Ei-kommutatiivinen geometria kehittämä Alain Connes , on haara matematiikan , erityisesti tyypin geometria erillinen algebrallinen on algebrallinen geometria , koska se on tavallisesti selvää, (kehittämän Alexander Grothendieck ) yhtä kiinnostuneita määritellyt tavoitteet päässä kuin kommutatiivinen algebrallinen rakenne .
Pääajatus on, että tilaa tavanomaisessa geometriassa tarkoitetulla tavalla voidaan kuvata tällä avaruudella määritellyllä digitaalisten toimintojen joukolla . Tämä funktiojoukko muodostaa assosiatiivisen algebran kentän päälle , joka on myös kommutatiivinen: Kahden funktion tulo ei riipu tilauksen valinnasta. Voimme sitten ajatella, että ei-kommutatiiviset assosiatiiviset algebrat näkyvät "funktion algebrana" "ei-kommutatiivisissa tiloissa", kuten ei-kommutatiiviset torukset .
Moderni lähestymistapa moniin geometrisiin kysymyksiin on keskittyä toimintoihin, jotka on määritelty tutkittavaan tilaan. Esimerkiksi Riemannin pakosarjojen geometrian tutkimiseen kuuluu jakotukkiin määriteltyjen meromorfisten toimintojen tutkiminen , Riemann-Rochin lause ja sen yleistykset keskeisenä työkaluna ; algebrallinen geometria sen uudelleen laadittu mukaan Grothendieck , on kokonaan omistettu tutkimuksessa yleisen funktioita ( kuviot ). Nämä toimintosarjat muodostavat summaamista ja kertomista varten kommutatiiviset renkaat , jotka monissa tapauksissa luonnehtivat vastaavaa tilaa; voimme sanoa, että näillä tiloilla on tietyssä mielessä kommutatiivinen topologia.
Ei-kommutatiivisen geometrian "unelma" on samoin liittyä ei-kommutatiivisiin renkaisiin "välilyönteihin", jotka voitaisiin tulkita renkaan elementtien tueksi, joita pidetään "funktioina". Vastaavia yleistyksiä, jotka ovat erittäin ei-triviaalia, kutsutaan ei-kommutatiivisiksi tiloiksi , joissa on ei-kommutatiivisia topologioita .
Teknisestä näkökulmasta osa Alain Connesin kehittämästä teoriasta juontaa juurensa vanhempiin lähestymistapoihin, etenkin ergodiseen teoriaan . Noin 1970, George Mackey oli luonut teorian virtuaalisista alaryhmistä , jotka olisivat homogeenisia tiloja (laajemmassa mielessä) ergodisille ryhmätoimille ; tämä teoria tulkitaan nyt ei-kommutatiivisen geometrian erityistapaukseksi.
Vuonna 1997 Alain Connes löysi ei-kommutatiivisen geometrian sovelluksia M-teoriaan , mikä sai fyysikot kiinnostumaan siitä; johti moniin ja odottamattomiin sovelluksiin, erityisesti kvanttikenttäteoriassa .
Esitys Gelfand (fi) , joka liittyy C * algebran kommutatiivinen (mukaan Kaksinaisuuden ) erilliseen tilaan paikallisesti kompakti ; jopa ei-kommutatiivisessa tapauksessa voimme liittää C * -algebraan S topologisen tilan Ŝ, jota kutsutaan sen spektriksi ; sanomme usein, että Ŝ on ei-kommutatiivinen tila .
Mitattujen σ-äärellisten tilojen ja kommutatiivisten Von Neumannin algebrojen välillä on myös kaksinaisuus , me myös yhdistämme ei-kommutatiivisiin Von Neumannin algebras-objekteihin, joita tästä syystä kutsutaan ei-kommutatiivisiksi mitatuiksi tiloiksi .
Riemannin jakotukki M on topologinen tilaan ylimääräisiä rakenteita; algebran C ( M ) jatkuvan toimintoja M sallii vain topologia voidaan rekonstruoida. Algebrallinen muuttumaton , jonka avulla voidaan muodostaa uudelleen Riemannian rakenne otettiin käyttöön Alain Connes nimellä spektrin tripletti (fi) , jonka on saanut vaikutteita lause on Atiyah-Singer indeksi . Se on rakennettu sileästä vektoripaketista E ulomman algebran nipun M yläpuolelle . Hilbert tila L 2 ( M , E ) on integroituva potenssiin osien E on C ( M) (kertomisen operaattorit); voimme määritellä rajaton operaattori D on L 2 ( M , E ) on kompakti ratkai- asettaa siten, että kytkimet [ D , f ] rajaavat, kun f on derivoituva. Vuonna 2008 Alain Connes osoitti, että M: lle , kuten Riemannin lajikkeelle, on tunnusomaista tämä tripletti.
Tämä johtaa määrittelemään ei-kommutatiivisen Riemannin-jakotukin triplettinä ( A , H , D ), joka muodostuu C * -algebra A: n (ei-kommutatiivinen) esityksestä Hilbert-avaruudessa H ja rajoittamattoman operaattorin D : stä H: ssä. , kompakti ratkaiseminen yhdessä, kuten [ D , ] rajoittuu kaikille on voimakkaita subalgebra of . Tätä aihetta koskeva tutkimus on hyvin aktiivista, ja on rakennettu monia esimerkkejä ei-kommutatiivisista Riemannin-jakotukista.
Kaksinaisuus välinen Affiininen järjestelmien ja kommutatiivinen renkaat johtaa määritellä analogisesti luokkaan ei-kommutatiivinen affiinia järjestelmiä kuin kaksi ja luokkaan yhtenäisen renkaita . Tässä yhteydessä tietyt Zariski-topologian yleistykset mahdollistavat näiden affiinikaavioiden liittämisen yleisempiin kohteisiin.
Rakentaminen Prjis (fi) on valmistunut kommutatiivinen rengas voidaan myös laajentaa ei-kommutatiivinen tapauksessa, sen jälkeen, kun rivit on Serre lause luokasta yhtenäisen väkipyörien . Tämä laajennus otetaan määritelmä ei-kommutatiivinen projektiivinen geometria , jonka Michael Artin ja JJ Zhang.
Yksi teoriaa motivoivista kysymyksistä on mahdollisuus laajentaa klassiset topologiset invariantit , kuten homologia , koskemaan ei-kommutatiivista tapausta ja tarkemmin määritellä ne kaksinaisuudella ei-kommutatiivisten operaattoreiden algebroista.
Yksi Alain Connesin lähtökohdista tähän suuntaan on hänen löytönsä uusi kohomologinen teoria, syklinen kohomologia , samoin kuin sen suhde algebralliseen K-teoriaan (Connes - Chernin hahmojen kautta).
Teoria ominaisuus luokkiin ja differentiable manifolds voidaan laajentaa spektrin kolminkertaistaa työkaluilla syklisten Kohomologia; siis tämän laajennuksen perusominaisuusluokka, JLO-kokosykli (en) , yleistää Tšernin luonteen . Useat indeksilauseen yleistykset mahdollistavat numeeristen invariantien tehokkaan poimimisen kolmikoista.