n -sfääri
On geometria , hypersphere on yleistys pallo on euklidinen tila on minkä tahansa ulottuvuus . Se on yksi yksinkertaisimmista esimerkkejä moninaisia ja alalla ulottuvuuden n , tai n -sphere , on tarkemmin sanoen hypersurface Euclidean tilan , yleisesti huomattava .
Rei+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}
Sei{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
Määritelmä
Olkoon E euklidinen avaruus, jonka ulottuvuus on n + 1, A on E: n piste ja R on ehdottomasti positiivinen reaaliluku . Hypersphere kutsutaan keskus ja säde R pisteiden joukko M , joiden etäisyys on R .
Kun kyseessä on affininen ortonormaali koordinaatisto , vaikka se merkitsisikin käännöksen suorittamista , joka ei muuta mitään geometrisiksi ominaisuuksiksi, on mahdollista pelkistää origoksi keskittyneeksi hyperpalloksi, jonka yhtälö sitten kirjoitetaan
∑i=1ei+1xi2=R2{\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}
.
Esimerkiksi :
- tapauksessa n = 0, hypersfääri koostuu kahdesta vastaavasta abcissapisteestä R ja - R ;
- tapauksessa n = 1, hyperpallo on ympyrä ;
- tapauksessa n = 2, hyperpallo on pallo tavallisessa mielessä.
(Katso näin määritetyn hyperpinnan parametrointi kohdasta " Ylipallon koordinaatit ".)
Ominaisuudet
Äänenvoimakkuus
Ulottuvuuden n - 1 ja säteen R , joka on ulottuvuuden n euklidinen pallo , rajaaman tilan tilavuus (tai tarkemmin sanottuna Lebesgue-mitta ) on yhtä suuri kuin:
Vei=πei/2ReiΓ(ei/2+1){\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ yli \ Gamma (n / 2 + 1)}}
,
missä tarkoittaa gammafunktiota . Meillä on erityisesti:
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
|
n tasainen |
n pariton
|
|---|
Vei{\ displaystyle V_ {n}} |
πei2Rei(ei2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ vasen ({\ frac {n} {2}} \ oikea)!}}} |
2(ei+1)/2πei-12Rei1⋅3⋅⋯⋅ei{\ displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot ei}}}
|
|---|
Seuraavassa taulukossa on esitetty kahdeksan ensimmäisen pallon, joiden koko on n ja säde 1, tilavuusarvot :
| ei |
Äänenvoimakkuuden arvo
|
|---|
| tarkka |
lähestyi
|
|---|
| 1 |
2{\ displaystyle 2} |
2{\ displaystyle 2}
|
| 2 |
π{\ displaystyle \ pi} |
3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
|
| 3 |
43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi} |
4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
|
| 4 |
12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}} |
4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
|
| 5 |
815π2{\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}} |
5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
|
| 6 |
16π3{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}} |
5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
|
| 7 |
16105π3{\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}} |
4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
|
| 8 |
124π4{\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}} |
4.05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}
|
Tällaisen pallon tilavuus on suurin, kun n = 5. Jos n > 5, tilavuus pienenee, kun n kasvaa ja sen raja äärettömässä on nolla:
limei→∞Vei=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ - \ infty} V_ {n} = 0}
.
Hyperkuutiolla rajattu yksikön hypersphere on reunat, joiden pituus on 2 ja tilavuus 2 n ; pallon ja kirjoitetun hyperkuution (sivuttain ) tilavuuksien suhde kasvaa n: n funktiona .
2/ei{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}
Alue
Alue on hypersphere ulottuvuus n -1 ja säde R voidaan määrittää ottamalla derivaatta suhteessa säteen R tilavuuden V n :
Sei-1=dVeidR=eiVeiR=2πei2Rei-1Γ(ei2){\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}
.
Sei=2πei+12ReiΓ(ei+12){\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}
.
|
n tasainen |
n pariton
|
|---|
Sei{\ displaystyle S_ {n}} |
2ei2+1πei2Rei1⋅3⋯(ei-1){\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}} |
πei+12Rei12(ei-12)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {n- 1} {2}} \ oikea)!}}}
|
|---|
N- yksikkö alalla on tästä syystä pinta-ala:
Sei{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
2πei+12Γ(ei+12) .{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}
Seuraavassa taulukossa on esitetty ensimmäisten 7 n -pallon, joiden säde on 1, alueen arvot :
| ei |
Alue Sei{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
|
|---|
| tarkka |
lähestyi
|
|---|
| 1 |
2π{\ displaystyle 2 \ pi} |
6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
|
| 2 |
4π{\ displaystyle 4 \ pi} |
12.56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
|
| 3 |
2π2{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2}} |
19,73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
|
| 4 |
83π2{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}} |
26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
|
| 5 |
π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}} |
31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
|
| 6 |
1615π3{\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}} |
33,07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
|
| 7 |
13π4{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}} |
32,46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}
|
Pinta-ala n- yksikön pallo on maksimi n = 6. n > 6, alue pienenee n kasvaessa ja sen raja äärettömään on nolla:
limei→∞Sei=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ - \ infty} S_ {n} = 0}
.
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">