Chapman-Enskog-menetelmä

Nopeudet ennen vuorovaikutuksen ja on Galilein viitekehys . Indeksit edustavat välinpitämättömästi samaa lajia tai kahta eri lajia. Nämä nopeudet ovat voimassa ja vuorovaikutuksen jälkeen. Sijoitamme järjestelmään, joka on keskitetty barycenteriin ja jolla on vakionopeus impulssin säilymisen vuoksi. Tässä siis Galilean järjestelmässä hiukkasen alkunopeus on suhteellinen nopeus . Symmetrialla voimme sanoa, että reitti sisältyy tasoon, joka sisältää origon ja . Valitsemme viitteen, kuten (katso kuva). Tässä viitekehyksessä poikkeama on vaikutusparametrin , suhteellisen nopeuden ja vuorovaikutuspotentiaalin funktio, jonka oletetaan riippuvan vain kahden vuorovaikutuksessa olevan hiukkasen välisestä etäisyydestä. Jos tämä oletus on tiukka kahden atomin välisessä vuorovaikutuksessa, voidaan sitä pitää käyttökelpoisena kahdelle molekyylille: potentiaali on silloin tilastollinen keskimääräinen potentiaali. v→i{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {i}}v→j{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {j}}v→i′{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {i} '}v→j′{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {j} '}j{\ displaystyle j}gij=v→i-v→j{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij} = {\ vec {v}} _ {i} - {\ vec {v}} _ {j}}gij{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij}}Ω=gij||gij||=(1,0,0){\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = {\ frac {\ mathbf {g} _ {ij}} {|| \ mathbf {g} _ {ij} ||}} = (1,0,0)}θij{\ displaystyle \ theta _ {ij}}b{\ displaystyle b}gij{\ displaystyle g_ {ij}}

Vuorovaikutuksen ulostulon suunta määritetään . Lopulliset nopeudet voidaan laskea seuraavista näkökohdista: Ω′=g′ij||g′ij||{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega '} = {\ frac {\ mathbf {g'} _ {ij}} {|| \ mathbf {g '} _ {ij} ||}}}

• vauhdin säilyminen vuorovaikutuksessa merkitsee sitä v→i′+v→j′=v→i+v→j.{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {i} '+ {\ vec {v}} _ {j}' = {\ vec {v}} _ {i} + {\ vec {v}} _ { j}.}

• suhteellisella nopeudella on vakio moduuli energiansäästön vuoksi, siis taigij{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij}}gij′=gij{\ displaystyle g_ {ij} '= g_ {ij}} |v→i′-v→j′|=|v→i-v→j|.{\ displaystyle | {\ vec {v}} _ {i} '- {\ vec {v}} _ {j}' | = | {\ vec {v}} _ {i} - {\ vec {v} } _ {j} |.} Nopeudet vuorovaikutuksen jälkeen ovat siis: {v→i′(b,g)=v→i-(gij⋅Ω′)Ω′v→j′(b,g)=v→j+(gij⋅Ω′)Ω′.{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ vec {v}} _ {i} '(b, g) & = {\ vec {v}} _ {i} - (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega '}) \, \ mathbf {\ Omega'} \\ {\ vec {v}} _ {j} '(b, g) & = {\ vec {v}} _ {j} + (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega '}) \, \ mathbf {\ Omega'} \ end {case}}.}

Lisäksi kulmamomentin säilyminen vuorovaikutuksen aikana johtaa . Törmäystä kuvaava järjestelmä on palautuva. Liouville lauseen avulla kirjoittaa:b′=b{\ displaystyle b '= b}

Todennäköinen määrä hiukkasia, jotka ylittävät alueen aikayksikköä kohti, on . Ne ovat vuorovaikutuksessa todennäköisen määrän hiukkasten alkutilavuudessa . Tilastosta katoavien hiukkasten määrä aikayksikköä kohden on :2πbdb{\ displaystyle 2 \, \ pi \, b \, \ mathrm {d} b}f(v→j)gij2πbdbdv→j{\ displaystyle f ({\ vec {v}} _ {j}) \ mathbf {g} _ {ij} 2 \ pi b \; \ mathrm {d} b \; \ mathrm {d} {\ vec {v }} _ {j}} f(v→i)drdv→i{\ displaystyle f ({\ vec {v}} _ {i}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}Θij-drdv→i{\ displaystyle \ Theta _ {ij} ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}

σij{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}

Makroskooppinen taso

Boltzmannin yhtälö kuvaa hiukkasten evoluution mikroskooppisella tasolla. Kuvailemaan kutakin lajia makroskooppisella tasolla ja määritellään kaikki: i{\ displaystyle i}

• hiukkastiheys  ;ei=∑ieii=∑i∫v→if(x→,v→i,t)dv→i{\ displaystyle n = \ summa _ {i} n_ {i} = \ summa _ {i} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}
• tiheys ;ρ=∑iρi=∑ieiimi=∑imi∫v→if(x→,v→i,t)dv→i{\ displaystyle \ rho = \ summa _ {i} \ rho _ {i} = \ summa _ {i} n_ {i} m_ {i} = \ summa _ {i} m_ {i} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ { i}}
• keskinopeus ;v→¯=1eii∫v→iv→if(x,v→i,t)dv→i{\ displaystyle {\ overline {\ vec {v}}} = {\ frac {1} {n_ {i}}} \ int _ {{{\ vec {v}} _ {i}} {\ vec {v }} _ {i} f (x, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}
• sisäinen energia ;ei=∫v→12mi‖v→i‖2f(x,v→i,t)dv→i{\ displaystyle e_ {i} = \ int _ {\ vec {v}} {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Green {\ vec {v}} _ {i} \ Green ^ {2 } f (x, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}

Voimme sitten määrittää arvot kaikille lajeille, nimittäin:

• kokonaisnopeus (kaikkien hiukkasten barysentrinen nopeus);V→=1ρ∑iρiv→i=1ρ∑iv→imi∫v→if(x→,v→i,t)dv→i{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ frac {1} {\ rho}} \ sum _ {i} \ rho _ {i} {\ vec {v}} _ {i} = {\ frac { 1} {\ rho}} \ summa _ {i} {\ vec {vec}} _ {i} m_ {i} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} f ({\ vec { x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}
• diffuusionopeus ( kinemaattinen määrä );v→Di=v→i-V→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {Di} = {\ vec {v}} _ {i} - {\ vec {V}}}

Joitakin apumuuttujia (missä on Avogadron lukumäärä ) EIAT{\ displaystyle N_ {A}}

• tilavuusosuus  ;xi=eiiei{\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {n_ {i}} {n}}}
• massaosuus  ;vs.i=ρiρ{\ displaystyle c_ {i} = {\ frac {\ rho _ {i}} {\ rho}}}
• keskimääräinen moolimassa ;mi=EIATmi{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {i} = N_ {A} m_ {i}}m¯=∑iximi{\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {m}}} = \ summa _ {i} x_ {i} \ mathbf {m} _ {i}}

Määrän virtaus on määritelmän mukaan määräψi{\ displaystyle \ psi _ {i}}

⊗{\ displaystyle \ otimes}

• massavirta  ;J→i=mi∫v→fiv→Didv→Di=ρiv→Di{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i} = m_ {i} \ int _ {\ vec {v}} f_ {i} {\ vec {v}} _ {Di} \; \ mathrm {d } {\ vec {vb}} _ {Di} = \ rho _ {i} {\ vec {v}} _ {Di}}
• painetensori , joka edustaa momentin virtausta. Se on rakenteeltaan symmetrinen.Pi(x→,t)=∫v→imiv→Di⊗v→Dif(x→,v→i,t)dv→Di{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {i} ({\ vec {x}}, t) = \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} m_ {i} {\ vec {v} } _ {Di} \ otimes {\ vec {v}} _ {Di} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} { \ vec {vb}} _ {Di}}
• osapaine , määritellyn alkaen

si=13∫v→imi‖v→Di‖2f(x→,v→i,t)dv→Di{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {3}} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} m_ {i} \ Vihreä {\ vec {v}} _ {Di } \ Vert ^ {2} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {Di}}

lämmön virtaus . Se edustaa sisäistä energian virtausta.q→i=∫v→i12mi‖v→Di‖2v→Dif(x→,v→i,t)dv→Di{\ displaystyle {\ vec {q}} _ {i} = \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Green {\ vec {v}} _ {Di} \ Vert ^ {2} {\ vec {v}} _ {Di} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \ ; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {Di}}

Globaalit virtaukset saadaan yksinkertaisesti yhteenlaskemalla sekä paine. Sen jälkeen voimme määrittää lämpötilan tilayhtälöstäi{\ displaystyle i}s=∑isi.{\ displaystyle p = \ summa _ {i} p_ {i}.}s=eikT.{\ displaystyle p = nkT.}

Evoluutioyhtälöt

Kertomalla kukin Boltzmann-yhtälöistä peräkkäin kullakin törmäysvarianttilla ja integroimalla nopeuksien ja tarvittaessa lajin yli, saadaan makroskooppiset evoluutioyhtälöt, joita kutsutaan Enskog-yhtälöiksi. Toteamme

supistui tuote .mi,miv→,12mi‖v→‖2{\ displaystyle m_ {i}, m_ {i} {\ vec {v}}, {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Green {\ vec {v}} \ Green ^ {2}}:{\ displaystyle {\ textbf {:}}} {∂∂tρi+∇⋅(ρiv→+J→i)=0ρ∂∂tv→+ρ(v→⋅∇)v→+∇⋅P=∂∂t(ρv→)+∇⋅(ρv→⊗v→)+∇⋅P=0∂∂t(ρe)+∇⋅(ρeV→)+∇⋅q→+∇⋅(P:V→)=0.{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial} {\ ositettu t}} \ rho _ {i} + \ nabla \ cdot (\ rho _ {i} {\ vec {v}} + {\ vec {J}} _ {i}) = 0 \\\ rho {\ dfrac {\ partituali {\ osittainen t}} {\ vec {v}} + \ rho ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {P} = {\ dfrac {\ partituali} {\ osittainen t}} (\ rho {\ vec {v}}) + \ nabla \ cdot ( \ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}}) + \ nabla \ cdot \ mathbf {P} = 0 \\ {\ dfrac {\ partituali} {\ osittainen t}} (\ rho e ) + \ nabla \ cdot (\ rho e {\ vec {V}}) + \ nabla \ cdot {\ vec {q}} + \ nabla \ cdot (\ mathbf {P} {\ textbf {:}} {\ vec {V}}) = 0 \ loppu {tapaukset}}.} Kaikki toiset jäsenet ovat tyhjiä suojelulakien takia: ∫v→ψiQdv→=0,∀i,∀ψ∈[mi,miv→,12mi‖v→‖2].{\ displaystyle \ int _ {\ vec {v}} \ psi _ {i} {\ mathcal {Q}} \, \ mathrm {d} {\ vec {v}} = 0, \ quad \ kaikki i, \ ; \ forall \ psi \ in \ left [m_ {i}, m_ {i} {\ vec {v}}, {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Vert {\ vec {v}} \ Vihreä ^ {2} \ oikea].} Meillä on siis saada evoluution järjestelmä , ja joissa virtaa , ja vielä päätettävä. ρ{\ displaystyle \ rho}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}e{\ displaystyle e}J→i{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i}}P{\ displaystyle \ mathbf {P}}q→{\ displaystyle {\ vec {q}}}

Dimensioton Boltzmann-yhtälö

Oletetaan, että ympäristö on homogeeninen (vain yksi laji on läsnä).

Kunkin termin osuuden arvioimiseksi Boltzmann-yhtälössä on tarpeen muuttaa sen

kokoa . Tätä varten määritetään seuraavat viitemäärät:

• lämpötila , josta päätellään viittaus nopeudella, joka on

äänen nopeus ihanteellinen kaasu  ;T∗{\ displaystyle T ^ {*}}klo∗=yRT∗{\ displaystyle a ^ {*} = {\ sqrt {\ gamma RT ^ {*}}}}

makroskooppisen referenssipituuden, joka liittyy ongelmaan, jolla määritetään akustisten aaltojen etenemiseen liittyvä viiteaika ;L∗{\ displaystyle L ^ {*}}t∗=L∗klo∗{\ displaystyle t ^ {*} = {\ frac {L ^ {*}} {a ^ {*}}}}

vertailupaine , jolla vertailutiheys ja määrä määritetään  ;s∗{\ displaystyle p ^ {*}}ρ∗=s∗RT∗{\ displaystyle \ rho ^ {*} = {\ frac {p ^ {*}} {RT ^ {*}}}}f∗=ρ∗klo∗3{\ displaystyle f ^ {*} = {\ frac {\ rho ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {3}}}}

mikroskooppinen vertailunopeus, joka vastaa hiukkasen keskinopeutta  ;vs.∗=8kT∗mπ{\ displaystyle c ^ {*} = {\ sqrt {\ frac {8kT ^ {*}} {m \ pi}}}}

toinen mikroskooppinen vertailunopeus, joka vastaa kahden hiukkasen keskimääräistä suhteellista nopeutta  ;g∗=vs.∗2{\ displaystyle g ^ {*} = c ^ {*} {\ sqrt {2}}}

mikroskooppinen vertailupituus, joka vastaa keskimääräistä vapaata polkua, missä on

poikkileikkauksen ero.l∗=12σei{\ displaystyle l ^ {*} = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} \ sigma n}}}σ{\ displaystyle \ sigma}

Jos alennettu muuttujat määritellään nyt , , , , ja , Boltzmannin yhtälö on:f~=ff∗{\ displaystyle {\ tilde {f}} = {\ frac {f} {f ^ {*}}}}t~=tt∗{\ displaystyle {\ tilde {t}} = {\ frac {t} {t ^ {*}}}}v→~=v→vs.∗{\ displaystyle {\ tilde {\ vec {v}}} = {\ frac {\ vec {v}} {c ^ {*}}}}g~=gg∗{\ displaystyle {\ tilde {g}} = {\ frac {g} {g ^ {*}}}}b~=bσπ{\ displaystyle {\ tilde {b}} = {\ frac {b} {\ sqrt {\ frac {\ sigma} {\ pi}}}}}x→~=x→L∗{\ displaystyle {\ tilde {\ vec {x}}} = {\ frac {\ vec {x}} {L ^ {*}}}}

EIStr∂f~∂t~+v→~⋅∇x~f~=1EIKeiuτ∗f∗Q(f,f){\ displaystyle N_ {Str} {\ frac {\ osal {{tilde {f}}} {\ osittainen {\ tilde {t}}}} + {\ tilde {\ vec {v}}} \ cdot \ nabla _ {\ tilde {x}} {\ tilde {f}} = {\ frac {1} {N_ {Knu}}} {\ frac {\ tau ^ {*}} {f ^ {*}}} {\ mathcal {Q}} (f, f)} tai

• EISr=L∗vs.∗t∗{\ displaystyle N_ {Sr} = {\ frac {L ^ {*}} {c ^ {*} t ^ {*}}}}on Strouhal-luku, joka painottaa järjestelmän ajallista vaihtelua,
• EIKeiu=l∗L∗{\ displaystyle N_ {Knu} = {\ frac {l ^ {*}} {L ^ {*}}}}on Knudsenin luku, jonka käänteinen paino painostaa törmäystermiä, joten taipumus palata tasapainoon. Käytännössä jatkuvuusyhtälöiden pätevyys , tyypillisesti.EIKeiu<0,01{\ displaystyle N_ {Knu} <0,01}

Liuoksen formulointi

Kirjoitamme ratkaisun sarjaksi käyttämällä samaa suuruusluokan parametria kuin

Knudsen-luku :Λ{\ displaystyle \ Lambda} f(x→,v→i,t)=f(x→,v→i,t)(0)+Λf(x→,v→i,t)(1)+Λ2f(x→,v→i,t)(2)+...{\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) = f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} + \ Lambda f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(1)} + \ Lambda ^ {2} f ( {\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(2)} + \ ldots} f(x→,v→i,t){\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t)}kunnioittaen luonnonsuojelulakeja, jokaisessa kehitysehdossa on myös noudatettava niitä. Tästä syystä ratkaisun rajoitukset: ∫v→ψf(x→,v→i,t)(k)dv→=0,∀i,∀k,∀ψ∈[m,mv→,12m‖v→‖2].{\ displaystyle \ int _ {\ vec {v}} \ psi f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(k)} \, \ mathrm { d} {\ vec {v}} = 0, \ quad \ forall i, \; \ forall k, \; \ forall \ psi \ in [m, m {\ vec {v}}, {\ frac {1} {2}} m \ vihreä {\ vec {v}} \ vihreä ^ {2}].} Meillä on tämä likiarvo Boltzmannin yhtälössä ja erotetaan termit, jotka vastaavat kutakin voimaa . Λ{\ displaystyle \ Lambda}

Nollatasolla

Me yksinkertaisesti saamme

∑jQ(f(x→,v→i,t)(0),f(x→,v→j,t)(0))=0.{\ displaystyle \ summa _ {j} {\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0) }, f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} {\ Bigr)} = 0.} Tämä yhtälö tarkistetaan, jos kaikki sen muodostavat termit ovat nollia, erityisesti Q(f(x→,v→i,t)(0),f(x→,v→j,t)(0))=0,{\ displaystyle {\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)}, f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} {\ Bigr)} = 0,} mikä merkitsee f(x→,v→i,t)(0)(v→′)f(x→,v→i,t)(0)(w→′)=f(x→,v→i,t)(0)(v→)f(x→,v→i,t)(0)(w→),{\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v}} ') f ({\ vec {x }}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {w}} ') = f ({\ vec {x}}, {\ vec {v} } _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v}}) f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {( 0)} ({\ vec {w}}),} tai Hirsi⁡f(x→,v→i,t)(0)(v′→)+Hirsi⁡f(x→,v→j,t)(0)(w→′)=Hirsi⁡f(x→,v→i,t)(0)(v→)+Hirsi⁡f(x→,v→j,t)(0)(w→).{\ displaystyle \ log f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v '}}) + \ log f ( {\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} ({\ vec {w}} ') = \ log f ({\ vec {x}} , {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v}}) + \ log f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} ({\ vec {w}}).} Joten on siis törmäysvariantti. Siksi se on kirjoitettu lineaarisena yhdistelmänä kanonisista törmäysinvarianteista:Hirsi⁡f{\ displaystyle \ loki f}Hirsi⁡f(x→,v→i,t)(0)=ATimi+B→i⋅(miv→i)+VSi12mi‖v→i‖2{\ displaystyle \ log f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} = A_ {i} m_ {i} + {\ vec {B }} _ {i} \ cdot (m_ {i} {\ vec {v}} _ {i}) + C_ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Vert {\ vec { v}} _ {i} \ Vihreä ^ {2}}

Lisäämällä tämä ilmaisu yhtälöihin, jotka määrittelevät makroskooppiset muuttujat, tunnistamme tämän kehityksen parametrit ja löydämme Maxwellin nopeuden jakautumisen lain , nimittäin:f(x→,v→i,t)(0)=eii(mi2πkT)32e-m12kT‖v→i-v→‖2{\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} = n_ {i} \ vasen ({\ frac {m_ {i}} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {m_ {1}} {2kT}} \ Vert {\ vec {v} } _ {i} - {\ vec {v}} \ Vihreä ^ {2}}}

kanssa . Diffuusiovirrat ovat nolla samoin kuin lämpövuo . Paineen tensori lasketaan sen jälkiin, missä on yksikön tensori. Vastaavat makroskooppiset yhtälöt ovat

Eulerin yhtälöitä . βi=mi2kT{\ displaystyle \ beta _ {i} = {\ frac {m_ {i}} {2kT}}}J→i{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i}}q→{\ displaystyle {\ vec {q}}}P=sMinäd{\ displaystyle \ mathbf {P} = p \ mathbf {Id}}Minäd{\ displaystyle \ mathbf {Id}}

Tilaa yksi

Tilaus yksi paljastaa Fredholmin integraalin yhtälön tuntemattomalle , nimittäin:f(x→,v→i,t)(1){\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(1)}}

∂∂tf(x→,v→i,t)(0)+v→⋅∇f(x→,v→i,t)(0)=∑j[Q(f(x→,v→i,t)(0),f(x→,v→j,t)(1))+Q(f(x→,v→i,t)(1),f(x→,v→j,t)(0))]{\ displaystyle {\ frac {\ partisional} {\ ositettu t}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} + {\ vec {v}} \ cdot \ nabla f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} = \ summa _ {j} \ vasemmalle [{\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)}, f ({\ vec {x}} , {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(1)} {\ Bigr)} + ​​{\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}} , {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(1)}, f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0 )} {\ Bigr)} \ oikea]} Tämän yhtälön vaikea resoluutio antaa mahdollisuuden antaa Enskog-yhtälöiden tuntemattomat määrät, jotka voidaan sitten rinnastaa Navier-Stokes -yhtälöihin . Lähetysvirta

Se saadaan lineaarisen järjestelmän muodossa,

jota kutsutaan Stefan-Maxwell-järjestelmäksi : ∑j≠ixixjρDi,j(J→jvs.j-J→ivs.i)=∇xi+(xi-vs.i)∇Hirsi⁡s+k→iT∇Hirsi⁡T=di+k→iT∇Hirsi⁡T{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ sum _ {j \ neq i} {\ dfrac {x_ {i} x_ {j}} {\ rho \ mathbf {D} _ {i, j}}} \ left ({\ dfrac {{\ vec {J}} _ {j}} {c_ {j}}} - {\ dfrac {{{{\ vec {J}} _ {i}} {c_ {i}} } \ oikea) & = & \ nabla x_ {i} + (x_ {i} -c_ {i}) \ nabla \ loki p + {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} \ nabla \ loki T \ \ & = & \ mathbf {d} _ {i} + {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} \ nabla \ log T \ end {array}}} jossa näemme binäärisen diffuusiokertoimen ja "monikomponenttisen lämpöhajotuskertoimen" (itse asiassa dimensioton luvun), jotka on linkitetty tavallisiin kertoimiin (jotka eivät ole diffuusiokertoimia ja jotka voivat olla negatiivisia) seuraavasti:Di,j(T,s){\ displaystyle \ mathbf {D} _ {i, j} (T, p)}k→iT(T,s,xi){\ displaystyle {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} (T, p, x_ {i})}D→iT(T,s,xi){\ displaystyle {\ vec {D}} _ {i} ^ {T} (T, p, x_ {i})} k→iT=∑j≠ixixjρDij(D→jTvs.j-D→iTvs.i).{\ displaystyle {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} = \ summa _ {j \ neq i} {\ frac {x_ {i} x_ {j}} {\ rho \ mathbf {D} _ {ij}}} \ vasen ({\ frac {{\ vec {D}} _ {j} ^ {T}} {c_ {j}}} - {\ frac {{\ vec {D}} _ {i } ^ {T}} {c_ {i}}} \ oikea).} Lajia sisältävässä väliaineessa tämän järjestelmän sijoitus on vuodesta . Sen muodollinen ratkaisu on:EI{\ displaystyle N}EI-1{\ displaystyle N-1}∑iJ→i=0{\ displaystyle \ summa _ {i} {\ vec {J}} _ {i} = 0} J→i=-ρM¯2∑j≠iMiMjDij[∇xi+(xi-vs.i)∇Hirsi⁡s]-DiT∇Hirsi⁡T{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i} = - {\ frac {\ rho} {{\ overline {\ mathcal {M}}} ^ {2}}} \ sum _ {j \ neq i} {\ mathcal {M}} _ {i} {\ mathcal {M}} _ {j} D_ {ij} [\ nabla x_ {i} + (x_ {i} -c_ {i}) \ nabla \ log p ] - {\ mathcal {D}} _ {i} ^ {T} \ nabla \ log T} Löydämme diffuusion ehdot konsentraation, paineen ja lämpötilan gradientin mukaan ( Soretin vaikutus ). on monikomponenttinen diffuusiokerroin, binäärikertoimia sisältävän lineaarisen järjestelmän ratkaisu. Koska tämä järjestelmä on myös sijoitus, ratkaisu ei ole ainutlaatuinen ja sisältää itsenäisiä termejä. Valitsemme yleensä symmetrian vuoksi. Tämä valinta on mielivaltainen. Dij(T,s,xi){\ displaystyle D_ {ij} (T, p, x_ {i})}EI-1{\ displaystyle N-1}EI(EI-1)2{\ displaystyle {\ frac {N (N-1)} {2}}}Dii=0{\ displaystyle D_ {ii} = 0}

Stefan-Maxwell -järjestelmässä on useita likimääräisiä ratkaisuja, jotka mahdollistavat diffuusiovirtauksen nimenomaisen ilmaisun Fickin lain lähellä

olevassa muodossa , mikä on tarkka vain binääriseokselle. Paineen tensori

Painetensori on klassinen muoto

P=sMinä-2μ(T,s,xi)S{\ displaystyle {\ mathsf {P}} = p {\ mathsf {I}} - 2 \ mu (T, p, x_ {i}) {\ mathsf {S}}}

missä on tensoriyksikkö ja viskoosien jännitysten tensori Minä{\ displaystyle {\ mathsf {I}}}S{\ displaystyle {\ mathsf {S}}}

S=12[∇v→+(∇v→)t]-13(∇⋅v→)Minä{\ displaystyle {\ mathsf {S}} = {\ frac {1} {2}} [\ nabla {\ vec {v}} + (\ nabla {\ vec {v}}) ^ {t}] - { \ frac {1} {3}} (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \, {\ mathsf {I}}}

Lisätermi ilmestyy paineeseen, kun otetaan huomioon joustamaton vuorovaikutus. Sen vaikutus on heikko tai jopa vähäpätöinen pienitiheyksisille kaasuille. -η(∇⋅v→)Minä{\ displaystyle - \ eta (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \, {\ mathsf {I}}}

Huomaa, että Stokesin hypoteesi on luonnollisesti perusteltu tällä lähestymistavalla.

Lämpövirta

Sen antaa

q=-λ∇T+∑iρieiv→Di+s∑ikiTv→Di{\ displaystyle \ mathbf {q} = - \ lambda \ nabla T + \ summa _ {i} \ rho _ {i} e_ {i} {{\ vec {v}} _ {D}} _ {i} + p \ summa _ {i} k_ {i} ^ {T} {{\ vec {v}} _ {D}} _ {i}}

λ(T,s,xi){\ displaystyle \ lambda (T, p, x_ {i})}on lämmönjohtavuus. Yhtälön viimeinen termi on Soret-efektin seuraus ja sitä kutsutaan Dufour-efektiksi .

Kuljetuskertoimet

Kuljetuskertoimet ilmaistaan ​​lineaaristen järjestelmien muodossa, jotka sisältävät tyypin

suuruisia määriä, jotka kehitetään Sonine-Laguerren polynomeiksi . Laajennuskertoimet ilmaistaan törmäysintegraalien funktiona . Käytännössä tyydytetään laajennuksen ensimmäiseen järjestykseen, ja törmäysintegraalit ovat lämpötilan funktioita, jotka on kirjoitettu taulukkoon. Lisäksi on olemassa likimääräisiä lineaaristen järjestelmien ratkaisuja, jotka antavat eri kertoimet eksplisiittisessä muodossa. ∫v→F(Vi,fi(0))dv→{\ displaystyle \ int _ {\ vec {v}} F (V_ {i}, f_ {i} ^ {(0)}) d {\ vec {v}}} Jakamistoiminto

Jakamistoiminto on

fi(1)=fi(0)[1+1xiv→i⋅di+bi:(∇⊗v→)+(Wi2-52)v→i⋅∇Hirsi⁡T]{\ displaystyle f_ {i} ^ {(1)} = f_ {i} ^ {(0)} \ left [1 + {\ frac {1} {x_ {i}}} {\ vec {v}} _ {i} \ cdot \ mathbf {d} _ {i} + \ mathbf {b} _ {i}: (\ mathbf {\ nabla} \ otimes {\ vec {v}}) + \ vasen (W_ {i} ^ {2} - {\ frac {5} {2}} \ oikea) {\ vec {v}} _ {i} \ cdot \ nabla \ log T \ right]}

missä lähetysvirrassa annetaan ja di{\ displaystyle \ mathbf {d} _ {i}}

Wi=mi2kTv→i{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {i} = {\ sqrt {\ frac {m_ {i}} {2kT}}} {\ vec {v}} _ {i}} bi=2(Wi⊗Wi-Wi2Minä){\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = 2 \ vasen (\ mathbf {W} _ {i} \ otimes \ mathbf {W} _ {i} -W_ {i} ^ {2} \, {\ mathsf {I}} \ oikea)}

Tämä jakelutoiminto on tarpeen laskettaessa Knudsen-kerros, joka antaa seinän olosuhteet Navier-Stokes-yhtälöille.

Tilaa kaksi

Tässä taas saadaan Fredholmin integraali tuntemattomalle fi(2){\ displaystyle f_ {i} ^ {(2)}}

∂fi(1)∂t+v→⋅∇fi(1)=∑j[Q(fi(0),fj(2))+Q(fi(1),fj(1))+Q(fi(2),fj(0))]{\ displaystyle {\ frac {\ partitu f_ {i} ^ {(1)}} {\ osittainen t}} + {\ vec {v}} \ cdot \ nabla f_ {i} ^ {(1)} = \ summa _ {j} \ vasen [Q (f_ {i} ^ {(0)}, f_ {j} ^ {(2)}) + Q (f_ {i} ^ {(1)}, f_ {j} ^ {(1)}) + Q (f_ {i} ^ {(2)}, f_ {j} ^ {(0)}) \ oikea]}

David Burnett ehdotti vuonna 1935 ratkaisua tähän yhtälöön. Tällä on se haitta, että H-lausea ei kunnioiteta . Näyttää siltä, ​​että järjestyksen nousu on umpikuja, kaikki tähän mennessä tarjotut muunnelmat eivät ratkaise tätä ongelmaa.

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

1. Olisi loogisempaa määritellä "todellinen" lämpöhajotuskerroin .DiTρ{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {D}} _ {i} ^ {T}} {\ rho}}}

Viitteet

1. (en) Sydney Chapman ja Thomas George Cowling , Epätasaisten kaasujen matemaattinen teoria: selostus viskositeetin, lämmönjohtamisen ja kaasujen diffuusion kineettisestä teoriasta , Cambridge / New York / Port Chester jne. , Cambridge University Press ,1991, 422  Sivumäärä ( ISBN  0-521-40844-X )
2. (en) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss ja Robert Byron Bird , molekyyliteoria kaasuista ja nesteistä , John Wiley ja Sons ,1966( ISBN  978-0-471-40065-3 )
3. (en) Gilberto Medeiros Kremer , "  Chapman-Enskogin ja Gradin menetelmät ja sovellukset  " , RTO-EN-AVT 194 , 2011 [1]
4. Raymond Brun , Johdatus reaktiivisten kaasujen dynamiikkaan , Toulouse, Cépaduès ,2015, 402  Sivumäärä ( ISBN  978-2-36493-190-9 )
5. (in) Charles David Levermore , "  Ajoitus sulkeminen hierarkiat kineettisen teoriat  " , Journal of Statistical Physics , vol.  83,1996( lue verkossa )
6. (in) GM Kremer, "  Boltzmannin yhtälö Special ja suhteellisuusteorian  " , AIP Conference Proceedings , vol.  160, n °  1501,2012( lue verkossa )
7. Fyysisen mekaniikan perusteet
8. (en) Joel Henry Ferziger ja Hans Gerard Kaper , matemaattinen teoria kuljetusprosesseista kaasuissa , North Holland Publishing ,1972( ISBN  0-7204-2046-6 )
9. (en) Georges Duffa , Ablative Thermal Protection Systems Modeling , Reston, VA, AIAA Educational Series ,2013, 431  Sivumäärä ( ISBN  978-1-62410-171-7 )
10. Byung Chan Eu, tasapainoton tilastomekaniikka. Menetelmä asetettu. , Springer ,1998( ISBN  978-90-481-5007-6 )
11. Cédric Villani , Boltzmann-yhtälön hydrodynaamiset rajat , coll.  ”Bourbaki Seminar” ( n o  893 [2] ),2001

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Elastinen sokki
• Joustamaton törmäys
• Asymptoottinen kehitys
• Puhdistumateoria

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">