Egyptin murto

Rhind papyrus (c. C. 1650), joka säilytetään British Museumissa on Lontoossa , on tärkein asiakirja ilmoittamalla meille matemaattista osaamista muinoin. Se sisältää kahdeksankymmentäneljä ratkaistua laskutoimitusta , geometriaa ja mittausta . Mutta ennen kuin hänestä tuli tietoinen näistä ongelmista, egyptiläisellä on oltava ollut käytössään useita taulukoita, joiden avulla hän voi hajottaa suoraan yksikön ulkopuoliset jakeet yksikköosiksi. Yksi näistä pöydistä, niin sanotut "kaksinkertaiset fraktiot" tai "2 / n" taulukot, löytyy Rhindin papyruksen ensimmäisestä sijainnista. Siinä luetellaan murtoluvut, joiden osoittaja on kaksi ja joiden nimittäjä n vaihtelee kolmesta sataan yhteen, n pariton, ja antaa niiden ekvivalentit yksikköosien summana.

Joitakin esimerkkejä hajotuksesta yksikköosiksi kahden taulukosta:

Muinaiset egyptiläiset saivat nämä erilaiset tulokset soveltamalla jakamistekniikkaa .

Esimerkki 2/5:

(1 + 2/3) + 1/3 = 2, joten tulos on 1/3 + 1/15.

Papyrus-ongelma numero 24 on: Seitsemänteen lisätään numero antaa yhdeksäntoista, mikä on tämä luku?

Nykyaikaisessa symbolisessa muodossa vastaus on triviaali: x + x / 7 = 8x / 7 = 19 tai x = 133/8.

Mutta 4000 vuotta sitten murtolaskua ja algebrallista symboliikkaa ei todellakaan kehitetty. Itse asiassa ongelma ei ole silloin yhtälön tarkkuudessa, vaan yhtälön asettamisessa ja vaikeudessa saavuttaa yksinkertaisella muodolla ax = b, ilman käytännön algebrallista lähestymistapaa.

Tätä varten egyptiläiset käyttivät ns. Väärän sijainnin menetelmää. Kutsumme siis algebrallisen erottelumenetelmän, joka koostuu likimääräisen (väärän) ratkaisun tarjoamisesta, joka johtaa havaitun poikkeaman hyödyntämällä sopivalla algoritmilla tarkasteltavan ongelman ratkaisuun.

Esimerkissämme ensimmäinen ajatus on päästä eroon hankalasta nimittäjästä valitsemalla seitsemäs likimääräiseksi ratkaisuksi (väärä sijainti): kirjuri saa kahdeksan, kun lasketaan seitsemännellä korotettua lukua. Sitten se käyttää implisiittisesti seuraavaa algoritmia (missä x '= 7 ja c = 8):

Jos ax = b ja ax '= c, niin ax / ax' = b / c tai x = x '(b / c)

Juuri tätä papyrus ehdottaa: jaamme yhdeksäntoista kahdeksalla, mikä antaa 2 + 1/4 + 1/8 ja kerrotaan kokonaisuus luvulla 7 = 1 + 2 + 4, mikä antaa (2 + 1/4 + 1 / 8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), ts. 16 + 1/2 + 1/8.

Keskiaikainen matematiikka

Merkintätapaa muodossa Egyptin jakeiden käytettiin jo Kreikan kauden ja jopa keskiajalla ( Struik 1967 ) huolimatta valituksia, jo kuin Ptolemaioksen Almagest noin awkwardness tämän merkintätapa verrattuna vaihtoehtoisiin merkintöjä kuten Babylonian merkintätapa base kuusikymmentä .

Liber Abaci (1202) ja Fibonacci sisältää useita osia matematiikan liittyvät egyptiläinen jakeet. Tunnetuin näistä on egyptiläisten murto-  osien (en) ahne algoritmi egyptiläisten murtolukujen laskemiseksi valitsemalla toistuvasti yksikköjae, jolla on pienin nimittäjä, joka ei ole suurempi kuin jäljellä oleva murtoluku.

Joskus ahne Fibonacci-algoritmi johtuu Sylvesteristä .

Vuonna Liber Abaci , Fibonacci myös kirjoitti nouseva muoto on ketjumurtoluku ,

x=1+1+1+⋯klo3klo2klo1,{\ displaystyle x = {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1+ \ cdots} {\ displaystyle a_ {3}}}} {\ displaystyle a_ {2}} }} {\ displaystyle a_ {1}}},}

joka voidaan kirjoittaa Egyptin kehitykseksi:

x=1klo1+1klo1klo2+1klo1klo2klo3+⋯{\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots}

Tämän muodon kehitystä, jossa kokonaisluvut a i kasvavat, kutsutaan Engelin sarjalaajennukseksi . Jokaisella järkevällä luvulla on rajallinen Engel-laajennus, kun taas irrationaalisilla numeroilla on ääretön Engel-laajennus.

Moderni lukuteoria

Nykyaikaiset numeroteoreetikot ovat tutkineet monia erilaisia ​​ongelmia, jotka liittyvät egyptiläisiin murto-osiin, mukaan lukien pituuden tai enimmäismäärän raja-arvo egyptiläisten murtoesitysten esityksissä, tiettyjen erikoismuotojen päällekkäisyyksien tai laajennusten etsiminen tai joissa nimittäjät ovat kaikki erityistyyppejä, pysähtyen erilaiset menetelmät egyptiläisten murtolaajennusten laajentamiseksi ja ovat osoittaneet, että laajennuksia on olemassa kaikilla riittävän tiheillä ja riittävän sileillä numeroilla . Tunnetut matemaatikot, kuten James Sylvester , Solomon Golomb , Wacław Sierpiński , Paul Erdős , Ernst G. Straus , Ronald Graham tai Gérald Tenenbaum, ovat osallistuneet tähän tutkimusalueeseen.

Algoritmit

Egyptin murto-osan laajennuksen saaminen voidaan tehdä erilaisten algoritmien ansiosta , mikä antaa erilaiset mutta silti pätevät tulokset. klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Perusmenetelmä

Voimme saada murtolaajennuksen seuraavan identiteetin ansiosta: klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

1b=1(b+1)+1b(b+1){\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {(b + 1)}} + {\ frac {1} {b (b + 1)}}}

Seuraavat rekursiivinen algoritmi sitten mahdollistaa löytää kehityksen kannalta:

(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}

a=1{\displaystyle a=1}

ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

1b{\displaystyle {\frac {1}{b}}}

(a−1b+1){\displaystyle \left({\frac {a-1}{b+1}}\right)}

(a−1b(b+1)){\displaystyle \left({\frac {a-1}{b(b+1)}}\right)}

Ehdotettu algoritmi päättyy, koska osoittajien sekvenssi on sarja, joka laskee tiukasti pieneneviä kokonaislukuja ja pienennetään yhdellä. Algoritmi päättyy siis rajalliseen määrään vaiheita. r{\ displaystyle r}

Jokaisen vaiheen lopussa on tasa- arvo Egyptin jakeiden ja toisen jakeen välillä. Kun algoritmi on valmis, meillä on siis yhtälö ja summa Egyptin murto-osia. Algoritmi on siis oikea . klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Haluamme kehityksen  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Vaihe	Tulos
0	316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}
1	116+(217+216×17){\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + \ vasen ({\ frac {2} {17}} + {\ frac {2} {16 \ kertaa 17}} \ oikea)}
2	116+117+1272+(118+117×18)+(1273+1272×273){\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {272}} + \ vasen ({\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {17 \ kertaa 18}} \ oikea) + \ vasen ({\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {272 \ kertaa 273}} ​​\ oikea )}
Lopeta	116+117+118+1272+1273+1306+174256{\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {272}} + {\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {306}} + {\ frac {1} {74256}}}

Fibonacci-Sylvester -algoritmi (ahne algoritmi)

Haluamme saada laajennuksen , voimme käyttää seuraavaa ahneita algoritmeja siihen : klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}

a=1 OU a=0{\displaystyle a=1~{\mathtt {OU}}~a=0}

ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

n{\displaystyle n}

1ab=ba{\displaystyle {\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}}

n=⌈ba⌉{\displaystyle n=\left\lceil {\frac {b}{a}}\right\rceil }

1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}}

(ab−1n){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}-{\frac {1}{n}}\right)}

Jos jokaisessa vaiheessa valitsemme nimittäjän: saamme sen sijaan Sylvester-sarjan laajennuksen . ⌊b/klo⌋+1{\ displaystyle \ lfloor b / a \ rfloor +1}⌈b/klo⌉{\ displaystyle \ lceil b / a \ rceil}

Meillä on tasa kanssa (jossa tarkoittaa kattofunktion ). klob-1ei=kloei-bbei{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {1} {n}} = {\ frac {an-b} {bn}}}ei=⌈bklo⌉{\ displaystyle n = \ vasen \ lceil {\ frac {b} {a}} \ oikea \ rceil}⌈ ⌉{\ displaystyle \ lceil ~ \ rceil}

Mutta meillä on ja siksi . Toisin sanoen yksinkertaistamalla . Algoritmin vaihe palauttaa sen vuoksi osuuden, jolla on osoitin 1, ja sen osan, jonka osoittaja on positiivinen kokonaisluku, ehdottomasti pienempi kuin . Algoritmi päättyy siis rajalliseen määrään vaiheita. bklo<⌈bklo⌉<bklo+1{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} <\ vasen \ lceil {\ frac {b} {a}} \ oikea \ rceil <{\ frac {b} {a}} + 1}bklo×klo-b<⌈bklo⌉×klo-b<(bklo+1)×klo-b{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} \ kertaa ab <\ vasen \ lceil {\ frac {b} {a}} \ oikea \ rceil \ kertaa ab <\ vasen ({\ frac {b} {a }} + 1 \ oikea) \ kertaa ab}0<kloei-b<klo{\ displaystyle 0 <an-b <a}klo{\ displaystyle a}

Jokaisen vaiheen lopussa on olemassa yhtälö ja summa Egyptin murto-osia, joilla on erilliset nimittäjät ja toinen jae. Kun algoritmi on valmis, meillä on siis yhtälö ja summa Egyptin murto-osia. Algoritmi on siis oikea . Tämän osoitti Sylvester vuonna 1880. klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Hyödyt ja haitat

Fibonacci-algoritmi antaa laajennuksen, joka voi sisältää suuria nimittäjiä, joten se antaa:

5121=125+1757+1763309+1873960180913+11527612795642093418846225,{\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {25}} + {\ frac {1} {757}} + {\ frac {1} {763309}} + {\ frac {1} {873960180913}} + {\ frac {1} {1527612795642093418846225}},}

mielummin kuin :

5121=133+1121+1363{\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {33}} + {\ frac {1} {121}} + {\ frac {1} {363}}}.

Toisaalta Fibonacci-algoritmi mahdollistaa kahden jakeen vertaamisen helposti Egyptin laajennusten leksikografisessa järjestyksessä .

Esimerkki

Haluamme kehityksen  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Vaihe	Tulos
0	316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}(kanssa ) ⌈163⌉=6{\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {16} {3}} \ right \ rceil = 6}
1	16+(316-16){\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + \ vasen ({\ frac {3} {16}} - {\ frac {1} {6}} \ oikea)}
Tulos	16+148{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {48}}}

Golomb-algoritmi

Haluamme kirjoittaa murto- osan Egyptin murto-osien summana. Yleistystä menettämättä, voimme olettaa, että ja ovat yhteisiä tekijöitä . BACHET-Bézout lauseen mahdollistaa vakuuttaa, että on olemassa kaksi luonnollisia lukuja prime keskenään ja siten, että sekä . Tällaiset luvut voidaan saada käyttämällä laajennettua euklidista algoritmia . Jakamalla jokaisen jäsenen saamme . klob<1{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <1}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}r{\ displaystyle r}s{\ displaystyle s}r<s<b{\ displaystyle r <s <b}klos=1+br{\ displaystyle as = 1 + br}bs{\ displaystyle bs}klob=1bs+rs{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1} {bs}} + {\ frac {r} {s}}}

Golomb-algoritmi on seuraava rekursiivinen algoritmi :

procédure Golomb(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Si a=1{\displaystyle a=1} : Renvoyer ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} Sinon : Déterminer r{\displaystyle r} et s{\displaystyle s} tels que r<s<b{\displaystyle r<s<b} et as=1+br{\displaystyle as=1+br} Renvoyer 1bs{\displaystyle {\frac {1}{bs}}} + Golomb(rs){\displaystyle \left({\frac {r}{s}}\right)} fin-procédure Irtisanominen

Golombin algoritmi päättyy, koska osoittajien sekvenssi on tiukasti laskeva kokonaislukujen sekvenssi ja pienennetty yhdellä. Algoritmi on siis valmis määrällisessä määrässä vaiheita. r{\ displaystyle r}

Korjaus

Jokaisen vaiheen lopussa on tasa- arvo Egyptin jakeiden ja toisen jakeen välillä. Kun algoritmi on valmis, meillä on siis yhtälö ja summa Egyptin murto-osia. Algoritmi on siis oikea . klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Teoreettinen seuraus

Minkä tahansa murto-osan kohdalla Egyptin murto-osissa on laajentuminen, joiden nimittäjät ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin . Tämä koskee erityisesti Golombin algoritmilla saavutettua kehitystä. klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}b(b-1){\ displaystyle b (b-1)}

Esimerkki

Haluamme kehityksen  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Vaihe	Tulos
0	316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}
1	1176+211{\ displaystyle {\ frac {1} {176}} + {\ frac {2} {11}}}(kanssa ) 3×11=2×16+1{\ displaystyle 3 \ kertaa 11 = 2 \ kertaa 16 + 1}
2	1176+166+16{\ displaystyle {\ frac {1} {176}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {6}}}(kanssa ) 2×6=11×1+1{\ displaystyle 2 \ kertaa 6 = 11 \ kertaa 1 + 1}
Tulos	16+166+1176{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {176}}}

Erdős- ja Bleicher-algoritmi

Erdős ja Bleicher ehdottivat k: n ensimmäisen alkuluvun tulon käyttöönottoa laskennallisena välittäjänä, koska ne ovat käytännöllisiä lukuja . Osa, jonka Egyptin kehitys haetaan ei ole enää vaan . Heidän ehdottama algoritmi on tällöin: πk{\ displaystyle \ pi _ {k}}klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}kloπkbπk{\ displaystyle {\ frac {a \ pi _ {k}} {b \ pi _ {k}}}}

procédure Erdős-Bleicher(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Déterminer k{\displaystyle k} tel que πk−1<b≤πk{\displaystyle \pi _{k-1}<b\leq \pi _{k}} Choisir un entier r{\displaystyle r} tel que πk(1−1k)≤r≤πk(2−1k){\displaystyle \pi _{k}\left(1-{\frac {1}{k}}\right)\leq r\leq \pi _{k}\left(2-{\frac {1}{k}}\right)} Déterminer l'entier s{\displaystyle s} tel que aπk=bs+r{\displaystyle a\pi _{k}=bs+r} Choisir une représentation de s{\displaystyle s} et r{\displaystyle r} comme sommes de diviseurs de respectivement πk{\displaystyle \pi _{k}} et bπk{\displaystyle b\pi _{k}} Renvoyer la somme des fractions simplifiées obtenues Teoreettinen seuraus

Tämän algoritmin mahdolliset tuotokset mahdollistavat kehityksen suurimman nimittäjän lisäämisen ( katso alla ).

Esimerkki

Haluamme kehityksen  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Vaihe	Tulos
0	2×3<16≤2×3×5{\ displaystyle 2 \ kertaa 3 <16 \ leq 2 \ kertaa 3 \ kertaa 5} siksi k=3{\ displaystyle k = 3}
1	Valitsemme esimerkiksi jar=42{\ displaystyle r = 42}s=3{\ displaystyle s = 3}
2	Meillä on 316=3×3016×30=9016×30=3×1616×30+4216×30{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {3 \ kertaa 30} {16 \ kertaa 30}} = {\ frac {90} {16 \ kertaa 30}} = {\ frac {3 \ kertaa 16} {16 \ kertaa 30}} + {\ frac {42} {16 \ kertaa 30}}}
3	Me kirjoitamme 3×1616×30+32+1016×30{\ displaystyle {\ frac {3 \ kertaa 16} {16 \ kertaa 30}} + {\ frac {32 + 10} {16 \ kertaa 30}}}
Tulos	Yksinkertaistamisen jälkeen 316=110+115+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {48}}}

Tapaus, jossa nimittäjä on kahden voima

Kun nimittäjä on teho 2 , löydämme kehityksen ansiosta binääriesityksen on (jossa kaikki 0 tai 1). Tuloksena oleva kehitys on silloin . b{\ displaystyle b}klob=klo2ei{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a} {2 ^ {n}}}}klo=kloei-12ei-1+kloei-12ei-1+⋯+klo0{\ displaystyle a = a_ {n-1} 2 ^ {n-1} + a_ {n-1} 2 ^ {n-1} + \ pistettä + a_ {0}}klo0,...,kloei-1{\ displaystyle a_ {0}, \ pisteet, a_ {n-1}}klo2ei=klo02ei-1+klo12ei-2+⋯+kloei-12{\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {n}}} = {\ frac {a_ {0}} {2 ^ {n-1}}} + {\ frac {a_ {1}} {2 ^ {n-2}}} + \ pistettä + {\ frac {a_ {n-1}} {2}}}

Esimerkki

Haluamme kehityksen . Joten meillä on . 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}3=21+20{\ displaystyle 3 = 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}316=116+216=116+18{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {2} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {8}}}

Sovellus

Siinä tapauksessa, että nimittäjä ei ole kahden voima, voimme mukauttaa edellistä algoritmia määrittämällä kehityksen missä kahden pienin teho on suurempi kuin : klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}2k×klo2k×b{\ displaystyle {\ frac {2 ^ {k} \ kertaa a} {2 ^ {k} \ kertaa b}}}2k{\ displaystyle 2 ^ {k}}b{\ displaystyle b}

procédure(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Déterminer l'entier k{\displaystyle k} tel que 2k−1<b≤2k{\displaystyle 2^{k-1}<b\leq 2^{k}} Écrire ab=2k×a2k×b=bs2k×b+2k×a−bs2k×b{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {2^{k}\times a}{2^{k}\times b}}={\frac {bs}{2^{k}\times b}}+{\frac {2^{k}\times a-bs}{2^{k}\times b}}} et tel que 2k×a−bs<2k{\displaystyle 2^{k}\times a-bs<2^{k}} Déterminer la décomposition binaire de s{\displaystyle s} et 2k×a−bs{\displaystyle 2^{k}\times a-bs} Simplifier les fractions des deux sommes et retourner le résultat fin-procédure

Joten jos haluamme saada egyptiläisen kehityksen, kerrotaan osoittaja ja nimittäjä seuraavasti  : 25{\ displaystyle {\ frac {2} {5}}}8=23{\ displaystyle 8 = 2 ^ {3}}

25=2×85×8=1640=5×240+640=14+4+240=14+110+120{\ displaystyle {\ frac {2} {5}} = {\ frac {2 \ kertaa 8} {5 \ kertaa 8}} = {\ frac {16} {40}} = {\ frac {5 \ kertaa 2 } {40}} + {\ frac {6} {40}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {4 + 2} {40}} = {\ frac {1} {4} } + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {20}}}

Tällä menetelmällä saavutetun kehityksen suurin nimittäjä on pienempi ja termien lukumäärä on termien luokkaa . b2{\ displaystyle b ^ {2}}Hirsi⁡b{\ displaystyle \ log b}

Vertaileva

Murtoluvun edelliset algoritmit antavat seuraavat egyptiläiset laajennukset: 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Algoritmi	Tulos
Perusmenetelmä	316=116+117+118+1272+1273+1306+174256{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {272}} + {\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {306}} + {\ frac {1} {74256}}}
Fibonacci-algoritmi	316=16+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {48}}}
Golomb-algoritmi	316=16+166+1176{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {176}}}
Erdős-Bleicher-algoritmi	316=110+115+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {48}}}
Binaarinen hajoaminen	316=18+116{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}}}

Ominaisuudet

Pienin kehityskoko

Mikä tahansa murtoluku voi saavuttaa niin suuren egyptiläisen kehityksen kuin haluaa identiteettiä käyttämällä . 1b=1(b+1)+1b(b+1){\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {(b + 1)}} + {\ frac {1} {b (b + 1)}}}

Fibonacci- ja Golomb-algoritmit antavat laajennuksen, jonka termien lukumäärä on enintään yhtä suuri kuin alkuperäisen murto-osan osoittaja. Voimme kuitenkin olla tarkempia. Todellakin on olemassa mihin tahansa murtolukuun edustus, jossa on enintään termit. klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}O(Hirsi⁡b){\ displaystyle O ({\ sqrt {\ log b}})}

On arveltu, että minkä tahansa kokonaisluku ja kaikesta , osa voidaan kirjoittaa summana Egyptin jakeiden kunhan on riittävän suuri. Muita tarkempia oletuksia on esitetty. t≥3{\ displaystyle t \ geq 3}k>t{\ displaystyle k> t}klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}t{\ displaystyle t}b{\ displaystyle b}

Erdős-Strausin ja Sierpińskin arvoituksia

Vuonna 1948 , Paul Erdős ja Ernst G. Straus otaksuttu, että minkä tahansa kokonaisluku , voidaan kirjoittaa summana kolme egyptiläistä jakeetei>1{\ displaystyle n> 1}4/ei{\ displaystyle 4 / n}

4ei=1klo+1b+1vs.{\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}.

Samoin Wacław Sierpiński conjectured 1956 että mistään koko on kolme luonnonrakenteilla , ja kuten: ei>1{\ displaystyle n> 1}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs.{\ displaystyle c}

5ei=1klo+1b+1vs.{\ displaystyle {\ frac {5} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}.

Kumpaakaan näistä kahdesta oletuksesta ei ole toistaiseksi osoitettu, vaikka erityisesti Erdős-Strausin olettamuksista on paljon melko vahvoja tuloksia .

Suurin nimittäjä

Majuri

Tutkimalla Erdős-Bleicher-algoritmin ( katso yllä ) tarjoamia kehityssuuntia Yokota ja Gérald Tenenbaum ovat osoittaneet, että minkä tahansa murto-osan kohdalla on olemassa egyptiläistä laajennusta, jonka suurin nimittäjä on alle . klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}4b(Hirsi⁡b)2Hirsi⁡(Hirsi⁡b){\ displaystyle 4b (\ log b) ^ {2} \ log (\ log b)}

Tämä tulos voidaan tarkentaa. Kaikilla murtoluvuilla on todellakin edustus egyptiläisissä murtoluvuissa, joissa enimmäis nimittäjää rajaavat:klob{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

O(bHirsi⁡bHirsi⁡Hirsi⁡b){\ displaystyle O \ vasen ({\ frac {b \ log b} {\ log \ log b}} \ oikea)} Alaikäinen

Egyptin murtoluvulle, jonka nimittäjä on alkuluku , kaikkien Egyptin kehitysten suurin nimittäjä on suurempi kuin Paul Erdősin ja Bleicherin vuonna 1976 esittämän lauseen mukaan . klos{\ displaystyle {\ frac {a} {p}}}klos{\ displaystyle {\ frac {a} {p}}}sHirsi2⁡(s){\ displaystyle p \ log _ {2} (p)}

Kombinatoriset ongelmat

• Erdős-Graham olettamuksiin in kombinatorisella lukuteorian todetaan, että mikä tahansa äärellinen osio joukko kokonaislukuja suurempi kuin (tai yhtä suuri) kuin kaksi, yksi osia voidaan käyttää muodostamaan egyptiläinen laajennus numero yksi. Toisin sanoen kullekin r > 0: lle ja jokaiselle yli kahden kokonaisluvun r- värille on näiden kokonaislukujen rajallinen yksivärinen osajoukko S siten, että: ∑ei∈S1/ei=1{\ displaystyle \ summa _ {n \ in S} 1 / n = 1}.Arvauksen osoitti vuonna 2000 Ernest S.Croot III  (en) .

Kehitykset, jotka on rajoitettu tiettyihin nimittäjiin

• Luvut, jotka voidaan esittää egyptiläisten murto- osien summina, joissa kaikki nimittäjät ovat n: nnettä voimaa . Rationaaliluku q voidaan erityisesti edustaa neliömerkkien kanssa esiintyvien egyptiläisten murtolukujen summana vain ja vain, jos q sijaitsee jommassakummassa kahdesta puoliavoin välistä: [0,π26-1[∪[1,π26[{\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ oikea [\ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ oikea [}.

Muu

• Znam ongelma  (in) liittyy läheisesti olemassaoloon Egyptin kehityksen muotoa: ∑1xi+∏1xi=1{\ displaystyle \ summa {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1}.
• Kaikilla rationaaliluvuilla on erittäin tiheät laajennukset, kun käytetään nimittäjien vakioosaa N : ään asti riittävän suurelle N.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Egyptin murto  " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Huomautuksia

1. Algoritmi kehitettiin myöhemmin artikkelissa ( katso alla ).
2. Oletamme koko osan .0<klo<b{\ displaystyle 0 <a <b}
3. Identiteetti tarjoaa analogisen algoritmin .1b=12b+13b+16b{\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {2b}} + {\ frac {1} {3b}} + {\ frac {1} {6b}}}
4. Olisimme voineet valita myös r = 26 ja s = 4
5. Tämä algoritmi ei tarjoa ainutlaatuista kehitystä, toisin kuin muut artikkelissa ehdotetut.
6. ( katso yllä ).
7. Toisin kuin Egyptin kehitys, luvut a, b ja c eivät välttämättä ole kaikki erilaiset.

Viitteet

1. Michel 2014 , s.  91-106.
2. (sisään) P. Erdős ja RL Graham , "  Vanhat ja uudet ongelmat ja tulokset kombinatorisessa numeroteoriassa  " , Enseign. Matematiikka. , voi.  28,1980, s.  30–44 ( lue verkossa ).
3. Pascal Boyer, pieni kumppani numeroista ja niiden sovelluksista , Pariisi, Calvage ja Mounet,2019, 648  Sivumäärä ( ISBN  978-2-916352-75-6 ) , I - ℤ: n aritmeetti, luku .  2.3. (”Egyptin murtoluvut”), s.  24-28
4. http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL070.htm
5. (in) Solomon W. Golomb , "  algoritmi varten algebramuoto ongelmien Ahmose Papyrus  " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol.  69,1962, s.  785-787.
6. ( Vose 1985 )
7. ( Tenenbaum ja Yokota 1990 ).
8. ( Graham 1964 ).
9. ( Martin 1999 ).

Mainitut teokset

• (en) T. Takenouchi , ”  Määrittelemättömällä yhtälöllä  ” , Proc. Fysikaalis-matemaattinen yhteiskunta of Japan , 3 E- sarja, voi.  3,1921, s.  78-92
• (en) RL Graham , ”  Lopullisilla summilla toisistaan ​​erillisiä n voimia  ” , Pacific J. Math. , voi.  14, n o  1,1964, s.  85-92 ( lue verkossa )
• (en) Truman Botts , "  Ketjureaktioprosessi lukuteoriassa  " , Mathematics Magazine ,1967, s.  55-65
• (en) Dirk J. Struik , matematiikan tiivis historia , New York, Dover ,1967, 228  Sivumäärä ( ISBN  0-486-60255-9 , luettu verkossa ) , s.  20-25
• (en) M. Vose , ”  egyptiläiset jakeet  ” , tiedote. London Math. Soc. , voi.  17,1985, s.  21
• (en) G. Tenenbaum ja H. Yokota , ”  Egyptin murto- osien pituus ja nimittäjät  ” , J. Numeroteoria , voi.  35,1990, s.  150-156
• (en) Stan Wagon , Mathematica toiminnassa , WH Freeman,1991, s.  271 - 277
• (en) L. Beeckmans , “  Spliting algoritm Egyptin murto- osille  ” , J. Number Theor. , voi.  43,1993, s.  173-185
• (en) Greg Martin, "  Tiheät egyptiläiset murto-osat  " , käänn. Katkera. Matematiikka. Soc. , voi.  351,1999, s.  3641-3657
• Marianne Michel , Muinaisen Egyptin matematiikka. Numerointi, metrologia, laskutoimitus, geometria ja muut ongelmat , Bryssel, Safran ,2014, 604  Sivumäärä ( ISBN  978-2-87457-040-7 ).
• Pascal Boyer, pieni numeroiden ja niiden sovellusten kumppani , Pariisi, Calvage ja Mounet,2019, 648  Sivumäärä ( ISBN  978-2-916352-75-6 )

Ulkoinen linkki

(en) Ron Knott, "  Egyptin murtoluvut  " ,2017

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">