Stokastinen matriisi
On matematiikka , joka on stokastinen matriisi (kutsutaan myös Markov matriisi ) on neliömatriisi (äärellinen tai ääretön), jonka kukin elementti on positiivinen todellinen ja joiden summa elementtien kunkin rivin on yhtä suuri kuin 1. Tämä vastaa, on todennäköisyys teoriassa , että siirtyminen matriisin Markovin ketjun .
Määritelmät
Matriisin sanotaan olevan stokastinen, jos kaikki sen syötteet ovat positiivisia (tai nolla) ja jos kaikilla meillä on
, ts. Kunkin rivin koordinaattien summa on yhtä suuri kuin 1.
M∈Mei(R){\ displaystyle M \ paikassa {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}i=1,...,ei{\ displaystyle i = 1, ..., n}∑j=1eimij=1{\ displaystyle \ summa _ {j = 1} ^ {n} m_ {ij} = 1}
Stokastisen matriisin sanotaan olevan säännöllinen, jos on olemassa sellainen kokonaisluku , että matriisi sisältää vain ehdottomasti positiivisia reaaleja .
k>0{\ displaystyle k> 0}Mk{\ displaystyle M ^ {k}}
Matriisin sanotaan olevan bistokastinen (tai kaksinkertaisesti stokastinen), jos jokaisen rivin ja kunkin sarakkeen elementtien summa on yhtä suuri kuin 1, muuten jos ja sen transponoitu ovat stokastisia.
M{\ displaystyle M} Mt{\ displaystyle M ^ {t}}
Ominaisuudet
Toinen stokastisten matriisien luonnehdinta on:
-
M{\ displaystyle M}on stokastinen matriisi vain ja vain, jos (sen kertoimet ovat positiivisia tai nollia) ja , missä merkitsee vektoria, jonka koordinaatit ovat yhtä suuret kuin 1.M≥0{\ displaystyle M \ geq 0}Me=e{\ displaystyle Me = e}e{\ displaystyle e}Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
-
M{\ displaystyle M}on bistochastic jos , ja kun on saatettu vektori .M≥0{\ displaystyle M \ geq 0}Me=e{\ displaystyle Me = e}e∗M=e∗{\ displaystyle e ^ {*} M = e ^ {*}}e∗{\ displaystyle e ^ {*}}e{\ displaystyle e}
Mukaan edelliseen omaisuutta, koska 1 on ominaisarvo niin ominaisvektori oikealla pystyvektori , joiden koordinaatit ovat yhtä kuin 1:
M{\ displaystyle M}
- Jos on stokastinen matriisi, kutsumme vakaa vektori nollasta rivivektorin kuten , toisin sanoen: an ominaisvektori vasemmalla varten ominaisarvo 1 (ja on aina vähintään yksi vakaa vektori).M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}v{\ displaystyle v}vM=v{\ displaystyle vM = v} M{\ displaystyle M}
Stokastisen matriisin spektrisäde karakterisoidaan seuraavasti:
- Jos on stokastinen matriisi, niin kaikelle , niin että spektrisäde . Nyt, kuten meillä on . Siten stokastisen matriisin spektrisäde on täsmälleen yhtä suuri kuin 1.M{\ displaystyle M}||Mx||∞≤||x||∞{\ displaystyle || Mx || _ {\ infty} \ leq || x || _ {\ infty}}x∈VSei{\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {C} ^ {n}} ρ(M)≤1{\ displaystyle \ rho (M) \ leq 1}Me=e{\ displaystyle Me = e}ρ(M)=1{\ displaystyle \ rho (M) = 1}
Muita tuloksia antaa:
- Tuote Kahden stokastisten matriisien on stokastinen.
- Kaikki stokastinen matriisi indeksoitu mukaan E x E toimii tilan ja rajoittuu karttoja ja E on .R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
- Jos on stokastinen matriisi, ja jos on todennäköisyys sitten on todennäköisyys.M{\ displaystyle M}s{\ displaystyle p}sM{\ displaystyle pM}
Esimerkki
Seuraava matriisi on stokastinen, mutta ei bistokastinen:
M=(0,50,30,20,20,800,30,30,4).{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 0 {,} 5 & 0 {,} 3 & 0 {,} 2 \\ 0 {,} 2 & 0 {,} 8 & 0 \\ 0 {,} 3 & 0 {,} 3 ja 0 {,} 4 \ loppu {pmatrix}}.}Vektori on stabiili M: lle .
(361){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 & 6 & 1 \ end {pmatrix}}}
Stokastinen matriisi M on säännöllinen, koska
M2=(0,370,450,180,260,700,040,330,450,22).{\ displaystyle M ^ {2} = {\ aloita {pmatrix} 0 {,} 37 ja 0 {,} 45 ja 0 {,} 18 \\ 0 {,} 26 ja 0 {,} 70 ja 0 {,} 04 \\ 0 {,} 33 ja 0 {,} 45 ja 0 {,} 22 \ end {pmatrix}}.}
Stokastisen matriisilauseen mukaan, jos A on säännöllinen stokastinen matriisi, niin
Lisäksi, jos x 0 on mielivaltainen aloitusvaihe laki (eli on vektori, jossa on positiivinen tai nolla koordinaatit ja summa 1), ja jos x k + 1 = x k varten k = 0, 1, 2, ... sitten ketju Markov { x k } yhtyy t: ään milloin . Tarkoittaen :
k→∞{\ displaystyle k \ - \ infty}
limk→∞x0ATk=t.{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ mathbf {x} _ {0} A ^ {k} = {\ textbf {t}}.}
Joitakin muita tuloksia
Stokastisten matriisien rooli on tärkeä erityisesti Markov-ketjujen tutkimuksessa . Tärkeä ominaisuus kaksinkertaisesti stokastisten matriisien (tai kahdesti stokastinen) on järjestetty mukaan permutaatiomatriiseja , jonka kertoimia sovelletaan , kanssa Kronecker symboli .
P(σ){\ displaystyle P (\ sigma)}σ∈Sei{\ displaystyle \ sigma \ muodossa {\ mathcal {S}} ^ {n}}sij=5σ(i)j{\ displaystyle p_ {ij} = \ delta _ {\ sigma (i)} ^ {j}}5{\ displaystyle \ delta}
Birkhoffin lause osoittaa tämän keskeisen roolin, joka permutaatiomatriiseilla on bistokastisten matriisien kuvauksessa:
Birkhoffin lause - Matriisi on kaksinkertaisesti stokastinen vain ja vain, jos se on permutaatiomatriisien barycenter.
M∈Mei(R){\ displaystyle M \ paikassa {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}
Lauseen seurauksena on seuraava tulos:
Seuraus - Antaa olla normi , invariantti koordinaattien permutaatiolla. Sitten mitä tahansa kaksinkertaisesti stokastista matriisia varten.
||.||{\ displaystyle ||. ||}Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}||M||=1{\ displaystyle || M || = 1}
Kaksi muuta bistokastisten matriisien tulosta käyttää symbolin kuvaamaa suhdetta , jonka määrittelee: Let ja olla kaksi reaalilukujen sekvenssiä . Sanomme, että b suuret a , ja merkitsemme, jos:
≺{\ displaystyle \ prec}klo=(klo1,...,kloei){\ displaystyle a = (a_ {1}, ..., a_ {n})}b=(b1,...,bei){\ displaystyle b = (b_ {1}, ..., b_ {n})}ei{\ displaystyle n}klo≺b{\ displaystyle a \ prec b}
-
klo1+...+klok≤b1+...bk{\ displaystyle a_ {1} + ... + a_ {k} \ leq b_ {1} + ... b_ {k}}kaikesta ;k=1,...,ei-1{\ displaystyle k = 1, ..., n-1}
-
klo1+...+kloei=b1+...bei{\ displaystyle a_ {1} + ... + a_ {n} = b_ {1} + ... b_ {n}}.
Tämä on osittainen tilaussuhde .
Kaksi teemaa ovat:
Lause - Matriisi on kaksinkertaisesti stokastinen vain ja vain jos kaikesta .
M{\ displaystyle M}x≺Mx{\ displaystyle x \ prec Mx}x∈Rei{\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}
Lause - Let . Silloin ja vain, jos on olemassa kaksinkertaisesti stokastinen matriisi , sellainen .
x,y∈Rei{\ displaystyle x, y \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}x≺y{\ displaystyle x \ prec y}M{\ displaystyle M}y=Mx{\ displaystyle y = Mx}
Katso myös
Bibliografia
Denis Serre , Les Matrices : teoria ja käytäntö , Pariisi, Dunod ,2001, 176 Sivumäärä ( ISBN 2-10-005515-1 ).
Viite
-
FL Bauer , J. Stoer ja C. Witzgall , " Absoluuttiset ja yksitoikkoiset normit ", Numerische Mathematik , voi. 3, n o 1,joulukuu 1961, s. 257–264 ( ISSN 0029-599X ja 0945-3245 , DOI 10.1007 / bf01386026 , luettu verkossa , käytetty 2. helmikuuta 2020 )
Aiheeseen liittyvät artikkelit