Biomatematiikka

Alaluokka	Biologia
Osa	Teoreettinen biologia ( d )
Harjoittanut	Biomatematiikka ( d ) , matemaattinen biologi ( d )
Esine	Biomatemaattinen malli ( in )

Biomatematiikka on opintolinjan joka yhdistää biologian ja matematiikan . Erityisesti biomatematiikka koostuu kaikista matemaattisista, numeerisista ja atk-menetelmistä ja tekniikoista, jotka mahdollistavat biologisten ilmiöiden ja prosessien tutkimisen ja mallintamisen . Siksi on todellakin voimakkaasti monialainen tiede , jota yksin matemaatikko (tai yksin biologi) ei pysty kehittämään. Tämän kurinalaisuuden syntyminen ja eläminen vaatii tieteidenvälisiä ryhmiä, joita ohjaa konkreettinen tunne. abstraktion vain yksi tapa saavuttaa parempi käsitys biologisista ilmiöistä. Biomatematiikassa on sekä käytännön että teoreettisia ulostuloja monilla aloilla, kuten populaatiobiologia , fysiologia , genomiikka , farmakologia jne.

Biomatematiikan malli

Malli on matemaattisten yhtälöiden järjestelmä, joka ottaa huomioon kaikki tutkitun biologisen ilmiön tunnetut kokeelliset tiedot . Malli mahdollistaa muun muassa:

ymmärtää paremmin biologista prosessia;
toimia järjestelmässä optimaalisesti.

Termodynaamisen järjestelmän analogisesti erotetaan tilamuuttujat , jotka kuvaavat järjestelmän kehitystä, ja säätömuuttujat , joiden perusteella on mahdollista toimia. Siksi malleja on kahta päätyyppiä:

Kognitiiviset mallit, joissa yhtälöt saadaan kääntämällä fyysiset lait, joita järjestelmä noudattaa (esimerkiksi metabolisten reaktioiden mallinnus [2] ; aivo-selkäydinnesteen kallonsisäisen dynamiikan mallintaminen [3] );
Simulointi mallit , joissa ei oteta taustalla fyysinen mekanismeja ja joka a priori esittää yhtälöt, joiden muuttujat on säädettävä Kokeellisten tietojen (esimerkiksi: simulointi dynamiikan retrovirusten ja niiden vastustuskyky hoitoon. [4] )

Tietomallit ovat tyydyttävämpiä, koska niissä otetaan huomioon järjestelmän fysikaalis-kemia. Ne edellyttävät ilmiön täydellistä tuntemista ja fyysisten lakien, joita prosessi noudattaa, kvantifiointia. Toisaalta simulointimallit ovat vähemmän vaativia. Ne linkittävät syötteen järjestelmän lähtöön kokeellisista tiedoista.
Käsittelemme kuitenkin usein välimalleja. Käytännössä on olemassa monia erilaisia malleja, joiden oletetaan edustavan samaa biologista järjestelmää. Sitten herää kysymys mallien ainutlaatuisuudesta . Kaikkia kokeellisia tietoja tyydyttäviä malleja pidetään sopivina. Mallit eroavat likiarvoista, tyypistä ja alussa otettujen parametrien lukumäärästä. On edun mukaista harkita tarkan tavoitteen funktiona yksinkertaisinta mallia , jonka kääntää yhtälöjärjestelmä, jota on helpoin käsitellä ja käsitellä. Toinen mallille asetettava rajoitus on sen hyödyllisyys : biologien näkökulmasta tämän työkalun on tarkoitus korostaa kokeilutuloksia, perustella hypoteesi tai optimoida tuotantojärjestelmä jne.

Lähes mikä tahansa ilmiö voidaan mallintaa enemmän tai vähemmän vaikeuksilla käytettävissä olevien tietojen mukaan. Lähentämismenetelmien ansiosta malli voidaan supistaa järjestelmäksi:

algebralliset yhtälöt ( lineaariset tai epälineaariset );
Yhtälö ero , kiinteä tai osittaisderivaatat .

Mallintamistekniikat

Vaikka jokainen biologinen järjestelmä vaatii omia mallintamistekniikoitaan, tarkastelemme joitain hyvin yleisiä ja hyödyllisiä mallintamismenetelmiä.

Lokeroanalyysi

Tämä mallintamistekniikka soveltuu erittäin hyvin kemialliseen transformaatioon ja solujenvaihtojärjestelmiin. Se voidaan kuitenkin laajentaa moniin muihin olosuhteisiin. Osastomallin kehittämiseksi tarvitaan useita vaiheita.

määritellä tutkittava aine ja sen muunnokset eri osastoissa (jotka ovat itse asiassa vastaavuusluokkia );
määritetään tarkkailulla osastojen väliset vaihtosuhteen vakiot;
suoritetaan massatasapaino (tuleva virtaus - lähtevä virtaus) käyttäen lineaarista erotusjärjestelmää
Tee tarvittavat likiarvot digitaalisen tarkkuuden yksinkertaistamiseksi.

Biologit käyttävät tätä menetelmää laajalti metabolisten vuotojen kvantitatiiviseen analyysiin, markkereiden ja lääkkeiden diffuusioon farmakokinetiikassa [5] .

Diffuusio, konvektio, reaktiomalli

Monet biologiset järjestelmät koostuvat kahden tai useamman aineen välisestä vuorovaikutuksesta. Jos mallinnamme näiden aineiden pitoisuuksien tai osapaineiden evoluution ajan ja avaruuden sisällä , meidät johdetaan osittaisiin johdannaisjärjestelmiin. Avaruuden x ulottuvuuden tapauksessa saadaan tyypin PDE : t :

{\ displaystyle {\ osittainen y \ yli \ osittainen t} (t, x) = K \, \ cdot {\ osallinen ^ {2} y \ yli \ osittainen x ^ {2}} + c \, \ cdot {\ osittainen \ yli \ osittainen x} (Q, y) + f (y, z)}

missä y ja z ovat kahden aineen pitoisuudet, K on diffuusiovakio, c on konvektio- tai siirtovakio, Q on konvektionopeus ja f on annettu funktio, joka kuvaa kahden aineen välistä vuorovaikutusta.

Havainnasta johtuvat lisäsuhteet (alkuehdot ja rajat) ovat välttämättömiä ratkaisun ainutlaatuisuuden varmistamiseksi. Tämä malli on konkreettisesti käytetään määrällistä tutkimista hengitysteiden kaasupörssien välillä keuhkorakkuloihin ja veren kapillaareja . [6] .

Stokastiset mallit soveltuvat pienelle määrälle molekyylejä, toisin sanoen järjestelmille, joissa stokastinen melu ei ole vähäinen. Ne perustuvat tilastoihin.

Stokastinen malli ekologiassa [7] [PDF]
Päivittäisen rytmin stokastinen mallinnus [8] [PDF]

Esimerkkejä biomatematiikan malleista

Bakteerien kasvu

Mallintaa kehitys on bakteerin pesäkkeitä , käytämme usein järjestelmän differentiaaliyhtälöt Cherruault (1998):

{\ displaystyle {\ begin {cases} dX / dt = (\ mu (X, S) -U) X \\ dS / dt = -k \ mu (X, S) X + U (VS) \\ X ( 0) = X_ {0}, S (0) = S_ {0}. \ Lopeta {tapaukset}}}

k on koedatan avulla tunnistettu vaihtovakio;
X ja S ovat vastaavasti biomassan ja substraatin pitoisuus ravintoalustassa;
V on substraatin tulo;
U (t) on ohjaustoiminto (joka voi vastata, esimerkiksi pitoisuus etanolia käytettäessä alkoholiksi prosessi );
μ (t) on epälineaarinen toiminto, joka asettaa bakteeriosaston X ja viljelyalustan S välisen vaihdon . Tämä toiminto lasketaan Monodin lain mukaan , jolla on lauseke:

\ mu (X, S) = {\ frac {\ nu _ {X} \ cdot S} {(K_ {M} + S)}}.

Tässä K M on Michaelis-vakio ja ν X kokeellinen vakio.

Populaatiodynamiikka

Populaatiodynamiikkaa on perinteisesti ollut suosikki alueella Biomatematiikka. Populaatioiden evoluutiota kuvaavat mallit ovat olleet useita tutkimuksia, jotka ovat peräisin XIX - luvulta. Muun muassa kuuluisa Lotka-Volterran yhtälöt (1925) mahdollistavat mallintaa kehitys ajan saalista ja saalistajat käytettäessä ekosysteemin . Niitä kutsutaan joskus saalistaja-saalistaja-malleiksi, yleinen kaava on:

{d \ over dt} N_ {i} (t) = N_ {i} (t) (r_ {i} - \ summa _ {{j = 1}} ^ {p} d _ {{i, j}} N_ {j} (t))

N i on yksilöiden määrä lajien (i), jossa N on 0 alkuperäinen lukumäärä;
p on kilpailevien lajien lukumäärä;
r i on lajin (i) spesifinen kasvunopeus;
d i, j ovat kertoimia, jotka mittaavat, missä määrin lajin (j) läsnäolo vaikuttaa lajin (i) eloonjäämiseen.

Aluesuunnittelu ja morfogeneesi

Englantilainen matemaatikko Alan Turing yritti luoda morfogeneesiteorian matemaattisen perustan . Vuonna 1952 julkaistussa artikkelissa, jonka otsikko oli: Morfogeneesin kemiallinen perusta , hän osoitti, kuinka diffuusioilmiöön yhdistetty kemiallinen reaktio voisi johtaa tiettyjen kemiallisten lajien pitoisuuksien jaksottaiseen jakautumiseen avaruudessa. Turingin mukaan kemikaalijärjestelmä, nimeltään "morfogeenit", jotka reagoivat yhdessä ja diffundoituvat kudosten läpi, vastaa riittävästi morfogeneesin pääilmiötä. Edellyttäen kuitenkin, että kemiallisten reaktioiden vuorovaikutus tapahtuu autokatalyysin , palautteen, ristivaihdon jne. Kanssa . ja aiheuttavat epälineaarisia prosesseja symmetrian häiriintyessä .

Tarttuvat taudit

Marchukin (1994) sekajärjestelmä on yksi yleisimmistä malleista, jotka kuvaavat virusperäisen tartuntataudin kulkua . Siinä otetaan huomioon kehon puolustusreaktiot, jotka muunnetaan matemaattisiksi yhtälöiksi. Tämän mallin avulla voidaan selittää immuunijärjestelmän toiminnalliset ominaisuudet sekä lämpötilan merkitys, immuunivasteen mekanismi, viruksen aiheuttajan luonne jne. [9] [PDF]

Merkitys

Tutkijat ovat soveltaneet matematiikkaa biologiaan pitkään, mutta vasta viime aikoina on ollut tällainen puomi useista syistä:

Tietomassan räjähdys genomiikan vallankumouksen vuoksi, jota on vaikea hyödyntää ilman analyyttisten työkalujen käyttöä.
Hiljattain kehitetty työkaluja, kuten kaaositeoria , auttamaan ymmärtämään monimutkaisia ja epälineaarisia mekanismeja biologiassa.
Uusien tietokoneiden kapasiteetin valtava kasvu ja siten myös simulointi.
Kasvava kiinnostus in silico -kokeisiin ihmisillä ja eläimillä.

Tutkimus

Seuraava on luettelo biomatematiikan tutkimuksen eri tavoista.

Solumallinnus ja molekyylibiologia

Tämä ala on saanut merkittävän sysäyksen kehittämällä molekyylibiologiaa .

Neuronien ja karsinogeenien mallintaminen.
Biologisten kudosten mekaniikka.
Entsymologia ja entsymaattinen kinetiikka (esimerkiksi kineettisen korjausmekanismin kanssa ).
Syövän mallinnus ja simulointi.
Liikkeessä olevien solupopulaatioiden välisen vuorovaikutuksen mallintaminen.
Matemaattinen mallinnus kudoksen arpien muodostumiselle.
Solunsisäisen dynamiikan matemaattinen mallintaminen.

Mallinnus tehdään normaalisti yhdellä tai useammalla tavallisella differentiaaliyhtälöllä (ODE). Useimmissa tapauksissa tällaiset ODE-järjestelmät voidaan ratkaista analyyttisesti tai numeerisesti. Suosittu menetelmä ODE: n numeeriseen ratkaisemiseen on Runge-Kutta- algoritmi .

Stokastinen mallinnus on monimutkaisempi ja käyttää algoritmia Gillespie (in) . Gillespien algoritmia käytetään yleensä simuloimaan pieni määrä kemiallisia järjestelmiä (kuten 100 kopiota mRNA: sta, proteiineista tai ribosomeista). Tämä algoritmi simuloi tarkalleen yhtä näytettä yleisen kemiallisen yhtälön ratkaisusta.

Fysiologisten järjestelmien mallinnus

Sydän- ja verisuonitautien mallinnus
Sydämen mallinnus useissa mittakaavoissa

Mallinnus avaruudessa

Mielenkiintoinen työtä tällä alalla on se, että Alan Turing artikkelissaan monogeneesin oikeus kemiallinen perusta morfogeneesi , julkaistiin vuonna 1952.

Käyttäytyminen parvissa.
Morfogeneesin kemiallis-mekaaninen teoria.
Biologisten mallien muodostuminen.

Näille esimerkeille on ominaista monimutkaiset ja epälineaariset mekanismit, ja on käynyt selväksi, että niiden ymmärtäminen voi olla täydellinen vain matemaattisten mallien avulla. Teemojen suuren monimuotoisuuden vuoksi biomatematiikkaa tutkitaan usein yhteistyössä matemaatikoiden, fyysikkojen, biologien, lääkäreiden, eläintieteilijöiden, kemistien jne. Kanssa.

Huomautuksia ja viitteitä

Cherruault Y. (1998), Matematiikkamallit ja menetelmät biotieteille , Presses Universitaires de France, ( ISBN 2-13-048978-8 )
A. Turing , Morfogeneesin kemiallinen perusta , Philos. Trans. Roy. Soc. Lontoo, B 237, 37 (1952).
Jean Pierre CHANGEUX, matkapuhelinyhteys [1] [PDF]
Ronald R.Mohler, Kwon Soon Lee, Alexander L.Asachenkov, Gurij Ivanovich Marchuk: Järjestelmällinen lähestymistapa immunologiaan ja syöpään . IEEE-tapahtumat järjestelmissä, ihmisissä ja kybernetiikassa 24 (4): 632-642 (1994)

Katso myös

Bibliografia

Pierre Auger, Christophe Lett, Jean-Christophe Poggiale, matematiikan mallinnus ekologiassa , Dunod (2010)
Yves Cherruault, Biomatematiikka , University Press of France (1983)
Yves Cherruault, matemaattinen mallintaminen biolääketieteessä: biolääketieteellisten järjestelmien optimaalinen hallinta , Kluwer (1986) ( ISBN 978-9027721495 ) .
Jean-Pierre Françoise, Biologian värähtelyt: kvalitatiivinen analyysi ja mallit , Springer (2005)
Aziz-Alaoui & Cyrille bertelle (toimittajat), Emergent Properties in Natural and Artificial Dynamic Systems , Springer New York (2006) ( ISBN 978-3-540-34822-1 ) .

Aiheeseen liittyvät artikkelit