Rogers-Ramanujanin henkilöllisyys

Vuonna kombinatoriikka The Rogers-Ramanujan identiteettejä ovat seuraavat kaksi Hypergeometrinen Q-sarjan yhtälöt (fi) , joka voidaan tulkita yhtäläisyydet lukumäärien välisestä osioiden kokonaislukuja :

{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Punainen} n ^ {2}}} {(1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +1}) (1-q ^ {5k \ väri {Punainen} +4})}},}

{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Punainen} n (n + 1)}} {(1-q) (1-q ^ {2} ) \ cdots (1-q ^ {n})} = = prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Punainen} +2} ) (1-q ^ {5k \ väri {Punainen} +3})}}.}

Historia

Ne löysi ja todisti alun perin Leonard James Rogers (vuonna) vuonna 1894, sitten Srinivasa Ramanujan löysi (mutta ilman todisteita) vähän ennen vuotta 1913. Ramanujan löysi Rogersin osan vuonna 1917; he julkaisivat yhdessä uuden todistuksen. Issai Schur löysi myös nämä identiteetit ja osoitti ne (itsenäisesti) vuonna 1917.

Määritelmä

Käyttämällä Pochhammer Q-symboli , Rogers-Ramanujan identiteettejä ovat:

G (q) = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2}}}} {(q; q) _ {n}}} = { \ frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + \ cdots \,

(jatkuu OEIS: n A003114 kanssa )

H (q) = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2} + n}}} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + \ cdots \,

(jatkoa A003106 on OEIS ).

Pochhammer-symbolit

Pochhammer-symbolit, jotka puuttuvat, ovat:

{\ displaystyle (q; q) _ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1-q ^ {k}) = (1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}

{\ displaystyle (q; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 1})}

{\ displaystyle (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 4})}

{\ displaystyle (q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 2})}

{\ displaystyle (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 3})}

Kombinatoriset tulkinnat

Ensimmäisen identiteetti ( $G$ ), oikealla puolella voidaan tulkita osioiden määrä on n jonka osat eroavat toisistaan ainakin 2, ja vasemmalla puolella on useita väliseiniä n osissa yhdenmukainen ja ± 1 modulo 5 (1 , 4, 6, 9 jne. ).

Toiselle ( $H$ ):

${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}}}$ on sarja, joka muodostaa väliseinät n osassa siten, että kaksi vierekkäistä osaa eroavat toisistaan vähintään 2: lla ja siten, että pienin osa on vähintään 2.
${\ displaystyle {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}}}$ on sarja, joka tuottaa osiot siten, että kukin osa on yhtenevä 2 tai 3 modulo 5: n kanssa.

N: n osioiden lukumäärä siten, että kaksi vierekkäistä osaa eroavat toisistaan vähintään 2: lla ja sellainen, että pienin osa on vähintään 2, on yhtä suuri kuin n: n osioiden lukumäärä siten, että kukin osa on yhtäpitävä 2 tai 3 moduloon 5.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan peräisin englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista ” Rogers - Ramanujan identities ” ( katso luettelo tekijöistä ) .

GH Hardy ja EM Wright ( englanniksi kääntänyt F. Sauvageot), Johdatus numeeriteoriaan [“ Johdanto numeroiden teoriaan ”], Vuibert -Springer,2007, s. 375, th. 362 ja 363.
(in) Leonard James Rogers , " Kolmas Memoir laajentamiseen joidenkin Infinite Products " , Proc. London Math. Soc. , voi. 26, n o 1,1894, s. 15-32 ( DOI 10.1112 / plms / s1-26.1.15 ).
Hän välitti ne Percy Alexander MacMahonille, joka sisälsi ne kirjassaan Combinatory Analysis , Cambridge University Press, Vuosikerta. 2, 1916, ilman mielenosoitusta.
(in) Leonard James Rogers ja Srinivasa Ramanujan , " Todiste joidenkin identiteettien kombinatoorista analyysi " , Cambr. Phil. Soc. Proc. , voi. 19, 1919, s. 211-216.
(De) Issai Schur , " Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche " , Sitzungsberichte der Berliner Akademie ,1917, s. 302-321.
Hardy ja Wright 2007 , s. 376, th. 364.
" Rogers-Ramanujanin henkilöllisyys " , Publimathissa .

Katso myös

Bibliografia

(en) Cilanne Boulet ja Igor Pak (en) , " Combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities " , Journal of Combinatorial Theory , a, voi. 113, n ° 6,2006, s. 1019-1030 ( DOI 10.1016 / j.jcta.2005.09.007 , arXiv math / 0411072 , lue verkossa )
(en) David Bressoud , " Helppo todiste Rogers-Ramanujanin identiteeteistä " , J. numeroteoria , voi. 16, n ° 21983, s. 235-241 ( DOI 10.1016 / 0022-314X (83) 90043-4 )

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoinen linkki

(en) Eric W. Weisstein , ” Rogers-Ramanujan Identities ” , MathWorldissa