Poissonin yhtälö

On vektori analyysi , Poisson yhtälö (niin saanut nimensä Ranskan luonnontieteilijä Siméon Denis Poisson ) on seuraava toisen asteen elliptinen osittaisdifferentiaaliyhtälö :

Δϕ=f{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta \ phi = f}

missä on Laplacian operaattori ja joka on yleensä annettu jakauma. Δ{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta}f{\ displaystyle \ displaystyle f}

Toimialueen jota rajoittavat ja tavallisella rajalla, ongelma löytää mistä ja jotka täyttävät tietyt asianmukaiset raja olosuhteissa on hyvin asetettu ongelma  : ratkaisu on olemassa ja on ainutlaatuinen. REI{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle \ displaystyle f}

Tämä ongelma on tärkeä käytännössä:

• On staattiselta sähköltä , klassisen formulaatio (katso Poisson-Boltzmannin yhtälö ) ilmaisee sähköinen potentiaali liittyy tunnettu jakauma on maksujen jonka suhteenV{\ displaystyle \ displaystyle V} ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}

ΔV=-ρe0.{\ displaystyle \ Delta V = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}.}

• Vuonna yleinen gravitaatio The painovoiman potentiaali liittyy tiheys suhteellaΦ{\ displaystyle \ displaystyle \ Phi} ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}

ΔΦ=4πGρ{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta \ Phi = 4 \ pi \, G \, \ rho}

• In virtausmekaniikka , ja kokoonpuristumaton virtaa, paine liittyy nopeuskenttä Poisson yhtälö. Esimerkiksi 2D: ssä merkitsemällä nopeuskentän komponentit suhde kirjoitetaan:s{\ displaystyle p}u{\ displaystyle {\ lihavoitu symboli {u}}}u=(ux,uy){\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} = (u_ {x}, u_ {y})}

Δs=-1ρ((∂ux∂x)2+2∂ux∂y∂uy∂x+(∂uy∂y)2),{\ displaystyle \ Delta p = - {1 \ yli \ rho} \ vasen (\ vasen ({\ frac {\ partituali u_ {x}} {\ osittain x}} \ oikea) ^ {2} +2 {\ frac {\ partituali u_ {x}} {\ osittainen y}} {\ frac {\ osallinen u_ {y}} {\ osallinen x}} + \ vasen ({\ frac {\ osallinen u_ {y}} {\ osallinen y }} \ oikea) ^ {2} \ oikea),}

missä on nesteen tiheys. ρ{\ displaystyle \ rho}

Edellytykset rajoille

Poissonin yhtälö on epäherkkä Lisäksi on funktio tyydyttää Laplacen yhtälön (tai yksinkertainen lineaarinen funktio esimerkiksi), joka on reunaehto on tarpeen toivoa ainutlaatuisuutta ratkaisu: esimerkiksi Dirichlet'n olosuhteissa , kuin Neumann , tai vaihtelevissa olosuhteissa rajaosuuksilla . ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}

Kaksiulotteinen Poissonin yhtälö

Harkitse suorakulmaisissa koordinaateissa avointa , jatkuvaa toimintoa ja jatkuvaa funktiota rajalla . Ongelmana on löytää määritelty kahden todellisen muuttujan funktio, joka tyydyttää molemmat suhteet: R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}f{\ displaystyle \ displaystyle f}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}g{\ displaystyle \ displaystyle g}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}φ(x,y){\ displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

∂2∂x2φ(x,y)+∂2∂y2φ(x,y)=f(x,y){\ displaystyle {\ osallinen ^ {2} \ yli \ ositettu x ^ {2}} \ varphi (x, y) + {\ osallinen ^ {2} \ yli \ osittainen y ^ {2}} \ varphi (x, y) = f (x, y)}päälle ja päälleΩ{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}φ=g{\ displaystyle \ varphi = g}∂Ω.{\ displaystyle \ osittainen \ Omega.}

Tämä formulaatio on matemaattinen malli on staattinen ongelma on venytetty ja ladattu elastisen kalvon (a rumpu iho ):

• f{\ displaystyle \ displaystyle f}on varaustiheys (ilmaistuna esimerkiksi Pa: na , tämä on membraanin elastisia ominaisuuksia kuvaava monikerta);
• g{\ displaystyle \ displaystyle g} on ulottuvuus (pystysuora nousu) kalvon sitoutumisrajaa pitkin;
• ratkaisu osoittaa kalvon luokituksen .φ(x,y){\ displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

Perustelut

Yksiulotteinen, se on kuormitettu joustava johto, joka on kiinnitetty molempiin päihin.

Harkitse pienen elementin staattinen tasapaino kahden vetovoiman ja köyden välillä (vastaavasti vasemmalla ja oikealla), sitten havaitaan lineaarisen kuormitustiheyden aiheuttama kuorman voima  : [x-5x,x+5x]{\ displaystyle \ displaystyle [x- \ delta x, x + \ delta x]}F→1{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}F→2{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}F→G{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {G}}ρ(x){\ displaystyle \ displaystyle \ rho (x)}

• F→1=-(F1/5x)(5xφ(x)-φ(x-5x)),{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = - (F_ {1} / \ delta x) {\ begin {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x) - \ varphi (x- \ delta x) \ end {pmatrix}},}
• F→2=(F2/5x)(5xφ(x+5x)-φ(x)),{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = (F_ {2} / \ delta x) {\ begin {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x + \ delta x) - \ varphi (x ) \ end {pmatrix}},}
• F→G=(0-2ρ(x)5x).{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {G} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ - 2 \ rho (x) \ delta x \ end {pmatrix}}.}

Tekijät ja ne on jaettu rajoittamatta yleisyyttä, jotta ne pysyisivät eroavaisuussuhteina. F1{\ displaystyle \ displaystyle F_ {1}}F2{\ displaystyle \ displaystyle F_ {2}}5x{\ displaystyle \ displaystyle \ delta x}

Näiden voimien vektorisumma johtaa yhtälöihin:

• F1=F2{\ displaystyle \ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}jota voidaan kutsua , kerroin, joka on riippumaton siitä, että kaikki vaakasuorat komponentit kompensoidaan, että heijastuvat vain kiinnityskohdissa,2k{\ displaystyle 2 \ displaystyle k}x{\ displaystyle \ displaystyle x}
• 2k5x[φ(x+5x)-2φ(x)+φ(x-5x)]=2ρ(x)5x{\ displaystyle {2k \ over \ delta x} [\ varphi (x + \ delta x) -2 \ varphi (x) + \ varphi (x- \ delta x)] = 2 \ rho (x) \ delta x}joka kirjoitetaan , kun se on 05x{\ displaystyle \ delta x}kφ″(x)=ρ(x).{\ displaystyle k \, \ varphi '' (x) = \ rho (x).}

Tämä viimeinen suhde on todellakin yksiulotteinen Poissonin yhtälö.

Heikko formulaatio ja liuos

Antaa olla avoin ja rajattu alue, jonka raja on riittävän säännöllinen tyydyttämään divergenssilause . Olkoon vektori normaali ja suunnattu ulospäin. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}REI{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}ei{\ displaystyle \ mathbf {n}}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}

Antaa olla funktio , sitten ja jatkuvat toiminnot määritelty . f{\ displaystyle \ displaystyle f}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}g{\ displaystyle \ displaystyle g}a>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}

Etsimme ratkaisua jokaiseen seuraavista ongelmista: ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}

-Δϕ=f{\ displaystyle \ displaystyle - \ Delta \ phi = f} varma Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega} täyttävät yhden seuraavista ehdoista  :∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}

1. ϕ=0{\ displaystyle \ displaystyle \ phi = 0}
2. ∇ϕ⋅ei=g{\ displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} = g}ja (määrittelemättömyyden additiivivakion korjaamiseksi)∫ΩϕdV=0{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0}
3. ∇ϕ⋅ei+aϕ=0{\ displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} + \ alpha \ phi = 0}

Minkä tahansa säännöllisen funktion suhteen suhde ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}

div(ψ∇ϕ)=∇ϕ⋅∇ψ+ψΔϕ{\ displaystyle {\ mathrm {div}} (\ psi \, \ nabla \ phi) = \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi + \ psi \ Delta \ phi}

ja divergenssilause viittaa

∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=-∫ΩψΔϕdV+∫∂Ωψ∇ϕ⋅eidS.{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = - \ int _ {\ Omega} \ psi \, \ Delta \ phi \, \ mathrm { d} V + \ int _ {\ osittainen \ Omega} \ psi \, \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S.}

Jos edellisen ongelman ratkaisu tarjotaan siten, että rajaehto säilyy, niin ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}

1. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=∫ΩfψdV{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}
2. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=∫ΩfψdV+∫∂ΩgψdS{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ osittainen \ Omega} g \, \ psi \, \ mathrm {d} S}
3. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV+∫∂ΩaϕψdS=∫ΩfψdV{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ osittainen \ Omega} \ alfa \, \ phi \, \ psi \, \ mathrm {d} S = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}

Huomaa vasen ja oikea puoli, heikko koostumus koostuu: klo(ϕ,ψ){\ displaystyle a (\ phi, \, \ psi)}b(ψ){\ displaystyle \ displaystyle b (\ psi)}

• määritellä sopiva vektoritila , jossa ja on määritelty,H{\ displaystyle \ displaystyle H}klo(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a (.,.)}b(.){\ displaystyle \ displaystyle b (.)}
• etsi kuten kaikkea .ϕ∈H{\ displaystyle \ displaystyle \ phi \ in H}klo(ϕ,ψ)=b(ψ){\ displaystyle a (\ phi, \, \ psi) = b (\ psi)}ψ∈H{\ displaystyle \ psi \ H}

Jos se on olemassa, näiden formulaatioiden luonnollinen ratkaisu löytyy Sobolev-tilasta , joka on sen normi.H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H12=‖ψ‖L22+‖∇ψ‖L22.{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2} = \ | \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2} + \ | \ nabla \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}.}

Itse asiassa, jokaisen ongelma, on symmetrinen bilineaarinen muoto määritellään , ja on lineaarinen muoto on . klo(.,.){\ displaystyle a (.,.)}H1(Ω)×H1(Ω){\ displaystyle H ^ {1} (\ Omega) \ kertaa H ^ {1} (\ Omega)}b(.){\ displaystyle b (.)}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}

Lausuma  -  Antaa olla avoin ja rajattu toimialue, jolla on säännöllinen (tai paloittain säännöllinen) raja , sisään , sitten ja jatkuvat toiminnot määritelty . Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}REI{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}f{\ displaystyle \ displaystyle f}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}g{\ displaystyle \ displaystyle g}a>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}

Silloin kolmella edellisellä ongelmalla on ainutlaatuinen ratkaisu , jolle on tunnusomaista vastaava heikko formulaatio, joka on toteutettu seuraavissa tiloissa: ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}

1. H=H01(Ω){\ displaystyle H = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}joka on adheesio on toistaiseksi differentioituvia ja kompaktikantajaisen toimintoja inH1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}Ω.{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega.}
2. H={ϕ∈H1(Ω)|∫ΩϕdV=0}.{\ displaystyle H = \ left \ {\ phi \ in H ^ {1} (\ Omega) \, | \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0 \ right \}.}
3. H=H1(Ω).{\ displaystyle \ displaystyle H = H ^ {1} (\ Omega).}

Perustelu

Jos Lax-Milgram-lauseen hypoteesien jatkuvuuden ja pakottavuuden ehdot täyttyvät, jälkimmäinen sallii päätelmän.

• Jatkuvuus

Jatkuvuuden Näiden kahden muodon, se on kysymys jotka osoittavat, että positiivisia vakioita huomattava yleisesti , kuten vs.{\ displaystyle \ displaystyle c}

|klo(ϕ,ψ)|⩽vs.‖ϕ‖H1‖ψ‖H1,{\ displaystyle | a (\ phi, \, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}},} |b(ψ)|⩽vs.‖ψ‖H1.{\ displaystyle | b (\, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}}.}

Nämä vakiot ovat olemassa määritelmän mukainen normi ja jatkuvuus jäljittää operaattorit , joka on funktio yhdistää funktio määritellään rajoittaminen on . H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi \ muodossa H ^ {1} (\ Omega)}L2(∂Ω){\ displaystyle L ^ {2} (\ osittainen \ Omega)}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}

Voimme huomata, että muotojen jatkuvuus varmistaa samalla niiden tarkan määrittelyn. Toisen ongelma erityisesti, rajoitetun merkitsee jatkuvuuden injektion osaksi normi , joka oikeuttaa määritelmä vastaavan tilan . Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}‖.‖L1{\ displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {1}}}H{\ displaystyle \ displaystyle H}

• Pakottavuus

Varten koersitiviteetti , se on kysymys esittää olemassaolosta riippumaton vakio on sellainen, että klo(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a (.,.)}μ>0{\ displaystyle \ displaystyle \ mu> 0}ψ∈H{\ displaystyle \ psi \ H}

• |klo(ψ,ψ)|⩾μ‖ϕ‖H12.{\ displaystyle | a (\ psi, \, \ psi) | \ geqslant \ mu \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2}.}

Tämä ominaisuus johtuu klassisesta Poincaré- muodon epätasa-arvosta ja Poincaré-Wirtinger- muodon epätasa-arvosta . klo1(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {1} (.,.)}klo2(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {2} (.,.)}

Muodon pakottavuus voidaan osoittaa absurdina. Huomaa klo3(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {3} (.,.)}

d(ψ)=∫∂Ωaψ2dS,{\ displaystyle d (\ psi) = \ int _ {\ osittainen \ Omega} \ alfa \, \ psi ^ {2} \, \ mathrm {d} S,}

Oletetaan, että on olemassa tyydyttävä järjestysψei∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi _ {n} \ muodossa H ^ {1} (\ Omega)}

‖ψei‖H1=1{\ displaystyle \ | \ psi _ {n} \ | _ {H ^ {1}} = 1}ja yleensä 0.klo3(ψei,ψei)=d(ψei)+‖∇ψei‖L22{\ displaystyle a_ {3} (\ psi _ {n}, \, \ psi _ {n}) = d (\ psi _ {n}) + \ | \ nabla \ psi _ {n} \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}}

Jonka tiiviys kanonisen injektion kohdalla (kun on rajoitettu), on olemassa alasekvenssi suppeneva toiminnon normi . Tämä sekvenssi on siis Cauchyn sekvenssin sisään ja, koska sen kaltevuus pyrkii kohti 0 , se on myös Cauchy- sekvenssin , joka suppenee kohti ja joka voi olla vain jatkuva funktio . Siten sen jäljitys (jatkuvuuden perusteella) voi olla vain nollasta poikkeava vakio, mikä on ristiriidassa . H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}‖.‖L2{\ displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {2}}}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi \ muodossa H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H1=1{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} = 1}∂Ω{\ displaystyle \ osittainen \ Omega}d(ψ)=0{\ displaystyle d (\ psi) = 0}

Resoluutio

Digitaaliselle tarkkuudelle on olemassa useita menetelmiä. Rentoutuminen menetelmä , iteratiivinen algoritmi , on esimerkki. Fourier-muunnoksiin perustuvia menetelmiä käytetään melkein aina yleispainossa.

Historialliset näkökohdat ja ratkaisuyritykset

Poissonin yhtälö on kuuluisa korjaus toisen asteen Laplace-differentiaaliyhtälöstä potentiaalille  :

∇2ϕ=-4πρ,{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = -4 \ pi \ rho \;,}

Kutsumme myös tätä yhtälöä: vuonna 1813 julkaistun potentiaaliteorian yhtälö. Jos tietyn pisteen funktio ρ = 0, saadaan Laplace-yhtälö  :

∇2ϕ=0.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0 \;.}}

Vuonna 1812 Poisson huomasi, että tämä yhtälö on voimassa vain kiinteän osan ulkopuolella. Carl Friedrich Gauss antoi ensimmäisen kerran vuonna 1839 tiukan todistuksen tiheydeltään vaihteleville massoille . Näillä kahdella yhtälöllä on vastaavuus vektorianalyysissä . Tutkimus skalaaritapauksessa kenttien cp on eroavaisuuksia Antaa:

∇2ϕ=ρ(x,y,z).{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = \ rho (x, y, z) \;.}}

Esimerkiksi Poissonin yhtälö sähköiselle pintapotentiaalille Ψ, joka osoittaa sen riippuvuuden sähkövarauksen tiheydestä ρ e tietyssä paikassa:

∇2Ψ=∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2=-ρeee0.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {\ osittain ^ {2} \ Psi \ yli \ osittain x ^ {2}} + {\ osittain ^ {2} \ Psi \ yli \ osittainen y ^ {2} } + {\ osittainen ^ {2} \ Psi \ yli \ osittainen z ^ {2}} = - {\ rho _ {e} \ yli \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \;.}

Jaettavaksi maksutta , joka neste on tuntematon, ja meidän on käytettävä Poisson-Boltzmannin yhtälö  :

∇2Ψ=ei0eee0(eeΨ(x,y,z)kBT-e-eΨ(x,y,z)kBT),{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {n_ {0} e \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ left (e ^ {e \ Psi (x, y, z) \ over k_ {B } T} -e ^ {- e \ Psi (x, y, z) \ yli k_ {B} T} \ oikea) \;,}

jota ei useimmissa tapauksissa voida ratkaista analyyttisesti, vaan vain tietyissä tilanteissa. In polaariset koordinaatit , Poisson-Boltzmannin yhtälö on:

1r2ddr(r2dΨdr)=ei0eee0(eeΨ(r)kBT-e-eΨ(r)kBT),{\ displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {d \ over dr} \ left (r ^ {2} {d \ Psi \ over dr} \ right) = {n_ {0} e \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ left (e ^ {e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} -e ^ {- e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} \ right) \; ,}

jota ei myöskään voida ratkaista analyyttisesti. Vaikka kenttä φ ei ​​olekaan skalaarinen, Poissonin yhtälö on kelvollinen, kuten se voi olla esimerkiksi nelidimensionaalisessa Minkowski- avaruudessa:

◻ϕik=ρ(x,y,z,vs.t).{\ displaystyle \ square \ phi _ {ik} = \ rho (x, y, z, ct) \;.}

Jos ρ ( x , y , z ) on jatkuva funktio ja jos r → ∞ (tai jos kohta 'liikkuu' äärettömän ) funktiona φ menee 0 riittävän nopeasti, ratkaisu Poissonin yhtälön on Newtonin potentiaali on funktio ρ ( x , y , z ):

ϕM=-14π∫ρ(x,y,z)dvr,{\ displaystyle \ phi _ {M} = - {1 \ yli 4 \ pi} \ int {\ rho (x, y, z) dv \ over r} \;,}

missä r on tilavuuden v alkuosan ja pisteen M välinen etäisyys . Integraatio kattaa koko tilan. Poisson kiinteä ratkaisemalla Greenin funktio varten Dirichlet'n ongelma Laplace-yhtälö, jos ympyrän on verkkotunnus kiinnostavia:

ϕ(ξ,η)=12π∫02πR2-ρ2R2+ρ2-2Rρcos⁡(ψ-χ)ϕ(χ)dχ,{\ displaystyle \ phi (\ xi, \ eta) = {1 \ yli 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {R ^ {2} - \ rho ^ {2} \ yli R ^ {2} + \ rho ^ {2} -2R \ rho \ cos (\ psi - \ chi)} \ phi (\ chi) d \ chi \;,}

tai:

ξ=ρcos⁡ψ,η=ρsynti⁡ψ.{\ displaystyle \ xi = \ rho \ cos \ psi \ ;, \ quad \ eta = \ rho \ sin \ psi \;.}

φ (χ) on pyöreällä viivalla määrätty funktio, joka määrittelee Laplace-yhtälön vaaditun funktion φ rajaehdot. Vastaavasti me määrittelemme Greenin toiminto Dirichlet'n ongelma Laplace yhtälö 2 φ = 0 tilaan, ja verkkotunnuksen, joka koostuu pallo, jonka säde R . Tällä kertaa Greenin tehtävä on:

G(x,y,z;ξ,η,ζ)=1r-Rr1ρ,{\ displaystyle G (x, y, z; \ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ yli r} - {R \ yli r_ {1} \ rho} \;,}

missä: on pisteen (ξ, η, ζ) etäisyys pallon keskustasta, r pisteiden välinen etäisyys ( x , y , z ), (ξ, η, ζ), r 1 on etäisyys piste ( x , y , z ) ja piste ( R ξ / ρ, R η / ρ, R ζ / ρ), symmetrinen pisteeseen (ξ, η, ζ). Poissonin integraali on nyt muodoltaan: ρ=ξ2+η2+ζ2{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {\ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} + \ zeta ^ {2}}}}

ϕ(ξ,η,ζ)=14π∫∫SR2-ρ2Rr3ϕds.{\ displaystyle \ phi (\ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ yli 4 \ pi} \ int \! \! \! \ int _ {S} {R ^ {2} - \ rho ^ {2 } \ yli Rr ^ {3}} \ phi ds \;.}

Huomautuksia ja viitteitä

Katso myös

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Siméon Denis Poisson  " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Bibliografia

• [Poisson 1813] Siméon-Denis Poisson , "  Huomautuksia yhtälöstä, joka esiintyy sferoidien vetovoiman teoriassa  ", Nouveau bulletin des sciences: par la Société philomat (h) ique (de Paris) , Paris, J. Klostermann fils , t.  III , n o  75,Joulu 1813, s.  388-392 ( lue verkossa ).
• [Godard ja Boer 2020] Roger Godard ja John de Boer , “Gauss and the Earth's Magnetic Field Model” , julkaisussa Maria Zack ja Dirk Schlimm ( toim. ), Matematiikan historian ja filosofian tutkimus  : CSHPM2018osa [”Matematiikan historian ja filosofian tutkimus”], Cham, Birkhäuser , coll.  "  Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / (Proceedings of the) Canadian Society of History and Philosophy of Mathematics  ",Tammikuu 2020, 1 st  ed. , 1  til. , XIII -172  Sivumäärä , sairas. , 15,6 x 23,4  cm ( ISBN  978-3-030-31196-4 , OCLC  1154674154 , DOI  10.1007 / 978-3-030-31298-5 , online-esitys , lukea verkossa ) , chap.  8 , s.  125-138.
• [Solomentsev 1995] (en) ED Solomentsev , “Poissonin yhtälö” , julkaisussa Michiel Hazewinkel ( toim. ), Encyclopaedia of mathematics  : a updated and annotated translation of Soviet Mathematical encyclopaedia [“Encyclopedia of Mathics: a updated and annotated translation of the Neuvostoliiton matematiikan tietosanakirja ”], t.  IV  : Monge-Ampèren yhtälö - renkaat ja algebrat [“Monge-Ampèren yhtälö - renkaat ja algebra”] , Dordrecht, Kluwer Academic , hors coll. ,Tammikuu 1995, 1 st  ed. , 1  til. , IV -929  Sivumäärä , sairas. , 21 × 29,7  cm ( ISBN  1-556-08010-7 , EAN  9781556080104 , OCLC  36917086 , DOI  10.1007 / 978-1-4899-3791-9 , SUDOC  030253195 , online-esitys , lue verkossa ) , sv Poissonin yhtälö [“Poisson yhtälö ”], s.  445.
• [Taillet, Villain ja Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain ja Pascal Febvre , Fysiikan sanakirja , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , ulkopuol. Coll. / fyysinen,Tammikuu 2018, 4 th  ed. ( 1 st  ed. Toukokuu 20081  til. , X -956  Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 17 x 24  cm ( ISBN  978-2-8073-0744-5 , EAN  9782807307445 , OCLC  1022951339 , important BNF n o  FRBNF45646901 , SUDOC  224228161 , online-esitys , lukea verkossa ) , sv Poisson (yhtälö), s.  579-580.
• Poissonin yhtälö EqWorldissa: Matemaattisten yhtälöiden maailma .
• LC Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ( ISBN  0-8218-0772-2 )
• AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ( ISBN  1-58488-299-9 )

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Laplacian operaattori
• Vector Laplacian -operaattori
• Laplace-yhtälö
• Potentiaaliteoria

Ulkoiset linkit

• (en) Eric W. Weisstein , ”  Poisson Integral  ” , MathWorldissa
• (en) Eric W. Weisstein , ”  Poisson Kernel  ” , MathWorldissa
• (sisään) Poissonin integroitu levyyksikkö
• Ilmoitukset yleisissä sanakirjoissa tai tietosanakirjoissa  : Encyclopædia Britannica  • Swedish Nationalencyklopedin