Vuonna matematiikan , The vastavuoroinen bijektio (tai vastavuoroinen tai vastavuoroisesti funktio ) on bijektio ƒ on kartta, joka assosioituu jokainen osa saapumista asettaa sen ainutlaatuinen edeltävä mukaan ƒ. Hän toteaa itsensä .
Tarkastellaan karttaa ƒ R: stä R: ään seuraavasti:
ƒ ( x ) = x 3 .Jokaista real Y , on yksi ja vain yksi todellinen x sellainen, että
y = x 3 = ƒ ( x ),joten kun y = 8, ainoa sopiva x on 2, toisaalta, kun y = –27, se on –3. Matemaattisesti, sanomme, että x on ainoa edeltäjä on y ja ƒ on bijektio .
Sen jälkeen voimme harkita sovellus, joka lähettää y sen edeltäjä, joka tässä esimerkissä on nimeltään kuutiometriä juuren ja y : se on tämä, että me kutsumme ”vastavuoroisesti” on bijektiota ƒ.
Jos yritämme tehdä saman rakennusmateriaaleja neliöjuuri ja pitävät karttaa g välillä R ja R määritellään seuraavasti:
g ( x ) = x 2 ,se ei ole niin yksinkertaista. Joillekin y: n arvoille on kaksi x: n arvoa siten, että g ( x ) = y ; siten, jos y = 4, voimme valita x = 2 mutta myös x = –2, koska 2 2 = 4, mutta myös (–2) 2 = 4. Kääntäen, muille y: n valinnoille ei x ole sopiva; siis yhtälöllä x 2 = –1 ei ole todellista ratkaisua y = –1 . Matemaattisesti sanomme, että g ei ole injektoiva eikä surjektiivinen . Tässä esimerkissä määritelmiä, jotka seuraavat eivät salli puhua ”vastavuoroisia bijektio” (tai jopa ”vastavuoroisesti sovellus”) on g .
Jos ƒ on bijektio joukosta X joukoksi Y, se tarkoittaa (bijektioiden määritelmän mukaan), että jokaisella Y: n elementillä y on ennakko ja vain yksi by: llä. Joten voimme määritellä hakemuksen g Y X, mikä se yhdistää sen ainutlaatuinen historia, toisin sanoen,
ƒ ( g ( y )) = y .Kartta g on bijektio, jota kutsutaan ipr : n vastavuoroiseksi bijektioksi .
Yleisemmin ja toiminnallisia merkintöjä käyttämällä , jos ƒ on kartta joukosta X joukoksi Y ja jos on olemassa kartta g välillä Y: stä X, niin että:
ja ,sitten ƒ ja g ovat bijektioita ja g on ƒ: n vastavuoroinen bijektio .
Ƒ: n vastavuoroista bijektiota merkitään usein ƒ −1 , huolehtien mahdollisesta sekoituksesta negatiivisten eksponenttien merkintöjen kanssa , joille meillä on x −1 = 1 / x .
Kaksoisomistus:
jaosoittaa, että ƒ on myös ƒ −1: n vastavuoroinen bijektio eli se
Yhdisteen vastavuoroinenKahden bijektion yhdisteen vastavuoroisuus saadaan kaavalla
Voimme huomata, että ƒ: n ja g: n järjestys on käännetty päinvastaiseksi; "kumoa" ƒ ja sen jälkeen g , meidän on ensin "kumottava" g ja sitten "kumottava" ƒ.
KeksintöJotkut bijektiot E: stä E: hen ovat omia vastavuoroisia, esimerkiksi käänteinen kartta
tai mikä tahansa kohtisuora symmetria tasossa.
Tällaisten sovellusten sanotaan olevan osallistavia .
Väliarvo lause ja sen seurauksena, bijektio lause , varmistaa, että kaikki tiukasti monotoninen jatkuva kartta, välin I määrittää bijektio päässä I ƒ (I) = J ja että J on myös väli. Tämä tarkoittaa, että tällaisella funktiolla on käänteinen kartta, joka on määritelty J: llä, arvon I kanssa.
Tämä ominaisuus mahdollistaa uusien toimintojen luomisen, jotka määritellään tavallisten toimintojen vastavuoroiseksi soveltamiseksi.
Toiminto ƒ ( x ) | Lähtö ja saapuminen | Vastavuoroinen toiminta | Lähtö ja saapuminen | Huomautuksia |
---|---|---|---|---|
nollasta poikkeava luonnollinen kokonaisluku | ||||
ehdottomasti positiivinen todellinen | ||||
todellinen ei nolla | ||||
Näiden funktioiden avulla vastakartan etsiminen koostuu yhtälön ƒ ( x ) = y , tuntemattoman x ratkaisemisesta :
Funktio on [3, + ∞ [: n ] [ –2, 0] : n bijektio ja sillä on käänteinen kartta, jonka pyrimme määrittämään ratkaisemalla y : lle [3, + ∞ [ : ssa yhtälön x 2 + 3 = y tai jopa x 2 = y - 3. Koska y ≥ 3, tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua, joista vain yksi kuuluu väliin ] –∞, 0] : x = - √ y - 3 . Joten ƒ: n vastavuoroisuus on ƒ −1, jonka määrittää ƒ −1 ( y ) = - √ y - 3 .
Tämä tutkimus voi osoittautua epäonnistuneeksi ja edellyttää uuden toiminnon luomista. Siten funktio on bijektio välillä [0, + ∞ [ - [0, + ∞ [ ; vastaavalla yhtälöllä ei ole ilmaistavaa ratkaisua, joka käyttää tavanomaisia funktioita, jotka pakottavat ilmaisemaan x = ƒ −1 ( y ) uuden funktion, Lambertin W-funktion, määrittelemiseksi .
Kun kaksi funktiota ovat keskenään vastavuoroisia, niin niiden graafiset esitykset ortonormaalilla koordinaattijärjestelmällä varustetussa tasossa ovat symmetrisiä toisilleen yhtälön y = x (kutsutaan myös ensimmäiseksi puolittimeksi) linjaan (D) nähden .
Itse asiassa, jos M ( x , y ) on piste the: n kuvaajassa, niin y = ƒ ( x ), joten x = ƒ −1 ( y ), joten M '( y , x ) on piste the: n kuvaajassa. - 1 . Piste M '( y , x ) on kuitenkin symmetrinen piste M ( x , y ) linjaan (D) nähden kahdesta seuraavasta syystä:
Segmentin [M, M '] keskipiste on linjalla (D), ja toisaalta vektori on kohtisuorassa koordinaattien (1, 1) vektoriin nähden, joka on linjan (D ) (niiden kanoninen skalaarinen tulo on nolla).
Siksi tiedämme, että s (M) on piste the −1 : n kuvaajassa . Analoginen päättely osoittaa, että jos M on piste the −1 : n kuvaajassa , niin s (M) on piste ƒ: n kuvaajassa.
Jatkuvan funktion reciprocal ei yleensä ole jatkuva, mutta jatkuvan funktion reciprocal intervallilla I, jonka arvot ovat intervallilla J, on J: n jatkuva funktio bijection-lauseen mukaan .
Jos on jatkuva funktio aikavälillä, jonka arvot ovat intervallilla, ja jos se on vastavuoroinen, funktio on erilainen missä tahansa pisteessä , kunhan sillä on nollasta poikkeava johdannainen.
Johdannainen de: ssä on silloin
.Yksinkertainen tapa ymmärtää, mutta ei osoittaa, tämä ilmiö on käyttää differentiaalimerkintöjä ja huomata, että:
Esittelyn löydät artikkelista
.Aina ei ole aina mahdollista määrittää käänteistä analyyttisesti: osaamme laskea , mutta emme tiedä kuinka laskea . Sitten on tarpeen käyttää graafista tai numeerista menetelmää .
Graafinen menetelmä koostuu edustavan käyrän piirtämisestä . Piirrämme asianomaista ordinaattiviivaa , etsimme tämän suoran leikkauspistettä käyrän kanssa ja piirrämme linjan, joka on yhdensuuntainen tämän leikkauspisteen läpi kulkevan ordinaattiakselin kanssa. Tämän suoran ja x-akselin leikkauspiste antaa halutun arvon . Tämä on suuren määrän väärinkäytösten periaate .
Numeerisesti etsiminen on kuin funktion juurien etsiminen
Jos tiedämme, että hakualue - mahdollisten xs: n väli - on "rajoitettu" ja että funktio on erilainen tällä aikavälillä, voimme lineaarisoida funktion eli korvata sen rajoitetulla kehityksellä saadulla affiinifunktiolla
Meillä on siis likimääräinen ratkaisu, jos :
Se on Newtonin algoritmin lähestymistapa, mutta vain yhdellä iteraatiolla.
On myös mahdollista käyttää monimutkaisempaa, mutta kuitenkin käänteistä lähentämistoimintoa.
Tason muunnokset ovat tason yksi sovelluksia; sen vuoksi on mielenkiintoista tietää vastavuoroisuudet ainakin vertailumuunnosten osalta.
Muutos | Vastavuoroinen muutos |
---|---|
vektori käännös | Vektorikäännös |
Keskellä O- tai akselin (D) symmetria | O-keskuksen tai akselin (D) symmetria |
Homotetyö keskipisteen C ja suhteen k kanssa | Homotetuus keskipisteen C ja suhteen 1 / k kanssa |
Keskuksen C ja kulman θ kierto | Keskipisteen C ja kulman –θ kierto |
Keskuksen C, suhteen k ja kulman θ suora samankaltaisuus | Keskuksen C suhde, suhde 1 / k ja kulma –θ |
Keskuksen C, suhteen k ja akselin (D) epäsuora samankaltaisuus | Keskuksen C epäsuora samankaltaisuus, suhde 1 / k ja akseli (D) |
Vedetty akseli (D) ja vektorisymmetria | Vedetty akseli (D) ja vektorisymmetria |
Akselin (D) affiniteetti suuntaan (D ') ja suhde k | Akselin (D) suhde (D ') ja suhde 1 / k |
Algebrassa ryhmien, renkaiden, kenttien, vektoritilojen bijektiivinen morfismi myöntää vastavuoroisen kartoituksen, joka on myös saman tyyppinen morfismi. Karttaa ja sen vastavuoroista kutsutaan isomorfismeiksi .
Lineaarisen kartan case ollessa vektoritilasta E vektoritilaan F, molemmat äärellisestä ulottuvuudesta ja varustettuna emäksillä, ƒ on bijektiivinen vain ja vain, jos sen matriisi M kiinteissä alustoissa on käännettävä neliömatriisi. Matriisi näissä es: n käänteisen perustassa on M: n käänteinen matriisi , jota merkitään M −1 .
Olkoon ƒ: X → Y kartta.
Funktion ƒ vastavuoroista funktiota ei pidä sekoittaa ƒ: n käänteisfunktioon . Tämä sekaannus on yleistä johtuen yleisestä merkinnästä ƒ −1 ja koska englanninkielinen termi reciprocal kääntyy usein käänteisenä ranskaksi, kun taas englannin adjektiivi käänteinen kääntää joskus käänteisenä ranskaksi.
Paikallinen inversioteoreema määrittää funktion ƒ vastavuoroisen kartan paikallisen olemassaolon ehdot . Se on yksinkertaisen lauseen yleistys todellisen muuttujan toiminnoista.
Jos ƒ on määritelty aikavälillä I ja jos a on I-elementti, jos ƒ: llä on nollasta poikkeava jatkuva johdannainen Sitten on olemassa väli I noin , aikaväli J ƒ ( ) noin ƒ ( ) ja funktio ƒ -1 määritelty J ƒ ( ) , joka on vastavuoroisesti soveltaminen rajoitusta ƒ ja I . Tämä vastavuoroinen kartta on myös erilainen kohdassa ƒ ( a ).Paikallinen inversioteoreema yleistää tämän ominaisuuden funktioihin, jotka on määritelty rajallisen ulottuvuuden todellisissa vektoritiloissa. Ehto "ƒ '(a) ei nolla" korvataan sitten " ob : n jakobilaisella a: ssa ei ole nolla". Lisäksi, jos ƒ kuuluu luokkaan C k , myös vastavuoroinen kartta on.