In algebran , joka on teho numero on tulosta toistuvasti kertomalla että määrä itsensä kanssa. Se huomataan usein sovittamalla luku kokonaisindeksiin , joka on kirjoitettu yläindeksiin , mikä osoittaa, kuinka monta kertaa luku esiintyy tekijänä kyseisessä kertolaskussa.
Se lukee " sen voiman n " tai " erään eksponentin n ". Kokonaislukua n kutsutaan eksponentiksi .
Erityisesti neliö ja kuutio on valtuudet eksponentti 2 ja 3, vastaavasti.
Mikä tahansa luku on yhtä suuri kuin sen oma eksponentin 1 voima, kun taas mikä tahansa eksponentin nollan teho on yhtä suuri kuin 1 sopimuksen mukaan.
Kullekin eksponentille teho siis määrittää operaation , jonka merkinnällä on etusija algebraalisten alkuoperaatioiden muihin symboleihin nähden. Liittyvä binaaritoiminto on eksponentti , joka joskus merkitään käyttämällä symbolia "^", erityisesti laskimissa. Symboli ** löytyy myös joiltakin ohjelmointikieliltä (esimerkiksi Python tai Ada )
Kun luvulla on käänteinen , on mahdollista määritellä sen negatiivisen eksponentin voimat tämän käänteisvoimana. Tietyissä olosuhteissa on jopa mahdollista määritellä rationaalisen eksponentin voimia, kuten 1/2, joka vastaa positiivisten reaalien neliöjuuria . Eksponentiaalinen funktio jälkeen tekee mahdolliseksi laajentaa tätä määritelmää todellinen tai monimutkaisia eksponentit .
Luku- tai usean voiman algebrallisilla operaatioilla on erityisiä ominaisuuksia. Kymmenen voimaa, kuten 10 −5 , käytetään säännöllisesti muissa tieteissä , erityisesti fysiikassa ja kemiassa .
Tarkastellaan mitä tahansa lukua a ja nollasta poikkeavaa luonnollista lukua n . N: s teho , huomattava n ja lukea ” on voima n ” tai ” eksponentti n ” on saatu kertomalla tämä määrä itse n - 1 kertaa:
Numeroa n kutsutaan tehon a n eksponentiksi .
Numero n on luonnollinen kokonaisluku (siis positiivinen) ja n on valtaa positiivinen kokonaisluku eksponentti .
ErikoistapauksetHuomaa, että riippumatta nollasta poikkeavasta luonnollisesta luvusta n , 0 n = 0 ja 1 n = 1 (nämä luvut ovat idempotentteja).
Mitään todellista , asetamme 0 = 1 mukainen tyhjä tuotteiden sopimusta . Tämä määritelmä on yhdenmukainen voimia koskevien algebrallisten operaatioiden kanssa .
Yleissopimusta 0 0 = 1 käytetään suuremmassa abstraktissa kehyksessä, esimerkiksi polynomin X 0 tunnistamiseksi arvon 1 vakiofunktiolla. Samoin joukko-teorian puitteissa merkintä 0 0 voi edustaa elementtien lukumäärää joukko kuvaukset on tyhjä joukko sinänsä ja näin ollen yhtä kuin 1.
Hyvin määritelty sovellus ei kuitenkaan myönnä jatkoa jatkuvuudella kohdassa (0, 0), mikä kieltää hyväksyttävän käytännön valinnan missä tahansa yleisyydessä. Siitä huolimatta sopimukset ovat mahdollisia, rajoitettu hyvin määriteltyihin alueisiin.
Tarkastellaan nyt lukua, joka ei ole nolla, a ja luonnollista lukua n . Numero -n , lukea ” on valta miinus n ” tai ” eksponentin miinus n ”, jonka väärinkäyttö kieltä, on käänteistä n : nnen teho on , toisin sanoen:
Luku –n on voiman a –n eksponentti .
Koska numero -n on negatiivinen, koska n on luonnollinen kokonaisluku, -n on teho kanssa negatiivinen eksponentti . Huomata, erityisesti, että -1 = 1 / (käänteinen numero ).
Voimme soveltaa tätä sääntöä muuntamaan positiivinen voima negatiivisen voiman käänteiseksi:
Ei ole suoraa suhdetta merkin numeron ja merkki tuloksen. Tämä riippuu eksponentin pariteetista.
Parilliseksi tehoksi korotettu luku antaa positiivisen tuloksen: jos n on parillinen, niin (- a ) n = a n .
Parittomaan tehoon nostettu luku antaa saman merkin tuloksen: jos n on pariton, niin (- a ) n = - a n .
EsimerkkejäÄlä sekoita komentosarjoja (- a ) n , jos teho koskee - a ( miinusmerkki sisältyy) ja - a n , jos teho koskee vain a: ta . Todellakin :
Ei ole olemassa yleistä kaavaa lisäämällä tai vähentämällä valtuudet, paitsi tekijöihinjako n - b n ja laajentamiseen ( a + b ) n .
Toisaalta voimien kertomista ja jakamista varten tiedämme, että kaikille luvuille a ja b ja kaikille luonnollisille numeroille m ja n :
Nämä kaavat ovat edelleen voimassa, jos m tai n ovat ehdottomasti negatiivisia kokonaislukuja, edellyttäen, että a ja b eivät ole nollia.
Huomaa, että kaikki nämä kaavat ovat yhdenmukaisia keskenään ja käytännön kanssa " a 0 = 1 mille tahansa reaaliluvulle a ≠ 0 ". Esimerkiksi kaikki luonnolliset luvut n ≠ 0 ja kaikki todelliset numerot ≠ 0 ,
Kymmenen voimaa ovat erityisiä vallan tapauksia. Heidän mielenkiintonsa on siinä, että kirjoituksemme ovat desimaaleja .
Kymmenen negatiivisen tai nollan teho |
Etuliite | Kymmenen positiivisen tai nollan voima |
Etuliite | |
---|---|---|---|---|
10 0 = 1 | - | 10 0 = 1 | - | |
10 −1 = 0,1 | d (päätös-) | 10 1 = 10 | da (deka-) | |
10 –2 = 0,01 | c (sentti) | 10 2 = 100 | h (hekto-) | |
10 -3 = 0,001 | m (milli-) | 10 3 = 1000 | k (kilo-) | |
10 –4 = 0,0001 | 10 4 = 10000 | ma (myria-) | ||
10 -5 = 0,00001 | - | 10 5 = 100000 | - | |
10 –6 = 0,000001 | µ (mikro-) | 10 6 = 1000000 | M (mega) | |
jne. | jne. | jne. | jne. |
Luku 10, joka on nostettu positiiviseksi kokonaislukutehoksi n, on luku 1, jota seuraa n nolla.
Numero 10 nostetaan negatiivinen kokonaisluku teho - n on 1 sijoitettu n- th sijoitukseen desimaaliluku, ts edeltää n nollia, laskemalla yhteen ennen desimaalin tarkkuudella.
Käytämme usein 3: n kerrannaisia, jotka vastaavat kansainvälisen yksikköjärjestelmän etuliitteitä :
Kymmenen negatiivin voima |
SI-etuliite | Kymmenen positiivisen voima |
SI-etuliite | |
---|---|---|---|---|
10 –3 = 0,001 tuhannesosa |
m (milli-) | 10 3 = 1000 tuhatta |
k (kilo-) | |
10 –6 = 0,000001 miljoonasosa |
µ (mikro-) | 10 6 = 1000000 miljoona |
M (mega) | |
10 –9 = 0,000000001 miljardi |
n (nano-) | 10 9 = 1 000 000 000 miljardi |
G (giga-) | |
10 –12 = 0,000000000001 tuhannesosa miljardista |
p (pico-) | 10 12 = 1 000 000 000 000 biljoonaa |
T (tera-) | |
jne. | jne. | jne. | jne. |
Jos pilkku osoittaa yksiköiden sijainnin desimaaliluvun kirjoittamisessa , kertominen 10: llä vastaa yhden desimaalin siirtämistä oikealle ja jakaminen 10: llä vastaa yhden desimaalin siirtämistä vasemmalle. Joten kertomalla 10 n positiivisella kokonaisluvulla n tarkoittaa desimaalipisteen n rivien siirtämistä oikealle; jakamalla 10 n positiivisen kokonaisluvun n kanssa on sama kuin siirtämällä desimaalipistettä n riviä vasemmalle. Niin,
Ominaisuudet totesi toimivaltuuksista pysyvät voimassa voimat 10.
10: n voimien käyttö tapahtuu:
Voimme myös nostaa tiukasti positiivinen numero potenssiin mihinkään todelliseen eksponentti.
Tätä varten voimme määritellä peräkkäin:
Annetulle luvulle a > 0 näin saatua funktiota kutsutaan eksponentiaaliseksi perusfunktioksi a . Se voidaan ilmaista vain luonnollisella logaritmilla ja eksponenttifunktioilla :
Nämä murto- ja todelliset voimat noudattavat samoja sääntöjä kuin kokonaiset voimat. Erityisesti kaikille a > 0 , b ja c mielivaltaisille reaaliluvuille:
Meillä on erityisesti:
Joko löytää aluetta S on kuution ja tilavuuden V . Valitsemalla pituus reunan, meillä on: .