Täydellinen nelikulmainen

Täydellinen nelisivuinen on luku tason geometria koostuu neljästä suoria viivoja , mitkä tahansa kaksi, jotka eivät ole yhdensuuntaisia eikä kolme samanaikaisesti.

Toinen tapa määritellä täydellinen nelikulmio on suorittaa kupera nelisivuinen ABCD pisteellä E leikkauspiste linjat ( AB ) ja ( CD ), ja piste F leikkauspiste linjat ( AD ) ja ( BC ).

Näiden neljän viivan leikkauspisteet antavat kuusi kärkeä. Kahden viivan ja kahden muun viivan leikkauspisteet ovat vastakkaisia pisteitä. Kahta vastakkaista kärkeä yhdistävä segmentti on lävistäjä. Täydellä nelikulmalla on kolme diagonaalia.

Tämä luku liittyy projektiivinen geometria ja tutkittiin päässä II : nnen vuosisadan Menelaoksen ja Pappos Alexandria .

Ominaisuudet

Harmoninen jako diagonaaleissa

Jokainen diagonaali leikkaa kaksi muuta ja luo harmoniset jakot . Tarkemmin sanottuna diagonaali ( BD ) leikataan diagonaaleilla ( AC ) ja ( EF ) I: ssä ja J: ssä siten, että

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {IB}} {\ overline {ID}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {JB}} {\ overline {JD}}} = - 1. }

Vastaavasti, jos K on diagonaalien ( AC ) ja ( EF ) leikkauspiste :

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {JE}} {\ overline {JF}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {KE}} {\ overline {KF}}} = - 1, \ quad {\ frac {\ overline {KA}} {\ overline {KC}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {IA}} {\ overline {IC}}} = - 1.}$

Se on projektorin avatar, joka kuvaa rinnakkaiskuvan diagonaalien ominaisuutta (tapaus, jossa yksi koko nelikulmion diagonaaleista on linja äärettömässä projisointitasossa, jota pidetään valmiina affiinitasona), nimittäin että ne leikkaavat keskipisteessään harmonisen jakautumisen rajoittava tapaus ).

Annamme ensimmäisen geometrisen esityksen, jossa käytetään harmonisten säteiden ominaisuuksia: ominaisuusominaisuus, jonka mukaan mikä tahansa harmonisen säteen sekantti leikataan harmonisen jaon mukaan , ja neljännen harmonisen olemassaolo ja ainutlaatuisuus.

Geometrinen esittely

Kun otetaan huomioon kolme suoraa, jotka tulevat pisteestä, on vain yksi suora, joka muodostaa heidän kanssaan harmonisen säteen .

Huomaa rivipaketti (pisteet eivät välttämättä ole linjassa). ${\ displaystyle [O | A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}]}$ ${\ displaystyle (OA_ {1}), (OA_ {2}), (OA_ {3}), (OA_ {4})}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}}$

Anna diagonaalien ja . Joko yksittäinen piste viivalla siten, että säde on harmoninen. Anna meidän asettaa ja . $Minä$ $(AC)$ ${\ displaystyle (BD)}$ $M$ ${\ displaystyle (EI)}$ ${\ displaystyle [F | E, M, B, D]}$ ${\ displaystyle H = (FM) \ korkki (BC)}$ ${\ displaystyle H '= (FM) \ korkki (AD)}$

Meillä on niin, että palkki on harmoninen (muista, että harmonisena olemisen tosiasia riippuu vain sekantin kanssa leikkauspisteiden sijainnista; tässä secant on viiva ). ${\ displaystyle [F | E, M, B, D] = [F | E, H, B, C]}$ ${\ displaystyle [I | E, H, B, C]}$ ${\ displaystyle (EY)}$

Samasta syystä se on sama . ${\ displaystyle [I | E, H ', A, D]}$

Mutta niin ja niin meillä on . Koska se on harmoninen, se on kuitenkin sama , että molemmat palkit ja ovat molemmat harmonisia ja niillä on kolme yhteistä suoraa viivaa. Ainutlaatuisuuden vuoksi nämä kaksi palkkia ovat identtisiä ja siksi . ${\ displaystyle (IA) = (IC)}$ ${\ displaystyle (IB) = (ID)}$ ${\ displaystyle [I | E, H ', A, D] = [I | E, H', C, B]}$ ${\ displaystyle [I | E, H ', C, B]}$ ${\ displaystyle [I | E, H ', B, C]}$ ${\ displaystyle [I | E, H, B, C]}$ ${\ displaystyle [I | E, H ', B, C]}$ ${\ displaystyle (IH) = (IH ')}$

Joten määritelmän mukaan . ${\ displaystyle I = (HH ') \ cap (EI) = M}$ $M$

Säde on siis harmoninen, mikä tarkoittaa, että se jakautuu harmonisesti . ${\ displaystyle [F | J, I, B, D]}$ ${\ displaystyle [I, J]}$ ${\ displaystyle [B, D]}$

Analyyttinen esittely

Anna olla kaksi riviä, jotka johtuvat . piste akselilla ; ja kaksi riviä, jotka johtuvat . Merkitsemme neljä leikkauspistettä. $Y = \ lambda X$ ${\ displaystyle Y = \ mu X}$ $O$ ${\ displaystyle A = (a, 0)}$ $x$ ${\ displaystyle Y = \ alfa (Xa)}$ ${\ displaystyle Y = \ beta (Xa)}$ $AT$ ${\ displaystyle M_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}$

Voimme helposti laskea mihin pääsemme permutaatiolla: ${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {a \ alpha} {\ alpha - \ lambda}}}$

{\ displaystyle \ quad x_ {2} = {\ frac {a \ beta} {\ beta - \ lambda}}, \ quad x_ {3} = {\ frac {a \ beta} {\ beta - \ mu}} , \ quad x_ {4} = {\ frac {a \ alpha} {\ alpha - \ mu}}.}

Linjalla on yhtälö: ${\ displaystyle (M_ {1} M_ {3})}$

{\ displaystyle \ quad {\ begin {vmatrix} X & x_ {1} & x_ {3} \\ Y & \ lambda x_ {1} & \ mu x_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix }} = {\ begin {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} X & a \ alfa & a \ beta \\ Y & a \ lambda \ alfa & a \ mu \ beta \\ 1 & \ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}} = 0.}

Otetaan akselin leikkauspisteen abscissa : $\ omega$ $Härkä$

{\ displaystyle \ quad \ omega = {\ frac {a ^ {2} \ alfa \ beta (\ lambda - \ mu)} {\ aloita {vmatrix} a \ lambda \ alfa & a \ mu \ beta \\\ alfa - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}}}.}

By permutaatio päättelemme, että on : ${\ displaystyle \ omega '}$ ${\ displaystyle (M_ {2} M_ {4}) \ cap (Ox)}$

{\ displaystyle \ quad \ omega '= {\ frac {a ^ {2} \ alpha \ beta (\ lambda - \ mu)} {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ beta & a \ mu \ alpha \\\ beta - \ lambda & \ alpha - \ mu \ end {vmatrix}}}.}

Se johtaa

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega}} + {\ frac {1} {\ omega '}} = {\ frac {1} {a ^ {2} \ alfa \ beta (\ lambda - \ mu )}} vasemmalle ({\ begin {vmatrix} a \ lambda \ alpha & a \ mu \ beta \\\ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ beta & a \ mu \ alpha \\\ beta - \ lambda & \ alpha - \ mu \ end {vmatrix}} \ right) = {\ frac {2} {a}}}

determinanttien kehittymisen jälkeen.

Huomaa: olisimme voineet ottaa, mutta harmoninen keskiarvo olisi ollut vähemmän näkyvissä. $a = 1$

Todistus projektiivisesta geometriasta

Tässä esityksessä käytetään tason projektiivisten karttojen ominaisuuksia : ne määräytyvät projektiivisen koordinaattijärjestelmän 4 pisteen kuvan perusteella , ne säilyttävät kohdistuksen ja ristisuhteen .

(A, C, F, E) on projektiivinen koordinaattijärjestelmä. Pidämme projektiivikarttaa, joka jättää A: n ja C: n invariantiksi ja joka lähettää E: n [resp. F] - E ∞ [tai F ∞ ] piste viivan äärettömyyteen (AE) [resp. (AF)].

Kuvan B kuva B: stä on viivan (AF ∞ ) ja viivan (CE ∞ ) leikkauspisteessä (AE): n suuntainen;
Kuva D 'D: stä on linjan (AE ∞ ) ja viivan (CF ∞ ) leikkauspisteessä (AF)

Nelikulmainen AB'CD 'on siis suunnan suuntainen

I: n kuva on piste I 'diagonaalien (AC) ja (B'D') leikkauspiste
J: n kuva on piste J ∞ viivojen (B'D ') ja (E ∞ F ∞ ) leikkauspiste

Ristisuhde [B'C'I'J ∞ ] on yhtä suuri kuin -1, joten ristisuhde [BCIJ] on myös yhtä suuri kuin -1.

Vastaavat päättelyt todistavat muut harmoniset jakaumat

Tämä ominaisuus voidaan päätellä myös Menelauksen lauseesta ja Cevan lauseesta tai antaa yhden näistä lauseista osoittaa toisesta.

Newtonin linja

Kolmen diagonaalin keskipisteet ovat linjassa Newtonin viivan kanssa .

Miquelin lause

Kolmioihin ( EAD ), ( EBC ), ( FAB ) ja ( FDC ) rajatut ympyrät ovat samanaikaisia.

Huomattava käyttö

Dual koko nelisivuinen on täynnä nelikulmio .

Täydellinen jännenelikulmion kartiomainen on erittäin hyödyllistä osoittaa joitakin ominaisuuksia tangentit ja Polars on kartiomainen .

Katso myös

Bibliografia

Jean-Denis Eiden, Klassinen analyyttinen geometria , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Pieni matematiikan tietosanakirja , toim. Didier
Jean Fresnel, Modernit menetelmät geometriassa
Bruno Ingrao, Affine , euklidiset ja projektiiviset kartiot, Calvage & Mounet ( ISBN 978-2-916352-12-1 )

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Täysi nelikulmio

Ulkoiset linkit

" Täydellinen nelikulmio " , osoitteessa serge.mehl.free.fr
" Complete nelisivuinen " puolesta debart.pagesperso-orange.fr