Χ laki

Laki $\ chi$
Todennäköisyystiheys


Jakamistoiminto

asetukset	${\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ pisteet \} \,}$ ( vapauden asteet )
Tuki	${\ displaystyle x \ in [0; \ infty [}$
Todennäköisyystiheys	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {1-k / 2} x ^ {k-1} e ^ {- x ^ {2} / 2}} {\ Gamma (k / 2)}}}$
Jakamistoiminto	${\ displaystyle P (k / 2, x ^ {2} / 2) \,}$
Toivoa	${\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ((k + 1) / 2)} {\ Gamma (k / 2)}}}$
Muoti	${\ displaystyle {\ sqrt {k-1}} \,}$ varten $k \ geq 1$
Varianssi	${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}$
Epäsymmetria	${\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}$
Normalisoitu kurtoosi	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1} - \ sigma ^ {2})}$
Haje	${\ displaystyle \ ln (\ Gamma (k / 2)) + \,}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {1} {2}} (k \! - \! \ ln (2) \! - \! (k \! - \! 1) \ psi _ {0} (k / 2))}$
Momenttia tuottava toiminto	(katso yksityiskohdat artikkelista)
Tyypillinen toiminto	(katso yksityiskohdat artikkelista)

Vuonna todennäköisyysteoriaa ja tilastoja , The laki $\ chi$ (lausutaan "chi") on laki jatkuvan todennäköisyydellä . Se on laki neliöllinen keskiarvo k satunnaismuuttujien riippumaton ja normaalin oikeuden keskitetään, pienenee, parametri k on useita vapausasteita . Yleisin esimerkki on Maxwellin laki , kun k = 3 lain vapauden astetta ; se mallintaa molekyylinopeutta (normalisoitu). $\ chi$

Jos normaalijakaumasta riippumattomia satunnaismuuttujia on k keskiarvolla ja keskihajonnalla , niin muuttuja $X_ {i}$ $\ mu _ {i}$ $\ sigma _ {i}$

{\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vasemmalle ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ oikea) ^ {2}}}}

on lain . $\ chi$

Ominaisuudet

{\ displaystyle f (x; k) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2 ^ {1 - {\ frac {k} {2}}} x ^ {k-1} e ^ {- { \ frac {x ^ {2}} {2}}}} {\ Gamma ({\ frac {k} {2}})}} ja {\ text {for}} x> 0 \\ 0 ja {\ text {muuten}} \ lopeta {tapaukset}}}

missä on gammatoiminto . $\ Gamma (z)$

{\ displaystyle F (x; k) = {\ begin {cases} \ displaystyle P \ left ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ right) & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {muuten}} \ end {cases}}}

missä on epätäydellinen (laillistettu) gammatoiminto . ${\ displaystyle P (k, x)}$

Momenttia tuottava toiminto

{\ displaystyle M (t) = M \ vasen ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ oikea ) + t {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} M \ vasen ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ oikea).}

Tyypillinen toiminto

{\ displaystyle \ varphi (t; k) = M \ vasen ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2 }} \ oikea) + it {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2} })}} M \ vasen ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2}} \ oikea) .}

Hetket lain annetaan: $\ chi$

{\ displaystyle \ mu _ {j} = 2 ^ {j / 2} {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + j} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2 }})}}}

missä on gammatoiminto . Ensimmäiset hetket ovat: $\ Gamma (z)$

{\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac { k} {2}})}}}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = k \,}

{\ displaystyle \ mu _ {3} = 2 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 3} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) \ mu _ {1}}

{\ displaystyle \ mu _ {4} = k (k + 2) \,}

{\ displaystyle \ mu _ {5} = 4 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 5} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) (k + 3) \ mu _ {1}}

{\ displaystyle \ mu _ {6} = k (k + 2) (k + 4) \,}

missä lausekkeet ovat peräisin gammafunktion toistumisesta:

{\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x) \,}

näistä lausekkeista voimme luoda seuraavat suhteet odotukselle , varianssille , epäsymmetrialle ja lopuksi kurtoosille :

{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}} )}}}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1} - \ sigma ^ {2})}

Entropia lasketaan seuraavasti:

{\ displaystyle S = \ ln \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {k} {2}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (k- \ ln ( 2) - (k-1) \ psi _ {0} \ vasen ({\ frac {k} {2}} \ oikea) \ oikea)}

missä on moniaviofunktio . ${\ displaystyle \ psi _ {0} (z)}$

Jos niin , ( law²-laki ) ${\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k} (x)}$ ${\ displaystyle X ^ {2} \ sim \ chi _ {k} ^ {2}}$
${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ tfrac {\ chi _ {k} (x) - \ mu _ {k}} {\ sigma _ {k}}} {\ xrightarrow {d}} \ N (0,1) \,}$ , ( normaali jakauma )
Jos niin , ( puoliksi normaalijakauma ) kaikille ${\ displaystyle X \ sim \ chi _ {1} (x) \,}$ ${\ displaystyle \ sigma X \ sim HN (\ sigma) \,}$ ${\ displaystyle \ sigma> 0 \,}$
${\ displaystyle \ chi _ {2} (x) \ sim \ mathrm {Rayleigh} (1) \,}$ , ( Rayleighin laki )
${\ displaystyle \ chi _ {3} (x) \ sim \ mathrm {Maxwell} (1) \,}$ , ( Maxwellin laki )
${\ displaystyle \ | {\ lihavoitu symboli {N}} _ {i = 1, \ ldots, k} {(0,1)} \ | \ sim \ chi _ {k} (x)}$ , (Jäljempänä normi on n muuttujia on normaali jakauma on lain kanssa k vapausasteen.) $\ chi$
laki on erikoistapaus yleisen gamma lakia . $\ chi$

Eri lait ja

\ chi

\ chi ^ 2

Lait	normaalijakaumamuuttujien funktiona
of²-laki	$\ sum_ {i = 1} ^ k \ vasen (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ oikea) ^ 2$
law² laki ei ole keskitetty	$\ sum_ {i = 1} ^ k \ vasen (\ frac {X_i} {\ sigma_i} \ oikea) ^ 2$
χ laki	$\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ vasen (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ oikea) ^ 2}$
law laki ei ole keskitetty	$\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ vasen (\ frac {X_i} {\ sigma_i} \ oikea) ^ 2}$