on käänteinen (eli sillä on käänteinen matriisi, jonka kertoimet ovat myös R: ssä ) vain ja vain, jos sen determinantti on käänteinen R: ssä (jos R ei ole kenttä, ei siksi riitä, että determinantti ei ole nolla). GL: n ( n , ℤ) elementit ovat siis n × n matriiseja, joiden kokonaislukukerroin on determinantti yhtä kuin 1 tai –1. Modulaarinen ryhmä on PSL ryhmä (2, ℤ).
Diagonaalimatriisien joukko, jossa ei ole nolla-determinanttia, muodostaa GL: n ( n , K ) alaryhmän isomorfiseksi ( K × ) n: ksi . Se syntyy laajentumisista.
Skalaari matriisi on homothety matriisi, eli diagonaalinen matriisi, joka on tuote, identiteettimatriisia vakiolla. Nollasta poikkeavien skalaarimatriisien joukko, jota joskus merkitään Z: llä ( n , K ), muodostaa GL: n ( n , K ) alaryhmän, joka on isomorfinen K ×: n suhteen . Tämä ryhmä on GL: n ( n , K ) keskus . Siksi se on normaalia GL: ssä ( n , K ) ja abelin.
SL: n ( n , K ) keskus , jota merkitään SZ ( n , K ), on yksinkertaisesti determinantin 1 skalaarimatriisien joukko. Se on isomorfinen n: nnen juuren ryhmälle 1 .
Tavanomaiset GL-ryhmät ovat alaryhmiä ( E ), jotka säilyttävät osan sisäisestä tuotteesta E: llä . Esimerkiksi :
Nämä ryhmät ovat tärkeitä esimerkkejä valheiden ryhmistä.
Yleinen lineaarinen "ääretön" tai "stabiili" ryhmä, jonka yhtenäinen rengas on induktiivinen raja sekvenssin GL ( n , ), ja sulkeumien jonka ylempi vasen lohkot :
Merkitsemme sitä GL ( A ) tai GL ( ∞ , A ). Voimme nähdä sen elementit kääntymättöminä äärettöminä matriiseina, jotka eroavat (äärettömästä) identiteettimatriisista vain rajallisella määrällä niiden kertoimia. Lemma Whitehead laskee sen johdannaisen ryhmä.