Mesopotamian numerointi on järjestelmä numerointi on kuusikymmentä emästä käytetään Mesopotamiassa päässä III : nnen vuosituhannella BC. JKr . Tämä järjestelmä on edelleen olemassa parantamassa itse, kunnes ainakin III th luvun BC. AD , Seleucid- aikakaudella . Kreikan ja arabien sivilisaatiot ottavat sen lukujen kirjoittamiseen tähtitieteessä. Jotkut jäljet jäävät aikajärjestelmään tai kulmien mittaamiseen asteina, minuutteina, sekunteina.
Tämä järjestelmä perustuu kompromissiin perustan 60 ja kymmenen välillä. Näiden 3000 vuoden aikana useita kirjoitusjärjestelmiä on esiintynyt rinnakkain, mukaan lukien tieteellinen sijaintinumerointijärjestelmä, jossa on kuusikymmentä kappaletta, käyttäen nauloihin ja viisteisiin perustuvaa merkintää ja muita lisäperiaatteita, jotka osoittavat tiettyjä symboleja numeroille 1, 10, 60, 600, 3600, 36000, 216 000. Babylonialaiset ja akkadilaiset jakavat tämän numeron, ja se tulee sumerilaisten käyttämästä numerosta .
Mesopotamian tekstit, joissa on numerojälkiä, ovat levinneet yli 3000 vuoteen. Mesopotamia koki tänä aikana monia numerointijärjestelmiä, jotka olivat usein rinnakkain. Voimme erottaa laskelmissa käytettävät numerointijärjestelmät, yleensä sukupuolimaalisen sijaintityypin , ja metrologiset järjestelmät, joilla on eri perusteet.
Kehittäminen Mesopotamian numerointi järjestelmissä esiintyy pääasiassa sen eteläosassa, maa Sumerin , toisella puoliskolla IV : nnen vuosituhannella eKr. AD (mikä vastaa äskettäisen Urukin ajanjaksoa ). Se liittyy valtion, kaupunkien yhteiskunnan ulkonäköön, jonka taloudellisena perustana on kasteltu maatalous, jota kehystävät instituutiot (palatsit, temppelit) ja epäilemättä yksityisomistukset, jotka kehittävät yhä kehittyneempiä hallintavälineitä. Se tunnetaan yleisesti savikuplaissa, jotka ilmestyivät ennen kirjanpitovälineiden kirjoittamista. Aikana pari kolme vuosisatojen IV : nnen vuosituhannella eKr. AD , kirjoittaminen näyttää ulkonäöltään. Se on merkkien muodossa, jotka muodostuvat savitableteihin viillotetuista viivoista, joiden Robert Englund ehdotti luokiteltavan "proto-cuneiformeiksi", koska ne luovat perustan myöhemmälle kiilamallijärjestelmälle , mutta niillä ei vielä ole sellaista. merkit "kynsien" muodossa. Tämän ajanjakson laitosten kirjanpito- ja johtamistarpeet ovat epäilemättä tämän kirjoituksen kehityksen taustalla. Tähän ajanjaksoon sisältyy useita numeerisia ja metrologisia järjestelmiä laitosten tarpeiden tyydyttämiseksi: korjatun viljan määrien kirjaaminen ja arviointi ja tulevaisuuden kylvötarpeiden ennustaminen, leivän ja oluen valmistamiseen tarvittavien viljamäärien laskeminen jne. .
III th vuosituhannella BC. AD näkee kiilahahmon perustamisen. Shuruppakin (v. 2500) sumerilaisissa teksteissä esiintyvät ensimmäiset matemaattiset kouluharjoitukset . Yhä vahvempien poliittisten kokonaisuuksien muodostaminen, sitten Mesopotamian yhdistyminen Akkadin (jaet 2340-2190) ja Ur III (jae 2112-2004) lyhyissä imperiumeissa seurasi järjestelmien yksinkertaistamista. Numerointi ja metrologia, vaikka ne olisivatkin ei koskaan standardoida. Vastauksena, kirjanoppineet ovat kehittyneet viime vuosisatoina III : nnen vuosituhannella eKr. AD: tä käytettiin suorittamaan laskutoimituksia seksagesimaalisessa paikannusnumeerisessa järjestelmässä ja sitten muuntamaan ne eri perustan metrologisiksi järjestelmiksi.
Alussa II th vuosituhannella eKr. JKr . Sumerilaisten katoamiseen liittyy heidän kielellään kirjoitettujen tekstien väheneminen, syrjäyttämällä ne, jotka kirjoitetaan semitistisellä kielellä Mesopotamiassa, akkadissa , hallitsevista väestöryhmistä , joista eteläisimpiä ovat babylonialaiset , nimi valtakunnan, joka hallitsi tämän alueen kohtaloja noin 1750--539 eKr. Babylonialaiset perivät edellinen digitaalisten järjestelmien. Kuten usein muinaisina aikoina, he tietävät alueellisia vaihteluita eivätkä ole koskaan yhtenäisiä koko Mesopotamiassa; Pohjois-Mesopotamian valtakunnat ( Mari , Assyria ) kehittävät erityisesti alkuperäisiä järjestelmiä. Mesopotamian matematiikkaa ja metrologiaa dokumentoivat tekstit ovat enimmäkseen koulun kontekstissa, jota käytetään kirjanoppineiden kouluttamiseen. Niillä on ensisijainen käytännön tarkoitus, ja ne palvelevat talouden toimijoiden (temppelit, palatsit, kauppiaat jne.) Tarpeiden hallintaa heidän erilaisessa toiminnassaan. Erityisesti on aritmeettisina työvälineinä toimivia tabletteja, erityisesti laskentataulukoita tai metrologisia muunnoksia sekä käänteisiä taulukoita. Matemaattisten harjoitusten (erityisesti geometristen) lähtökohtana ovat yleensä näennäisesti käytännölliset ongelmat, jotka liittyvät maataloustyöhön tai rakentamiseen, vaikka heidän lausunnoissaan on usein epärealistisia oletuksia, jotka osoittavat, että ne ovat luonteeltaan melko spekulatiivisia.
Numeroiden kirjoittamiseen tarkoitetut numerojärjestelmät vaihtelevat suuresti ajallisesti. Numeroiden 1 - 59 kirjoittamiseen on yleensä kaksi symbolia (yksi yksikölle ja yksi kymmenelle), joita käytetään additiivisen periaatteen mukaisesti. Joten luku kuten 35 kirjoitetaan kolmella symbolilla, jotka edustavat kymmenen ja viidellä symbolilla, jotka edustavat yhtenäisyyttä. Joskus havaitaan subtraktiivisen järjestelmän olemassaolo sellaisten numeroiden kirjoittamiseksi, joiden yksikkö numero on 7, 8 tai 9. Siten 18 kirjoitetaan 20 LAL 2, mutta tällaista kirjoittamista ei ole standardoitu - Cajori laskee esimerkillä lähes kaksitoista erilaista kirjoitustapaa 19. toisella vuosituhannella tällainen kirjoittaminen on kuitenkin harvinaista, kun taas symbolilla 9 esiintyy kursiivikirjoitusta.
59 jälkeen numerointijärjestelmät muuttuvat monipuolisemmiksi. Metrologiaan liittyvät numeeriset järjestelmät ovat periaatteessa additiivisia ja edellyttävät uusien, järjestelmien mukaan erilaisten symbolien keksimistä tiettyjen pyöreiden numeroiden (60, 100, 120, 600, 1200 jne.) Ilmaisemiseksi. Jotkut näistä symboleista on rakennettu multiplikatiivisen periaatteen mukaan: löydämme esimerkiksi yhdestä vanhimmista matemaattisista teksteistä ( Uruk ennen 3000 eKr.) Symboli 10, joka on liitetty symboliin 60 edustamaan lukua 600. Numerojärjestelmä, joka on varattu sijaintiperiaatteen mukainen laskenta ei vaadi uusien symbolien keksimistä.
Murtolukuihin 1/2, 1/3, 1/6, 2/3, 5/6 on myös erityisiä merkintöjä, kun taas muut käänteiset on kirjoitettu.
Viimeisten vuosisatojen aikana ja Mesopotamian sivilisaation I st vuosituhannella eKr. AD , metrologisten järjestelmien perusyksiköt muuttuivat joskus. Myös kouluharjoitukset kehittyvät, luetteloiden kehittäminen taulukoiden sijasta. Kaikkein laatia matemaattinen sovelluksia viimeisen vuosisatojen I st vuosituhannella eKr. AD esiintyy toimihenkilön miljöössä Babylonia on seleukidien aikana (v. 311-141 BC), erityisesti että tietäjäinne laskelmin tähtitieteellisiä ja astrologinen tarkoituksiin, erityisesti kirjallisesti efemeridi . Tässä yhteydessä kirjoitetaan uusimmat Mesopotamian digitaaliset tabletit.
Uruk-ajan sumerinkielisten tekstien numerointijärjestelmät ja aikakautiset dynastiat ( IV e ja III e vuosituhannet) ovat Mesopotamian takaosan laskureiden esi-isiä. Ensimmäinen jälkiä voidaan löytää savi ” kupla kirjekuoret ” on tarkoitettu kaupankäyntiä varten. Mutta se on varmaa, että digitaaliset järjestelmät ovat paikoillaan savitauluja vuodelta lopulla IV : nnen vuosituhannella eKr. JKr . Ne ovat periaatteessa additiivisia, toisin sanoen on tarpeen lisätä kunkin läsnä olevan symbolin arvot edustavan numeerisen arvon löytämiseksi: siis kahdella symbolilla 600, kolmella symbolilla 60 ja kahdella symbolilla 1 kirjoitettu luku on 600 + 600 + 60 + 60 + 60 + 1 + 1 tai 1382.
Digitaaliset symbolit kirjoitetaan käyttämällä erikokoisten kalameerien pyöristettyä päätä : kohtisuorassa pintaa kohden, tämä piirtää ympyrän ja kulmaan, se piirtää puolikuun tai enemmän tai vähemmän pitkänomaisen kielekkeen. Löydämme siellä erilaisten numerointijärjestelmien olemassaolon riippuen siitä, lasketaanko erilliset esineet (miehet, nautakarja, valmistetut tuotteet, astiat ...), kuolleet eläimet, kulutustuotteet (kala, juusto ...), siemenet, määrät rahaa, kestoja ... Robert Englund laskee siis viisi päänumerointijärjestelmää monin eri tavoin. Samaa symbolia käytetään joskus eri merkityksellä järjestelmästä riippuen.
Cuneiform- kirjoituksen luominen muuttaa symbolien oikeinkirjoitusta, mutta sumerilaiset periaatteet numerointijärjestelmien monipuolistamiseksi sen mukaan, mitkä toimenpiteet säilyvät. Täten löydämme esimerkiksi seksagesimaalijärjestelmän S, lisäainesysteemin, joka käyttää erityisiä symboleita numeroille 1, 10, 60, 600, 3600, 36000, 216000. Sitä käytetään laskentaan ja metrologiaan (erityisesti kapasiteettiin ja painoon). Tämä järjestelmä on kirjoitusasua lukuun ottamatta identtinen vastaavan sumerilaisen numerointijärjestelmän kanssa, joka oli käytössä jo vuonna 3200 eKr. J.-C.
Arvo | 36000 | 3600 | 600 | 60 | 10 | 1 |
---|---|---|---|---|---|---|
Symboli |
Luku on 2 × 3600 + 3 × 600 + 4 × 10 + 1.
Voimme myös herättää Sumerian Gan -järjestelmän analogisen G-järjestelmän, joka on myös lisäaine, mutta jota käytetään pinnoille. On olemassa erityisiä symboleja 1/2, 1, 6, 18, 180, 1080, 10800, 64800 kirjoittamiseen.
Alkaen alusta II nnen vuosituhannella eKr. Mesopotamialaisia laskettiin emäksen 60 käyttäen -numerointi peräisin Sumeri lisäaineen ja sekoitetaan emäksen numero järjestelmä . Tämä järjestelmä liittyy yleensä babylonialaiseen sivilisaatioon , joka miehitti Etelä-Mesopotamian vuoden 1800 jälkeen ja aikakautemme alkuun saakka. Tämä pohja on ylittänyt vuosisatojen: se löytyy nykyään kulmien merkinnöistä asteina (360 ° = 6 x 60 °) tai ajanjaosta (1 tunti = 60 minuuttia = 60² sekuntia).
Seuraavassa kuvattu sukupuolimainen järjestelmän sijainti on todistettu XXI - luvulta eKr. AD käänteisten taulukossa ja se on hyvin yleistä paleo-babylonialaisen ajanjakson aikana (2000 - 1600 eKr. ). Se on tieteellinen merkintätapa, jota käytetään kirjanoppineiden kouluissa ja jonka käyttö näyttää olevan varattu laskentaan, lähinnä kertolaskuihin ja jakoihin. Suuruusluokkaa ei määritetä siellä, eikä mittayksiköitä koskaan seuraa näitä lukuja. Tässä muodossa olevia numeroita kutsutaan siis abstrakteiksi numeroiksi. Löydämme tämän tieteellisen merkinnän Seleucid-ajanjaksosta kaikissa tähtitieteellisissä teksteissä.
Periaate koostuu 59 symbolista tai "numerosta", mikä antaa mahdollisuuden edustaa numeroita 1: stä 59: een, ja käyttää niitä oikealta vasemmalle edustamaan peräkkäin yksikkömäärää, kuusikymmentä, kolmen lukua . tuhat kuusisataa jne.
Nollaa lukuun ottamatta babylonialaiset käyttivät viisikymmentäyhdeksää seksagesimaalijärjestelmän kuusikymmentä " numeroa ". Nämä luvut on merkitty käyttämällä additiivista desimaalijärjestelmää : yksikön naula ja kymmenen chevron . Siten mikä tahansa numero heidän seksuaalimaalisessa järjestelmässään voitaisiin kirjoittaa enintään viidellä chevronilla ja yhdeksällä naulalla.
yksikköä | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
… 0 | … 1 |
… 2 |
… 3 |
… 4 |
… 5 |
… 6 |
… 7 |
… 8 |
… 9 |
|||
kymmeniä | 0… | |||||||||||
1… | ||||||||||||
2 ... | ||||||||||||
3… | ||||||||||||
4 ... | ||||||||||||
5… |
Jos kirjoitat suurempia kuin 59 numeroita, riittää, että useita näitä "numeroita" rinnastetaan vasemmalta oikealle. Numeron 60² + 17 × 60 + 35 kirjoittaminen koostuu siis merkkien 1, 17, 35 kohdistamisesta:
Yllä olevassa taulukossa numerot 1, 60 ja 3600 on esitetty samalla tavalla: vaikka paikkakohtainenkin, Babylonian järjestelmä ei merkitse nollaa eikä pilkua kuten kiinalaisessa palkkiluvussa . Tavallaan babylonialaisen numerointi muistuttaa tieteistoimintotilaan kanssa mantissa ja eksponentti , paitsi että babylonialaiset totesi ainoastaan mantissa ja piti eksponentti henkisesti. Nykykielellä se on liukulaskenta . Tablettien lukijan on tällöin palautettava määrittelemänsä numeroiden eksponentti, mikä joskus vaikeuttaa tulkintaa.
Muita lukemisvaikeuksia ilmenee myös: additiivinen merkintä kouruilla ja kynsillä voi johtaa sekaannukseen, kuten ja . Vain välilyönti erottaa ensimmäisen kirjoituksen, jonka oletetaan edustavan 60 + 1, toisesta, jonka on tarkoitus edustaa 2. Saman tyyppistä sekaannusta voi esiintyä myös kirjoituksen ja , jonka oletetaan edustavan 60 + 1, ja 60 2 + 1: n välillä.
Tämän yhtenäisyyden puutteen havaitsemiseksi, numeron sisäisessä tilassa , tila korvataan erotussymbolilla, "nolla", joka muodostuu tapauksesta riippuen kahdesta päällekkäisestä chevronista tai kahdesta vinosta naulasta, rinnakkain tai päällekkäin. Tätä symbolia käytetään sarakkeiden merkitsemiseen. Tämä nolla näkyy joissakin tekstit lopussa kauden Old babylonialainen (lopussa II th vuosituhannella BC. ), Joka osoittaa tyhjän paikan seksagesimaali järjestelmään, mutta joskus myös osoittavan ei ole kymmenen tai yksikön välissä sarakkeessa. Se on yleisesti käytössä tähtitieteellisissä teksteissä Seleukidien ajalta (300 eKr. ). Se näkyy joskus ensimmäisessä asemassa, usein väliasennossa, mutta hyvin harvoin lopullisessa asennossa.
Assyrialaisten lukujen kirjoittamisessa on sekava järjestelmä koko Paleo-Assyrian ajanjakson ajan (noin 2000-1500 eKr.). Klassinen merkintätapa pidetään naulan (1 yksikkö) ja chevronin (10 yksikköä) arvona, mutta kymmenien kirjoittaminen jatkuu 90: een asti, joka kirjoitetaan käyttäen 9 chevronia. Sadalle ( minä tai minä-at ), tuhannelle ( lim ) on oma nimi. Tässä järjestelmässä numero 162 on kirjoitettu 1 (1 naula) me- 62: een (6 lautta ja 2 naulaa). Mutta joskus löydämme joitain seksagesimaalijärjestelmän elpymisiä, kuten kirjeen 2670 muodossa li-im me-at . Vähitellen sanat me-at (sata) ja li-im lyhennetään seuraavilla kiilamuotoilla: (sata) ja (tuhat).
Tekstin vuodelta n. 1800-1760 on havaittu myös Mari (kaupunki sijaitsee Eufratin rajalla nykypäivän Syyriassa , tekstejä päivätty c. 1800-1760), tekstin vuodelta Paleoekologisten Babylonian ajan ja esittämällä kolme kirjoitusta: seksageimaalinen aseman kirjoitus, sekakirjoitus (sexagesimal) sata sitten additiivinen desimaali sanoilla me (sata), li-mi (tuhat) ja gal (kymmenentuhatta), lopuksi sentesimaalinen sijaintikoodi ( naulat ja kulmat, joiden avulla voidaan "kirjoittaa kaikki" numerot "välillä 1-99). Numero 649539 on siis kirjoitettu kolmessa muodossa:
Benoît Rittaud, “ YBC 7289 -tabletti - tuntemattomalle matemaatikolle! » , Bibnumissa