Laplace-laki (termodynamiikka)
Vuonna termodynamiikan , Laplacen laki on suhde, joka yhdistää paineen ja äänenvoimakkuutta ihanteellisen kaasun toteutettavalla isentrooppisen (tai adiabaattinen ja palautuvia ) muutosta . Tämä suhde voidaan eritellä lämpötilan ja tilavuuden tai lämpötilan ja paineen mukaan.
Laplacen laki olettaa jatkuvan lämpökapasiteetin , mutta ihanteellisen kaasun lämpökapasiteetti riippuu lämpötilasta. Siksi tätä lakia sovelletaan vain muunnoksiin, joissa lämpötilan vaihtelu ei ole kovin tärkeää, ja joiden osalta lämpökapasiteettia voidaan arvioida suunnilleen vakiona.
Matemaattinen lausunto
Vuonna isentrooppisia muutos täydellinen kaasun meillä on seuraavat suhteet:
PVy=VS1{\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = C_ {1}}
TVy-1=VS2{\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = C_ {2}}
TyP1-y=VS3=VS11-yVS2y{\ displaystyle T ^ {\ gamma} P ^ {1- \ gamma} = C_ {3} = C_ {1} ^ {1- \ gamma} C_ {2} ^ {\ gamma}}
kanssa:
-
P{\ displaystyle P}
kaasun paine;
-
V{\ displaystyle V}
kaasun käyttämä tilavuus;
-
T{\ displaystyle T}
kaasun lämpötila;
-
y{\ displaystyle \ gamma}
Laplace kerroin , tai adiabaattinen indeksi täydellinen kaasun (ilman yksikköä), toisin sanoen:
y=VSPVSV{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}}}
lämpökapasiteettien suhde
vakiopaineessa (isobaarinen) ja
vakiotilavuudessa (isokoorinen) ;
VSP{\ displaystyle C_ {P}}
VSV{\ displaystyle C_ {V}}
-
VS1{\ displaystyle C_ {1}}
, , Kolme vakiot; ne riippuvat vain ideaalikaasun tutkittu ja alkuehdot paineen, lämpötilan ja tilavuuden muutos ( , ja ).VS2{\ displaystyle C_ {2}}
VS3{\ displaystyle C_ {3}}
P0{\ displaystyle P_ {0}}
T0{\ displaystyle T_ {0}}
V0{\ displaystyle V_ {0}}![V_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae15ff9b845587dc4e1816f59c3fed0e71a132f)
Rajoitukset
Laplace-suhteet ovat kelvollisia:
- että täydellinen kaasu tai kaasuseos täydellinen ;
- että jos oletamme, että se ei riipu lämpötilasta (lämpötiloissa, jotka ovat lähellä 20 ° C, pyydämme yleensä yksiatomista kaasua ja piimaa);y{\ displaystyle \ gamma}
y=5/3{\ displaystyle \ gamma = 5/3}
y=7/5{\ displaystyle \ gamma = 7/5}![\ gamma = 7/5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b057ffb924f1190febad410afaccf31fadf6edf)
- kuin isentrooppisen muutoksen aikana.
Todiste Laplacen laista
Ensimmäinen periaate termodynamiikan todetaan:
” Suljetun järjestelmän minkä tahansa muunnoksen aikana sen energian vaihtelu on yhtä suuri kuin ulkoisen ympäristön kanssa vaihdetun energian määrä lämmön muodossa ja työn muodossa . "
Kun kyseessä on systeemi , vain sisäinen energia vaihtelee.
dU=5W+5Q{\ displaystyle \ mathrm {d} U = \ delta W + \ delta Q}![{\ displaystyle \ mathrm {d} U = \ delta W + \ delta Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e74e01748eb64342e6cabf2598490007d134152)
Mekaaninen työ on tuote määrän muutos , jonka ulkoinen paine kohdistuu tähän määrän muutos:
5W{\ displaystyle \ delta W}
dV{\ displaystyle \ mathrm {d} V}
P{\ displaystyle P}![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
5W=-PdV{\ displaystyle \ delta W = -P \, \ mathrm {d} V}![{\ displaystyle \ delta W = -P \, \ mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e31877188ee7301e23b0b0541699bd7e3b15e12)
Jos tämä prosessi on adiabaattinen , siis ilman lämmönvaihtoa:, siis:
5Q=0{\ displaystyle \ delta Q = 0}![\ delta Q = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90687641a4ec52e9db4cf73695d57f8b49899f85)
dU=-PdV{\ displaystyle \ mathrm {d} U = -P \, \ mathrm {d} V}![{\ displaystyle \ mathrm {d} U = -P \, \ mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac9c5de23e6a225f816a86ddb072c9337a67377)
Harkitse nyt järjestelmän entalpiaa ( ) ja sen vaihtelua:
H=U+PV{\ displaystyle H = U + PV}![H = U + PV](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8a8679f9f841c71be73152fedca0199b673fb2)
dH=dU+PdV+VdP{\ displaystyle \ mathrm {d} H = \, \ mathrm {d} U + P \, \ mathrm {d} V + V \, \ mathrm {d} P}
dH=-PdV+PdV+VdP{\ displaystyle \ mathrm {d} H = -P \, \ mathrm {d} V + P \, \ mathrm {d} V + V \, \ mathrm {d} P}
dH=VdP{\ displaystyle \ mathrm {d} H = V \, \ mathrm {d} P}
Jos oletamme, että tämä kaasu käyttäytyy kuten ideaalikaasu vaihtelut, varten kiinteän aineksen määrän , että energian ja entalpia järjestelmän riippuvat vain lämpötilasta, mukaan lain Joulen ja Gay- vastaavasti. Lussac ja Joule-Thomsonin laki . Seuraa, että:
dU=VSVdT{\ displaystyle \ mathrm {d} U = C_ {V} \, \ mathrm {d} T}
dH=VSPdT{\ displaystyle \ mathrm {d} H = C_ {P} \, \ mathrm {d} T}
missä ja vastaavasti ovat vakiotilavuuden ja paineen lämpökapasiteetit ja on lämpötila. Yksikkö ja on joule per Kelvin (J / K). Päätelmämme ovat kaksi:
VSV{\ displaystyle C_ {V}}
VSP{\ displaystyle C_ {P}}
T{\ displaystyle T}
VSV{\ displaystyle C_ {V}}
VSP{\ displaystyle C_ {P}}![C_ {P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483b2a7b48dc2ca6e233a59b3f44049563b94302)
- sisäisellä energia: ,VSVdT=-PdV{\ displaystyle C_ {V} \, \ mathrm {d} T = -P \, \ mathrm {d} V}
![{\ displaystyle C_ {V} \, \ mathrm {d} T = -P \, \ mathrm {d} V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf01df08bf0d602398be647461f0a0b7f70b628)
- entalpia ,VSPdT=VdP{\ displaystyle C_ {P} \, \ mathrm {d} T = V \, \ mathrm {d} P}
![{\ displaystyle C_ {P} \, \ mathrm {d} T = V \, \ mathrm {d} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9825a5547534a04ecb52f5aa4396f49c5581374)
siten myös:
dT=-PVSVdV=VVSPdP{\ displaystyle \ mathrm {d} T = - {P \ yli C_ {V}} \, \ mathrm {d} V = {V \ yli C_ {P}} \, \ mathrm {d} P}
VSPVSVdVV=-dPP{\ displaystyle {C_ {P} \ over C_ {V}} {\ mathrm {d} V \ over V} = - {\ mathrm {d} P \ over P}}
Joko Laplace kerroin , tai adiabaattinen indeksi , määritellään suhde isobaarinen ja isokoorinen lämpö- kapasiteettia , joka voidaan määritellä myös siitä molaarinen lämpö- kapasiteettia ja jos muutos koskee moolia on ihanteellinen kaasua, tai massa lämpö- kapasiteetti (tai spesifinen) ja jos muutos koskee ihanteellisen kaasun massaa :
y{\ displaystyle \ gamma}
y=VSP/VSV{\ displaystyle \ gamma = C_ {P} / C_ {V}}
VS¯P{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P}}
VS¯V{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V}}
ei{\ displaystyle n}
vs.P{\ displaystyle c_ {P}}
vs.V{\ displaystyle c_ {V}}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
VSP=eiVS¯P=mvs.P{\ displaystyle C_ {P} = n \, {\ bar {C}} _ {P} = m \, c_ {P}}
VSV=eiVS¯V=mvs.V{\ displaystyle C_ {V} = n \, {\ bar {C}} _ {V} = m \, c_ {V}}
y=VSPVSV=VS¯PVS¯V=vs.Pvs.V{\ displaystyle \ gamma = {C_ {P} \ yli C_ {V}} = {{\ bar {C}} _ {P} \ yli {\ bar {C}} _ {V}} = {c_ {P} \ yli c_ {V}}}
Kirjoitamme uudelleen yllä todetun suhteen:
ydVV=-dPP{\ displaystyle \ gamma {\ mathrm {d} V \ over V} = - {\ mathrm {d} P \ yli P}}![{\ displaystyle \ gamma {\ mathrm {d} V \ over V} = - {\ mathrm {d} P \ yli P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65501ddd602c6b1bf3569b2bc6e4bc0f0a8f8e2)
.
Integroidaan tämä suhde kahden tilan välille ja kiinteän kaasumäärän osalta:
(P∘,V∘,T∘){\ displaystyle \ vasen (P _ {\ circ}, V _ {\ circ}, T _ {\ circ} \ oikea)}
(P,V,T){\ displaystyle \ vasen (P, V, T \ oikea)}
ei{\ displaystyle n}![ei](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
P∘V∘T∘=PVT=eiR{\ displaystyle {\ frac {P _ {\ circ} V _ {\ circ}} {T _ {\ circ}}} = {\ frac {PV} {T}} = nR}![{\ displaystyle {\ frac {P _ {\ circ} V _ {\ circ}} {T _ {\ circ}}} = {\ frac {PV} {T}} = nR}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606bbd940061e2ba8d911d6b1533f33c7d99ee50)
Ihanteellinen kaasun molaarinen lämpö- kapasiteettia ja riippuu ainoastaan lämpötilasta, mukaan vastaavasti lain Joulen ja Gay-Lussac ja lain Joule-Thomson . Tässä katsotaan, että muutoksen aikana on vakio lämpötilan muutoksesta huolimatta. Saamme:
VS¯P{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P}}
VS¯V{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V}}
y{\ displaystyle \ gamma}![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
y∫V∘VdVV=-∫P∘PdPP{\ displaystyle \ gamma \ int _ {V _ {\ circ}} ^ {V} {\ mathrm {d} V \ over V} = - \ int _ {P _ {\ circ}} ^ {P} {\ mathrm {d} P \ yli P}}
yln(VV∘)=-ln(PP∘){\ displaystyle \ gamma \ ln \ vasen ({V \ yli V _ {\ circ}} \ oikea) = - \ ln \ vasen ({P \ yli P _ {\ circ}} \ oikea)}
ja niin :
PVy=P∘V∘y{\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = P _ {\ circ} {V _ {\ circ}} ^ {\ gamma}}![{\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = P _ {\ circ} {V _ {\ circ}} ^ {\ gamma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875f4c82c2dfffb646582e9d3e671f30dfe6782e)
(
1 )
Jos korvataan ( 1 ):
P∘=eiRT∘V∘{\ displaystyle P _ {\ circ} = {nRT _ {\ circ} \ yli V _ {\ circ}}}
P=eiRTV{\ displaystyle P = {nRT \ yli V}}
saamme:
TVy-1=T∘V∘y-1{\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = T _ {\ circ} {V _ {\ circ}} ^ {\ gamma -1}}![{\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = T _ {\ circ} {V _ {\ circ}} ^ {\ gamma -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1170bca3120f0cb11e73345f14d7aa54adab283)
(
2 )
Jos korvataan myös kohta ( 1 ):
V∘=eiRT∘P∘{\ displaystyle V _ {\ circ} = {nRT _ {\ circ} \ yli P _ {\ circ}}}
V=eiRTP{\ displaystyle V = {nRT \ yli P}}
saamme:
P1-yTy=P∘1-yT∘y{\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {P _ {\ circ}} ^ {1- \ gamma} {T _ {\ circ}} ^ {\ gamma}}![{\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {P _ {\ circ}} ^ {1- \ gamma} {T _ {\ circ}} ^ {\ gamma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b756981807ad495a151328827d0354d39a9110)
(
3 )
Kaikessa tarkkuudessa
Tarkkaan ottaen molaariset lämpökapasiteetit ja ihanteellinen kaasu riippuvat siksi lämpötilasta. Laplacen laki ei siis ole tarkka. Tarkastellaan ihanteellista kaasua, joka käy läpi isentropista muutosta, ts . Jos tiedämme muunnoksen alkuolosuhteet (kaasun määrä ja vähintään kaksi kolmesta olosuhteesta ), riittää, että tiedämme yhden lopullisen tilan ehdon (paine, lämpötila tai tilavuus) kaikkien muiden johtopäätösten johtamiseksi:
VS¯P{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P}}
VS¯V{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V}}
y{\ displaystyle \ gamma}
ΔS=0{\ displaystyle \ Delta S = 0}
ei{\ displaystyle n}
(P∘,T∘,V∘){\ displaystyle \ vasen (P _ {\ circ}, T _ {\ circ}, V _ {\ circ} \ oikea)}![{\ displaystyle \ vasen (P _ {\ circ}, T _ {\ circ}, V _ {\ circ} \ oikea)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2f4d2be8c8428ce7d631fc272a0d4064aca5a2)
ΔS=ei∫T∘TVS¯PTdT-eiRln(PP∘)=0{\ displaystyle \ Delta S = n \ int _ {T _ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ {P}} {T}} \, \ mathrm { d} T -nR \, \ ln \! \ vasen ({\ frac {P} {P _ {\ circ}}} \ oikea) = 0}![{\ displaystyle \ Delta S = n \ int _ {T _ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ {P}} {T}} \, \ mathrm { d} T -nR \, \ ln \! \ vasen ({\ frac {P} {P _ {\ circ}}} \ oikea) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bef2498457411815d868b1b3c103c870cfb976f)
Vastaavasti lopullisen lämpötilan tietäessä voimme siten laskea lopullisen paineen .
T{\ displaystyle T}
P{\ displaystyle P}![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
Sitten löydämme lopullisen tilavuuden seuraavasti:
V{\ displaystyle V}
V=P∘PTT∘V∘{\ displaystyle V = {P _ {\ circ} \ yli P} {T \ yli T _ {\ circ}} V _ {\ circ}}
ΔS=ei∫T∘TVS¯VTdT+eiRln(VV∘)=0{\ displaystyle \ Delta S = n \ int _ {T _ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ {V}} {T}} \, \ mathrm { d} T + nR \, \ ln \! \ vasen ({\ frac {V} {V _ {\ circ}}} \ oikea) = 0}![{\ displaystyle \ Delta S = n \ int _ {T _ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ {V}} {T}} \, \ mathrm { d} T + nR \, \ ln \! \ vasen ({\ frac {V} {V _ {\ circ}}} \ oikea) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fee2a99e3e36447b7a031fb854b6ee19f5207d)
Vastaavasti lopullisen lämpötilan tietäessä voimme siten laskea lopullisen tilavuuden .
T{\ displaystyle T}
V{\ displaystyle V}![V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
Sitten löydämme lopullisen paineen :
P{\ displaystyle P}
P=V∘VTT∘P∘{\ displaystyle P = {V _ {\ circ} \ yli V} {T \ yli T _ {\ circ}} P _ {\ circ}}
Ilma koostuu pääasiassa typestä ja hapesta . Näille piimaasekaasuille meillä on ihanteellisen kaasun tila .
EI2{\ displaystyle {\ rm {N_ {2}}}}
O2{\ displaystyle {\ rm {O_ {2}}}}
y=7/5{\ displaystyle \ gamma = 7/5}![\ gamma = 7/5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b057ffb924f1190febad410afaccf31fadf6edf)
Huomaa, että jos otamme erityiset lämpötilat massasta taulukoista, saadaan 1013,15 hPa ja T = 300 K:
-
vs.P{\ displaystyle c_ {P}}
= 1005 J / (kg K) ;
-
vs.V{\ displaystyle c_ {V}}
= 718 J / (kg K) .
ja siksi ≈ 1,4 = 7/5.
y{\ displaystyle \ gamma}![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Laplace-lakia sovelletaan siis erityisen hyvin ilmakehään. Sitten voimme laskea adiabaattisen (tai kuivan adiabaattisen) lämpögradientin, joka on 9,76 K / km . Tämä luku on erittäin tärkeä, koska ilmakehän luotauksista voidaan määrittää, onko ilmakehä vakaa vai epävakaa. Tämä määrittää , muodostuuko ukkosta vai voivatko purjelentäjät käyttää hyväksi lämpöpäivityksiä.
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Tarkkaan ottaen isentropian ja adiabaattisuuden-palautuvuuden ominaisuuden välillä ei ole suoraa vastaavuutta. Jos termodynamiikan toisen periaatteen soveltaminen antaa ilmeisesti seuraavan implikaation: adiabaattinen ja palautuva reaktio on isentrooppinen, se ei salli tämän implikaation kääntämistä. Jos järjestelmän entropia on vakio, voidaan todeta vain, että luomistermi on yhtä suuri kuin vaihtotermin päinvastainen. Toisaalta, jos lisätään isentropian hypoteesiin adiabaattisuuden (tai palautuvuuden) hypoteesi, todetaan seuraava implikaatio: isentrooppinen ja adiabaattinen reaktio (vastaavasti palautuva) on palautuva (vastaavasti adiabaattinen).
-
Voimme kuitenkin päätyä Laplace-lakiin joko olettaen palautuvan adiabaattisen muunnoksen (katso artikkelin esittely) tai olettaen isentrooppisen muunnoksen (esittely käyttää sitten l-entropian ilmaisua ihanteelliseen kaasuun).
Viitteet
-
Roland Solimando, Louis Schuffenecker ja Jean-Noël Jaubert, termodynaamiset ominaisuudet puhdasta elin , Engineering tekniikoita ( n o AF 050),2000( lue verkossa ) , kohdat 1.4.2 s. 5 ja 1.5.2 Sivumäärä 6.
-
Richard Taillet, Loïc Villain ja Pascal Febvre, fysiikan sanakirja , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur ,2018, 956 Sivumäärä ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , luettu verkossa ) , s. 422.
-
(in) Adiabaattiset prosessit .
-
(in) " Ilman ominaislämpökapasiteetit " .
Bibliografia
-
Laurent Gautron, Christophe Balland, Laurent Cirio, Richard Mauduit, Odile Picon ja Eric Wenner, Fysiikka: Koko kurssi tiedostoina. Lisenssi, CAPES , Prépas , Dunod ,2015, 592 Sivumäärä ( ISBN 978-2-10-072891-6 , lue verkossa ) , s. 176 - Arkki 72 - Ihanteellisen kaasun muunnokset (2).
-
Georges Faverjon, Thermodynamique MPSI , Editions Breal, Coll. "Uusi Bréalin tarkkuus",2003, 192 Sivumäärä ( ISBN 9782749502304 , luettu verkossa ) , s. 85-86.
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">