Abelin lause (algebra)

In matematiikan ja tarkemmin sanoen algebran , Abel lause , jota joskus kutsutaan Abel-Ruffini lause tai Ruffini lause , osoittaa, että mikä tahansa kokonaisluku n on suurempi tai yhtä suuri kuin 5, ei ole olemassa yleistä kaavaa ilmentävät "radikaalit” juuret ja minkä tahansa polynomin ja aste n , toisin sanoen, jolla on kaava käyttäen vain kertoimien arvo 1 neljä toiminta ja uuttamista n : nnen juuret . Tämä eroaa asteikoista 2 , 3 ja 4 , joille on olemassa sellaisia yleisiä kaavoja, tunnetuin on asteen 2, joka ilmaisee $akselin 2 + bx + c = 0$ ratkaisut muodossa ( $- b \pm$ $\sqrt b 2 - 4 ac$ ) $/ 2 a .$

Tämän tuloksen ilmaisee ensin Paolo Ruffini , jonka sitten Niels Henrik Abel osoitti tiukasti . Évariste Galois'n myöhempi lause antaa tarvittavan ja riittävän edellytyksen sille, että radikaalit voivat ratkaista polynomin yhtälön. Tämän tarkemman versio mahdollistaa näytteille asteen yhtälöiden 5 , jossa on kokonaisluku kertoimet , joiden monimutkainen juuret - jotka ovat olemassa mukainen d'Alembert-Gauss lause - eivät ilmenny radikaalit.

Kaikkien tässä artikkelissa tarkasteltujen kenttien oletetaan olevan kommutatiivisia ja ominaisuuksiltaan nollia.

Johdanto

Lauseen merkitys

Abelin lause ja d'Alembert-Gaussin lause ovat yhtälöteorian kaksi pääteoraa eli teoriaa , joka käsittelee polynomi- tai vastaavia yhtälöitä . Yhtälön sanotaan olevan polynomi, jos sen muoto on P ( x ) = 0, jossa P tarkoittaa polynomia. D'Alembert-Gaussin lause osoittaa, että monimutkaisilla kertoimilla varustetulla polynomilla on vähintään yksi monimutkainen juuri.

Numeerisia menetelmiä, kuten Newtonin tai Laguerren menetelmä, sovelletaan yhtälön asteesta riippumatta. Jos n , polynomin aste, on pieni, on olemassa myös ns. Algebrallisia menetelmiä yhtälön ratkaisemiseksi. Jos n on yhtä suuri kuin 2 ja jos P kirjoitetaan $aX 2 + bX + c ,$ ratkaisut annetaan klassisella kaavalla ( $- b \pm$ $\sqrt b 2 - 4 ac$ ) $/ 2 a ,$ jossa $b 2 - 4 ac$ on polynomin erottelija ; sanomme, että $\sqrt b 2 - 4 ac$ on radikaali . Samanlaisia (mutta monimutkaisempia) kaavoja on olemassa asteen 3 tai 4 polynomeille, kuten Cardanin ja Ferrarin menetelmät osoittavat .

Mutta asteille, jotka ovat tiukasti yli 4 astetta, ja useiden vuosisatojen ponnisteluista huolimatta mitään yleistä kaavaa, joka olisi samanlainen kuin astetta 2, 3 ja 4, ei ollut löydetty. Abelin lause ilmaisee tosiasian, että sellaista kaavaa ei ole. Yksi menetelmä juurien ilmaisemiseksi on kuitenkin hyödyntää n: nten juurien suurempaa toimintoperhettä , kuten elliptisiä funktioita ; mutta näin saaduilla kaavoilla on vain teoreettinen kiinnostus; käytännössä on paljon mielenkiintoisempaa saada likimääräisiä arvoja esimerkiksi Newtonin menetelmällä .

Lauseen lausekkeet

Abelin käyttämä ilmaisu vuoden 1824 muistelmissaan on seuraava:

Abelin lause - Viidennen asteen yleistä yhtälöä on mahdotonta ratkaista radikaaleilla.

Abel lisää, että "Tästä lauseesta seuraa välittömästi, että radikaaleilla on myös mahdotonta ratkaista viidennen asteen yleisiä yhtälöitä. "

Évariste Galois on kirjoittanut lauseen täydellisemmän muodon. Hänen menetelmäänsä käytetään yleensä lauseen todistamiseen. Tämä muotoilu ottaa Galois- lauseen tai Abel-Galois-lauseen nimen, joskus nimeä ei ilmoiteta. Sen muotoilu on yleisempi, koska se koskee mitä tahansa kenttää K (kommutatiivinen ja nollaominaisuus, kuten johdannossa ilmoitetaan) ja osoittaa, voidaanko radikaalien avulla ratkaista algebrallinen yhtälö vai ei.

Galois-lause - Polynomiyhtälö, jonka kertoimet ovat K: ssa, voidaan ratkaista radikaaleilla vain ja vain, jos sen Galois- ryhmä on ratkaistavissa .

Radikaali

Anna K elin ja L laajentaminen on K .

L: n alkuaineen sanotaan radikaalin K: n yläpuolella, jos jokin sen voimista kuuluu K: lle .
Sanomme, että elementin L : n ilmaisemat radikaalien on K , jos se on viimeinen termi on enemmän valmiin ensimmäinen termi on nolla ja jokainen termi on radikaali, jolla uusitaan K syntyy edellä ehdot.
Sanotaan, että jatke L on K on ratkaistavissa radikaalit , jos jokainen elementti L ilmaistaan radikaalit K . Kun laajennus on äärellinen, tämä määrä on selvää, että L sisältyy laajennus K (α 1 , ..., α k ) siten, että kunkin i välillä 1 ja k , α i n i kuuluu K (α 1 , ..., Α i –1 ) jollekin luonnolliselle luvulle n i .
Sanomme, että polynomi on ratkaistavissa tai ratkaistavissa radikaaleilla, jos kaikki sen juuret ilmaistaan radikaaleilla K: ssä . Toisin sanoen: polynomin juurien tuottama K : n laajennus on ratkaistavissa radikaaleilla.

Galois-teorian formalismi

Edellä mainitussa Galois'n lauseessa käytetään hänen teoriansa käsitteitä . Juurikunta L ja P tarkoitetaan pienintä kenttä sisältää K ja kaikki juuret P . Se on siis rajallinen laajennus ja normaali ja K . Hypoteesi siitä, että K on nollaominaisuus, varmistaa muun muassa sen täydellisyyden , toisin sanoen, että kaikilla redusoitumattomilla polynomeilla, joiden kertoimet ovat K: ssä, on yksinkertaiset juuret . Laajentaminen L on K on siis myös erotettavissa . Yhteenvetona: L on Galois'n laajennus rajallinen K .

Keskeinen rakenne tutkia tällainen pidennys on sen Galois'n ryhmä : ryhmä on rungon automorphisms on L vahvistamisesta kunkin elementin K . Me osoitamme, että järjestys on Galois-ryhmä äärellisen Galois-laajennus on yhtä suuri aste laajennuksen (ei pidä sekoittaa, laajentamiseen L on K , jossa polynomin aste P ).

Lauseen keskeinen käsite on ratkaistavissa oleva ryhmä . Ensimmäiset esimerkit liukoisista ryhmistä ovat abeliryhmät . Seuraavat esimerkit ovat ryhmiä, G , jossa on alaryhmä normaali Abelin G 1 , kun osamäärä ryhmä G / G 1 tai Abelin. Yleisessä tapauksessa:

Ryhmä G on sanottu olevan ratkaistavissa , kun on olemassa äärellistä G 0 , G 1 , ..., G k alaryhmien G siten, että:

I = G_ {0} \ osajoukko G_ {1} \ osajoukko \ ldots \ osajoukko G _ {{k-1}} \ osajoukko G_ {k} = G

jossa G i , kaikilla i välillä 0 ja k - 1, on normaali alaryhmä G i + 1 siten, että osamäärä ryhmä G i + 1 / G i on Abelin. Ryhmä $I$ tarkoittaa tässä triviaaliryhmää .

Historia

Katsaus yhtälöteoriaan, erityisesti Abelin lauseeseen, on artikkelissa " Yhtälöiden teoria (tieteen historia) ".

Genesis

Jos ensimmäinen systemaattinen tutkimus algebrallisia yhtälöitä juontaa juurensa VIII : nnen vuosisadan , että suppea Kirja laskeminen loppuun ja tasapainottaminen Iranin matemaatikko arabiaksi al-Khwarizmi , keksi yhdistää ryhmittymää yhtälön näkyy vain XVIII th luvulla . Joseph-Louis Lagrange tuo esiin juuren permutaatioryhmän ominaisuuksien välisen suhteen ja mahdollisuuden ratkaista kuutio- tai kvartsiyhtälö . Jos näissä teoksissa on mahdollista nähdä permutaatioiden käytön alkuperä tällä kentällä, toisaalta koostumuslakia tai permutaatioiden joukkoa ei käytetä oikeana rakenteena. Sen lähestymistapa on kuitenkin riittävä asettamaan vakavan epäilyn kaavan olemassaolosta, joka ilmaisee minkä tahansa n- asteen polynomin juuret , jos n on ehdottomasti suurempi kuin 4.

Paolo ruffini

Paolo Ruffini vahvistaa ensimmäisenä, että yleinen yhtälö ja etenkään kvintinen yhtälö eivät salli ratkaisua. Se vie jälleen Lagrangen lähestymistavan, joka osoittaa, että kaikki tähän mennessä käytetyt menetelmät palaavat erityistapauksiin yleisemmästä lähestymistavasta. Ruffini osoittaa, että Lagrangen menetelmä ei voi tarjota asteen 5 yhtälölle kaavaa, joka vastaa Cardanin astetta 3. Hän julkaisi kirjan tästä kysymyksestä vuonna 1799.

Tuolloin tiedeyhteisö ei tunnustanut hänen työtä. Hän lähetti kirjan Lagrangelle vuonna 1801, mutta ei saanut vastausta. Virallinen esitys Tiedeakatemialle ei onnistu. Matemaatikot Lagrange , Legendre ja Lacroix ovat vastuussa hänen todisteidensa pätevyyden arvioinnista. Raportissa hänen työnsä kuvataan merkityksettömäksi, hänen mielenosoituksessaan on aukkoja, mikään ei osoita, että muita menetelmiä, erilaisia kuin Lagrangen menetelmät ja siten kaikki tähän mennessä löydetyt, ei olisi olemassa ja jotka mahdollistaisivat radikaalin ratkaisun. Uusi yritys Englannin kuninkaallisessa seurassa saa sympaattisemman vastauksen: jos tällainen työ ei kuulu sen toimivaltaan, tulokset eivät kuitenkaan näytä sisältävän virheitä. Kaksi muuta julkaisua vuosina 1803 ja 1808 olivat tuskin menestyneempiä. Tuolloin matemaatikoille tulos on joko väärä tai anekdotinen. Vain Augustin Louis Cauchy ymmärtää työnsä syvyyden. Hän lähetti hänelle vuonna 1821 kirjeen, jossa hän ilmoitti käsitellyn kysymyksen pätevyyden ja tärkeyden. Cauchy yleistää tuloksen Ruffinin työn pohjassa olevilla permutaatioilla.

Niels Henrik Abel

Vuonna 1821 epäonnistuneen yrityksen jälkeen norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel julkaisi omalla kustannuksellaan lyhyen kuuden sivun tekstin. Toisin kuin Ruffinin työ, tämä asiakirja on täydellinen todiste lauseesta. Hän saa kuitenkin väärinkäsityksen, joka on samanlainen kuin edelliset tekstit. Jopa Carl Friedrich Gauss pitää aihetta merkityksettömänä. Abelin kirje löytyy avaamattomana Gaussin kuoleman jälkeen. Vuonna 1801 tämä matemaatikko oli ilmaissut väitöskirjassaan, että radikaalien etsiminen ratkaisuun ei kiinnosta, riitti antaa juurelle nimi. On totta, että numeerisen tekniikan kannalta on paljon yksinkertaisempaa käyttää Newtonin kaltaista menetelmää juuren likimääräisen arvon saamiseksi; päätöslauselman radikaali ei ole enää XIX : nnen vuosisadan samaa etua hänellä oli aiempina vuosisatoina numeeristen laskenta. Ja jos ei saada numeerista likiarvoa, voit yhtä hyvin käyttää kirjainta kuvaamaan juurta. Jopa Cauchy, joka sai Abelin vuonna 1826 , tuskin arvostaa katsomaan hänen töitään.

Muita artikkeleita kirjoitettiin vuosina 1826-1828, jotka sisälsivät todisteita ratkaisutoiminnan mahdottomuudesta yleisessä tapauksessa. Abelin työ vakuutti lopulta tiedeyhteisön. Vuonna 1830 Cauchy löysi käsikirjoituksensa, ja Abel päätyi saamaan matematiikan pääpalkinnon tiedeakatemiasta samana vuonna postuumisti.

Évariste Galois

Abelin työn jälkeen lauseen lopulliseen ilmaisuun puuttuu vain kolme elementtiä: tehokas lähestymistapa, yhtälön ratkaisukyvyn välttämätön ja riittävä edellytys sekä syvällinen ymmärrys mekanismeista, jotka mahdollistavat ratkaisukyvyn. On évariste galois joka saavuttaa nämä kolme edistysaskeleet.

Hänen lähestymistapansa kärsii samasta väärinkäsityksestä kuin edeltäjänsä. Hänen ensimmäiset kirjoituksensa, jotka esitettiin tiedeakatemialle vuonna 1829, menetetään lopullisesti. Galois'n vuonna 1831 kirjoittaman muistelman löysi uudelleen ja julkaisi Joseph Liouville , joka esitti sen tiedeyhteisölle vuonna 1843 seuraavasti: "[…] Toivon kiinnostavani Akatemiaa ilmoittamalla, että olen löytänyt Évariste Galois'n lehdistä. niin tarkka ratkaisu kuin se on syvällinen tähän kauniiseen ongelmaan: Kun otetaan huomioon pelkistämätön ensimmäisen asteen yhtälö, päättää, onko se ratkaistavissa radikaaleilla. Galois'n panos on merkittävä; G. Verriest kuvailee sitä seuraavilla termeillä: "Galoisin nero-iskun tarkoituksena on huomata, että ongelman ydin ei ole lisättävien määrien suorassa etsinnässä, vaan tutkimusryhmän luonteen tutkimuksessa. yhtälö. Tämä ryhmä […] ilmaisee erottamattomien juurien astetta […]. Sen vuoksi sen ratkaisemisen vaikeutta ei enää mitata yhtälön aste, vaan se on ryhmän luonne. "

Esimerkkejä

Syklotomiset yhtälöt

Jos P on syklotominen polynomi , toisin sanoen pelkistämätön jakaja muodossa X [ X ], polynomin, jonka muoto on X n - 1, yhtälö P ( x ) = 0 on triviaalisesti ratkaistava radikaaleilla. Abelin lause on vahvistettu tässä erityistapauksessa, koska vastaavan syklotomisen jatkeen Galois-ryhmä on abelilainen (siis ratkaistavissa). Tarkemmin sanottuna, Galois ryhmä cyclotomic polynomin Φ n on isomorfinen , että yksikköjen ryhmän renkaan ℤ / n ℤ .

Huomatkaamme ohimennen, että perusteellisempi tutkimus (vrt. " Gauss-Wantzelin lause ") määrittää, missä olosuhteissa yhtälö $Φ n ( x ) = 0$ voidaan ratkaista paitsi radikaaleilla (missä tahansa järjestyksessä) myös neliöjuurilla . , ehto, joka vastaa konstruoituvuutta hallitsijalle ja säännöllisen monikulmion kompassille , jossa on n kärkeä.

Toisen asteen tapaus

Tarkastellaan tapausta, jossa polynomi P on astetta 2 rationaalisilla kertoimilla, joilla ei ole rationaalista juurta. Vaikka se tarkoittaa P : n jakamista hallitsevalla kertoimella, sen voidaan olettaa olevan yhtenäinen :

P (X) = X ^ {2} -pX + q.

Merkitään $x 1: llä$ ja $x 2:$ lla yhtälön kahta juurta. Voimme päätellä:

(X-x_ {1}) (X-x_ {2}) = P (X) = X ^ {2} -pX + q \ quad {\ text {siis}} \ quad x_ {1} + x_ {2 } = p \ quad {\ text {ja}} \ quad x_ {1} x_ {2} = q.

Laajentamiseksi on Galois ja asteen 2 , Galois ryhmä on luokkaa 2: sen kaksi elementtiä ovat identiteetti on L ja symmetria , joka kiinnittää rationals ja vaihtoa $x 1$ ja $x 2$ . Joten on olemassa a- vektoritilan L perusta $(1, r )$ ja rationaalinen $a$ sellainen, että $x$ $1$ $=$ $a$ $+$ $r$ ja $x$ $2$ $=$ $a$ $-$ $r$ .

Voimme päätellä:

a = {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} 2} = {\ frac p2} \ quad {\ text {et}} \ quad r ^ {2} = a ^ {2} -x_ {1 } x_ {2} = {\ frac {p ^ {2}} 4} -q.

Galois-ryhmä sallii siis neliöllisen yhtälön tehokkaan ratkaisun.

Kolmannen asteen tapaus

Menetelmä Cardan avulla poimia tai juuret polynomin aste 3 yleisessä tapauksessa.

Kenraali

Tarkastellaan tapausta, jossa polynomi P on astetta 3 järkevillä kertoimilla ja pelkistämätöntä . Vaikka se tarkoittaa P : n jakamista hallitsevalla kertoimella ja muuttujan kääntämistä, voidaan olettaa, että P on muodoltaan:

P (X) = X ^ {3} + pX + q.

Merkitään $x 1$ , $x 2$ ja $x 3$ kolme ( eri ) juuret yhtälö. Of

(X-x_ {1}) (X-x_ {2}) (X-x_ {3}) = P (X) = X ^ {3} + pX + q

päätämme:

x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} = 0, \ quad x_ {1} x_ {2} + x_ {2} x_ {3} + x_ {3} x_ {1} = p \ quad { \ text {ja}} \ quad x_ {1} x_ {2} x_ {3} = - q.

Galois-ryhmä G ja P on alaryhmä symmetrinen ryhmä S 3 . Tämän alaryhmän järjestys on yhtä suuri kuin hajotuskappaleen L ulottuvuus . Sen vuoksi on 3: n kerrannainen, koska L sisältää juuri joiden minimaalinen polynomi on asteen 3 G on siis isomorfinen joko S- 3 (järjestyksessä 6), tai sen ainutlaatuisen alaryhmään järjestys 3 vuorotteleva ryhmä 3 . $x_ {1}$

Molemmissa tapauksissa, G on ratkaistavissa (koska 3 on normaali in S 3 , ja 3 ja S 3 / 3 ovat Abelin, ja jopa syklinen ) niin Abel lause takaa, että polynomi on liian.

Galois-ryhmän määrittäminen

Tarkastellaan L : n nollasta poikkeavaa elementtiä : $δ = ( x 1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x 3 - x 1 )$ . Tahansa elementti $g$ ja G , $g ( δ ) = ε ( g ) δ$ , jossa $ε ( g )$ tarkoittaa allekirjoitus on permutaatio suoritetaan g kolmesta juuret. G on siis alennetaan 3 , jos ja vain jos $δ$ on muuttumaton, jonka kaikki elementit G , toisin sanoen (ks ominaisuus 3 kohta on olennainen lause Galois teoria ), jos ja vain jos $δ$ on järkevä. Todistamme myös (katso artikkeli ” Erotteleva ”), että $δ$ $2$ $= -4$ $p$ $3$ $- 27$ $q$ $2$ . Voimme päätellä:

Galois-ryhmä P on isomorfinen 3 , jos $-4$ $p$ $3$ $-27$ $q$ $2$ on neliön järkevä, ja S- 3 muuten.

Juuren laskenta

Yksi tapa löytää Cardanin kaavat on kysyä:

{\ displaystyle u = {\ frac {x_ {1} + \ mathrm {j} ^ {2} x_ {2} + \ mathrm {j} x_ {3}} {3}} \ quad {\ text {ja} } \ quad v = {\ frac {x_ {1} + \ mathrm {j} x_ {2} + \ mathrm {j} ^ {2} x_ {3}} {3}}}

missä $j$ ja $j 2$ tarkoittavat ykseyden kahta primitiivistä kuutiojuuria .

Todellakin saamme näin:

{\ displaystyle x_ {1} = u + v, \ quad x_ {2} = \ mathrm {j} u + \ mathrm {j} ^ {2} v \ quad {\ text {ja}} \ quad x_ {3 } = \ mathrm {j} ^ {2} u + \ mathrm {j} v}

ja sitten jäljellä on vain laskea $u$ ja $v$ polynomin kertoimien funktiona:

{\ displaystyle -q = x_ {1} x_ {2} x_ {3} = (u + v) (\ mathrm {j} u + \ mathrm {j} ^ {2} v) (\ mathrm {j} ^ {2} u + \ mathrm {j} v) = u ^ {3} + v ^ {3}}

{\ displaystyle p = x_ {1} x_ {2} + x_ {2} x_ {3} + x_ {3} x_ {1} = (u + v) (\ mathrm {j} u + \ mathrm {j} ^ {2} v) + (\ mathrm {j} u + \ mathrm {j} ^ {2} v) (\ mathrm {j} ^ {2} u + \ mathrm {j} v) + (\ mathrm { j} ^ {2} u + \ mathrm {j} v) (u + v) = - 3uv}

Seuraava yhtälöjärjestelmä mahdollistaa sitten päätelmän:

{\ begin {cases} u ^ {3} + v ^ {3} & = - q \\ 27u ^ {3} v ^ {3} & = - p ^ {3}. \ end {cases}}

Radikaalit voivat näin ollen ratkaista yhtälön hyvin, kuten Abelin lause ja Galois-ryhmän laskenta tarkoittavat. Tarkemmin sanottuna: neliöjuurilla ( $j: n$ ja $j 2$ : n ilmaisemiseksi ja $u 3: n$ ja $v 3:$ n laskemiseksi ) ja kuutiona ( $u: n$ ja $v: n erottamiseksi$ ).

Näillä elementeillä $u$ ja $v$ on seuraava tulkinta Galois-teoriassa. Olemme nähneet, että G sisältää ainakin vaihtovirtamoottorin ryhmä 3 , toisin sanoen, että on olemassa automorphism $m$ on L (järjestyksessä 3) vahvistamisesta rationals ja tarkastaa:

m (x_ {1}) = x_ {2}, \ quad m (x_ {2}) = x_ {3} \ quad {\ text {ja}} \ quad m (x_ {3}) = x_ {1} .

Oletetaan ensin, että L sisältää $j$ ja $j 2$ . Mikä tahansa alikentän ℚ [ $j$ ] alkio on asteen 1 tai 2 astetta ℚ, minkä vuoksi se on kiinnitetty $m: llä$ . Siksi voimme pitää $m: ää$ ℚ [ $j$ ] -vektoritilan L ja vektorien endomorfismina ja näyttää sitten $m: lle$ sopivana , koska rakenteeltaan $u$ $v$

{\ displaystyle m (u) = \ mathrm {j} u \ quad {\ text {ja}} \ quad m (v) = \ mathrm {j} ^ {2} v.}

Kun L ei sisällä $j: tä$ ja $j 2: ta$ , tarkistamme, että se ei sisällä muita ℚ [ $j$ ] -elementtejä kuin rationaaliluvut, mikä sallii luonnollisesti ulottua $m$ L [ $j$ ]: n ℚ [ $j$ ] -automorfismiksi, jolle samoin $u$ ja $v$ ovat oikeita.

Neljännen asteen tapaus

Ferrari menetelmä tekee mahdolliseksi purkaa juuri (t) polynomin aste 4 yleisessä tapauksessa.

Viiden asteen vastaesimerkki

Yksityiskohtainen artikkeli osoittaa, että Galois-ryhmän ℚ polynomin $P ( X ) = X 5 - 3 X - 1$ on symmetrinen ryhmä S 5 , joka ei ole ratkaistavissa. Yhtälöä $P ( z ) = 0$ ei siis voida ratkaista radikaaleilla, ts. Ei ole mahdollista ilmaista tämän polynomin juuria kokonaislukuista käyttämällä neljää tavanomaista operaatiota ja radikaaleja, mikä osoittaa, että lauseketta ei ole mahdollista löytää juurille yleisen viidennen asteen yhtälön tapauksessa, kuten voidaan tehdä asteen 1, 2, 3 tai 4 yhtälöille.

Merkintä. On väärin sanoa, että yhtälö $P ( z ) = 0$ ei ole ratkaistavissa. Tällä yhtälöllä on 5 juurta, jotka ovat likimääräisiä niin tarkasti kuin halutaan ja jotka ilmaistaan tarkalleen elliptisten integraalien avulla .

Vastaesimerkkejä missä tahansa asteessa, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 5

Ja mikä tahansa kokonaisluku n ≥ 2, on olemassa ääretön polynomien (redusoitumattoman ja aste n ) kanssa kokonaisluku kertoimet, joiden Galois ryhmän ℚ on symmetrinen ryhmä S n tai varten n ≥ 5, tämä ryhmä ei ole ratkaistavissa .

Esittely

Tämä rakenne käyttää lause, Richard Dedekind on modulo p vähentäminen Galois ryhmiä , liitetty kaksi seuraavat seikat:

mikä tahansa transitiivinen alaryhmä on S n , joka sisältää osaksi ja ( n - 1) Ensimmäinen solunsalpaajahoitojakso on yhtä suuri kuin S n koko;
minkä tahansa äärellisen kentän - erityisesti tahansa prime äärellisen kentän F s - on olemassa redusoitumatonta polynomit mielivaltainen aste.

Valitaan kolme erotettavissa olevaa yhtenäistä polynomia, joiden aste on n :

P 2 yli F 2 , redusoitumaton,
P 3 yli F 3: n , asteen 2 lukemattoman ja parittoman asteen (ei yhtään, jos n = 2 ja esimerkiksi vain yksi, asteen n - 2, jos n on pariton, ja kahden, asteen n - 3 ja 1, jos n on tasainen ja ≥ 4),
P 5 yli F 5: n , kahden uudelleen pelkistämättömän tulo, astetta n - 1 ja 1,

sitten yhtenäinen polynomin P aste n kanssa kokonaisluku kertoimet, joiden modulo 2, 3 ja 5 vähennykset ovat yhtä suuria kuin P 2 , P 3 ja P 5 : P on jaoton, koska P 2 on näin ollen sen Galois'n ryhmä toimii transitiivisesti sen n juuret, ja se sisältää osaksi (valinnalla P 3 ) ja ( n - 1) Ensimmäinen solunsalpaajahoitojakso (valinnalla P 5 ). Tämä alaryhmä on siis kokonaan S n .

Todiste Galois'n lauseesta

Jos ryhmä on ratkaistavissa, niin polynomi on.

Anna n asteen äärellisen galois'n laajennus L ja K . Sen Galois-ryhmä G on siis luokkaa n .

Käsittelemme ensin tapausta, jossa G on abelilainen, olettaen ensin, kuten Cardanin menetelmässä (jolloin tapaus n = 3 vastaa tapausta, jossa G on abelin), että K sisältää yksikön n juuret n - th . Sitten pääsemme eroon tästä hypoteesista.

Jos G on Abelin ja jos K on juuret n : nnen yksikön, niin on olemassa pohjan K -vektorisysteemi tila L koostuu elementeistä radikaalien K .
Mukaan Lagrange-lause , kukin elementti G on peruutettu polynomilla X n - 1, joka on jaettu yli K ja on yksinkertainen juuret. G: n elementit , joita pidetään K- vektoritilan L automorfismeina , ovat siten diagonalisoitavissa , ja niiden ominaisarvot ovat yhtenäisyyden n- toista juurta . Kun he vaihtavat keskenään, ne ovat jopa samanaikaisesti diagonalisoitavissa . Olkoon ( r 1 , ..., r n ) olla yhteinen asianmukainen perusta . Osoittaa, että kukin r i n kuuluu K (joka päättää) yksinkertaisesti, koska L on Galois'n laajennus K , tarkista, että r i n on kiinnitetty minkä tahansa osan m ja G . Jos $λ$ on m: ään ja ominaisvektoriin r i liittyvä ominaisarvo , meillä on: $m (r_ {i} ^ {n}) = {\ iso (} m (r_ {i}) {\ iso)} ^ {n} = (\ lambda r_ {i}) ^ {n} = \ lambda ^ {n} r_ {i} ^ {n} = r_ {i} ^ {n}.$
Jos G on ratkaistavissa ja jos K sisältää yksikön n: nten juuret , radikaalit pystyvät ratkaisemaan laajennuksen.
Todistamme väitteen indusoimalla seuraavien alaryhmien G 0 , G 1 , ..., G k pituuden k , jotka ovat osallisina G: n liukoisuuden määrittelyssä . Jos k = 0, niin G on triviaali ja L = K . Oletetaan, että ominaisuus on totta jopa luokkaa k - 1 ja pitävät alikentän L ' on L , joka muodostuu elementtien vahvistettu G k - 1 . Sitten Galois-teorian peruslause vakuuttaa, että laajennukset L / L ' ja L' / K ovat Galois, vastaavien ryhmien ratkaistavissa oleva ryhmä G k –1 ja abelin ryhmä G / G k –1 . Induktio hypoteesi, L on siis ratkaistavissa radikaalien L ' , itse ratkaistavissa radikaaleja K mukaan edellisessä kohdassa, mikä tekee mahdolliseksi tehdä.
Jos G on ratkaistavissa, radikaalit pystyvät ratkaisemaan laajennuksen.
Olkoon F = K [ζ] K : n Galois-laajennus yhdeksännen primitiivisen juuren avulla. Compositum LF = L [ζ] on sitten Galois laajentamista F , ryhmän isomorfinen alaryhmä G , siis ratkaistavissa. Mukaan edellisessä kohdassa, L [ζ] on ratkaistavissa radikaalit yli K [ζ] itse triviaalisti ratkaistavissa radikaalit yli K . Siksi L [ζ] on radikaalilla erotettavissa K: n päällä , joten L on myös.

Jos polynomi on ratkaistavissa, niin sen Galois-ryhmä on.

Oletuksen, hajoaminen kehon L on P sisältyy laajennus K (α 1 , ..., α k ) siten, että kunkin i välillä 1 ja k , α i n i kuuluu K (α 1 , ..., α i - 1 ) jollekin luonnolliselle luvulle n i . Voidaan tietenkin edelleen olettaa (käyttäen, että α uv = (α u ) v ja lisäämällä väli- radikaaleja), jotka kukin n i ja i > 1 on alkuluku , ja että sekvenssi laajennukset alkaa lisäämällä alkujuuri n 1 -yksikkö α 1 , kun n 1 on näiden alkulukujen tulo. Me osoitamme alla, induktiolla i , että jokainen jatke K (α 1 , ..., α i ) ja K on silloin Galois ja ratkaistavissa ryhmä. Mukaan perustavanlaatuinen lause Galois teoria , Galois'n ryhmä subextension L on sitten myös ratkaistavissa, kun osamäärä että K (α 1 , ..., α k ).

Jos K sisältää p : nteen juuret yhtenäisyyden, jossa p on alkuluku, niin kunnollisen laajentamista K jota radikaali järjestyksen p on Galois ja Abelin .
Olkoon K (a) tällainen jatko. Se on Galois polynomin X p - α p hajoamiskenttänä , jonka juuret ovat α: n tuotteita ykseyden p- toisten juurien kautta. Sen Galois-ryhmä on p- luokkaa (jokainen automorfismi lähettää α: n polynomin yhdelle p- juuresta), joten syklinen, siis abelilainen.
Kaikkien i 1 k , laajennus K (α 1 , ..., α i ) ja K on Galois ja ratkaistavissa ryhmä.
Merkitään F i laajennus K (α 1 , ..., α i ) ja K ja G- i sen Galois ryhmä.
Laajentaminen F 1 ja K on cyclotomic , siis Galois ja Abelin.
Olkoon i > 1. Oletetaan, että laajennus F i -1 ja K on Galois ja että G i -1 on ratkaistavissa. Mukaan edellisessä kohdassa laajentaminen F i on F i -1 on Galois ja ryhmän H Abelin. Näin ollen, laajentaminen F i on K on Galois-ja G- i on ratkaistavissa, koska laajennus G i -1 mukaan H .

Huomautuksia ja viitteitä

Tiukasti positiivisen ominaisuuden tapauksessa on analogia, jos ratkaisevan yhtälön määritelmää muutetaan ja että käytetään Artin-Schreier-teoriaa . Katso esimerkiksi Serge Lang , Algèbre [ yksityiskohdat painoksista ].
N.H.Abel, Muistio algebrallisista yhtälöistä, jossa osoitetaan mahdottomuus ratkaista viidennen asteen 1824 yleinen yhtälö .
Yves Laszlo , Theory of Galois , École Polytechnique, s. 66 .
Cédric AStier-David, [1] , Joseph Fourierin yliopisto , s. 32 .
Régine ja Adrien Douady , Algebra ja Galois teorioita [ yksityiskohta julkaisut ], s. 320 .
A. Dahan-Dalmedico ja J. Peiffer , Matematiikan historia: tiet ja sokkelot ,1986[ yksityiskohdat painoksista ].
Joseph-Louis Lagrange, "Reflections on the algebraic equations resolution", New Memoirs of the Royal Academy of Sciences and Belles Letters of Berlin , 1771 Lue Gallicasta .
(It) Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni in cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al quarto , 1799.
AL Cauchy, "Niiden arvojen lukumäärästä, jotka funktio voi saada, kun se läpäisee kaikin mahdollisin tavoin sen sisältämät määrät", julkaisussa Journal de l'École Polytechnique , 1815.
Suurin osa tiedoista tässä kohdassa on peräisin (in) John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson , "Ruffini" in MacTutor Matematiikan historia arkisto , University of St Andrews ( lukea verkossa )..
NH Abel, " Neljännen asteen läpäisevien yleisten yhtälöiden algebrallisen resoluution mahdottomuuden osoittaminen " [PDF] , Journal de Crelle , 1826.
Rivi tiedot tuotetaan (in) John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson , "Niels Henrik Abel" in MacTutor Matematiikan historia arkisto , University of St Andrews ( lukea verkossa )..
E. Galois, "Radikaaliyhtälöiden liukoisuusolosuhteista", s. 417-433 in ”Matemaattinen teoksia évariste galois” (s. 381-444), Journal of puhtaan ja sovelletun matematiikan , 1846, verkossa ja analysoitiin päälle bibnum .
Viikkoraportit tiedeakatemian istunnoista , voi. 17, istunto maanantai 04 syyskuu 1843, pää ”Vastaus M. Liouvillen” (s. 445-449), että ”Vastaus isännältä M. Libri muistioon lisättynä M. Liouville ...” (s. 431 -445).
G. Verriest, matemaattinen Works évariste galois , Paris, Gauthier-Villars, 1951.
(in) David S. Dummit ja Richard M. Foote, abstraktin algebran , 3 e painos, kappale. 14, 8 §, ehdotus 42, s. 641-642 .

Bibliografia

(en) Nathan Jacobson , Basic Algebra , voi. 1, Dover ,2009, 2 nd ed. ( lue verkossa ) , luku . 4 ("Galois-yhtälöiden teoria")
(en) Peter Pesic, Abelin todistus: Essee matemaattisen ratkaisemattomuuden lähteistä ja merkityksestä , MIT Press ,2004( lue verkossa )
Pierre Samuel , algebrallinen lukuteoria [ yksityiskohdat painoksesta ]
Pierre-Laurent Wantzel , " Kaikkien algebrallisten yhtälöiden ratkaisemisen mahdottomuus radikaaleilla ", J. Math. Pure Appl. , 1 st sarja, voi. 4,1845, s. 57-65 ( lue verkossa )