|
In kone geometria , joka on nelisivuinen (joskus kutsutaan tetrapleur tai tetragoni ) on nelisivuinen monikulmio . Trapezoids , parallelograms , rhombuses , suorakulmioita , neliöitä ja leijat ovat yksilöllisiä quadrilaterals.
Sana "nelikulmainen" tulee latinasta: kvartetti , neljä, ja latus, lateris , side. Vastaava kreikankielinen sana on tetrapleure (τεσσερα / tèssera , neljä ja πλευρά / pleura , sivu) tai tetragon (γωνία / gônia , kulma). Tetragonisessa sanaa käytti Gerbert Aurillacin että X : nnen vuosisadan Oresme vuonna XIV : nnen vuosisadan. Termi nelisivuinen otettiin käyttöön vuonna 1554 , jonka Peletierin . Jotkut kirjoittajat käytti sanaa "nelikulmio" ( Alcuin , VIII th luvulla) tai "helmuariphe" termi arabialaista alkuperää ( Campanus , XIII th luvulla ja muut kappaleet Renaissance ). Kreikkalaiset, nelikulmion kanssa notko kulma kutsuttiin "koilogon" (mistä κοιλοσ / koïlos , ontto), ja jotkut kutsuivat "puolisuunnikkaan" nelikulmion kaikkien osapuolten eriarvoiseen. "Tetragonia" käyttää Euclid julkaisussa Elements nimittämään neliötä .
Nelikulmio on luku, jota kutsutaan nimellä "ABCD" ja jonka muodostaa:
Pisteiden A ja C sanotaan olevan vastakkaiset ; sekä pisteiden B ja D lävistäjät [AC] ja [BD] liittyä vastapäätä kärjet.
Nelikulmainen voi olla:
Monikulmion lauseen kulmien summan mukaan ristittämättömän nelikulmion kulmien summa on 360 ° .
Perusgeometriassa loistava paikka annetaan kuperille nelikulmioille .
Nelikulmainen on kupera vain ja vain, jos nelikulmio sisältyy kokonaan puolitasoon, jonka reunalla on tämä puoli. Tämä karakterisointi on yleinen kaikille kuperille polygoneille . Nelikulmion erityistapauksessa on myös toinen luonnehdinta: nelikulmainen on kupera vain ja vain, jos diagonaalit muodostavat toisistaan erillisiä segmenttejä.
Kun nelikulmio on kupera, tason yläosa, joka ei kulje kärkipisteen läpi, ei voi kohdata enemmän kuin nelikulmion kaksi sivua.
Alue : alue on kupera nelisivuinen on yhtä suuri kuin puoli-tuote lävistäjien kerrottuna sini kulman ne muodostavat (kulman käytetyt ollessa pienempi näiden kahden muodostamat kulmat viivat).
Kuparin nelikulmion ABCD sisäpuoli määritetään sitten puolitasojen leikkauspisteiksi, jotka rajaavat (AB), (BC), (CD) ja (DA) ja joista kukin sisältää pisteet C, D, A ja B. Silloin suorakulmaisella koordinaattijärjestelmällä varustetussa tasossa on mahdollista määritellä nelikulmion sisätila vertaamalla merkkejä: piste P (x, y) on kuperan nelikulmion ABCD sisäpuoli vain ja vain, jos seuraavat neljä ehdot täyttyvät:
(y B - y A ) x - (x B - x A ) y - x A y B + x B y A: lla on sama merkki kuin (y B - y A ) x C - (x B - x A ) y C - x A y B + x B y A ; (y C - y B ) x - (x C - x B ) y - x B y C + x C y B: llä on sama merkki kuin (y C - y B ) x D - (x C - x B ) y D - x B y C + x C y B ; (y D - y C ) x - (x D - x C ) y - x C y D + x D y C: llä on sama merkki kuin (y D - y C ) x A - (x D - x C ) y A - x C y D + x D y C ; (y A - y D ) x - (x A - x D ) y - x D y A + x A y D: llä on sama merkki kuin (y A - y D ) x B - (x A - x D ) y B - x D y + x y D .Nelikulmio saadaan suoraan nelikulmiosta ryhmittelemällä pisteet kahteen pariin. Kummankin parin osalta näiden kahden kärjen sanotaan olevan vastakkaiset ja niitä yhdistävää segmenttiä (nelikulmion puolta) ei enää pidetä sivuna, vaan nelikulmion diagonaalina .
Joten ensimmäinen asia, joka on tiedossa kaikista nelikulmioista, on, että toisin kuin kolmiot , niiden huippujen tiedot eivät riitä niiden määrittelemiseen (mutta määrittävät nelikulmion tietyissä olosuhteissa).
Tarkastellaan todellakin neljää kohtaa A , B , C ja D (ei kohdisteta kolmesta kolmeen tiettyjen ongelmien välttämiseksi).
Nämä neljä pistettä ovat kuuden erillisen segmentin päät: nelikulmion kuusi sivua: [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] ja [CD].
Nämä segmentit voidaan koota neljästä neljään muodostaen kolme erillistä nelikulmaista (ja vain kolme):
Nelikulmion käyttämät neljä segmenttiä ovat sen sivut ; kaksi muuta segmenttiä ovat sen lävistäjät .
Merkintätapa : ABCD on siis yleinen merkintä nelikulmion tai nelikulmion määrittelemiseksi.
Jos pisteiden järjestys on kuitenkin nelikulmion suhteen välinpitämätön, sitä on toisaalta kunnioitettava (kiertämällä tai kaatumalla) saman nelikulman säilyttämiseksi.
Neljä pistettä A , B , C ja D on 24 järjestelyä samaan nelikulmioon perustuen. Nelikulmioita ABCD , ACBD , ABDC on kolme .
Siksi sama nelikulmainen ABCD voidaan kirjoittaa ABCD , BCDA , CDAB , DABC yhteen suuntaan; DCBA , C BAD , CDAO , ADCB toiseen suuntaan.
Mielivaltaiset nelikulmio tarjoavat suhteellisen vähän kiinnostusta, mutta antavat mahdollisuuden nähdä, mikä on tunnettujen tiettyjen nelikulmioiden määritelmien takana ( puolisuunnikkaan , suuntaisen , suorakulmion , romun , neliön , leijan , pseudoneliön jne.)
Vennin kaavio erityyppisistä kuperista nelikulmioista.
Eulerin kaavio erityyppisistä nelikulmioista.
Hasse-kaavio erityyppisistä nelikulmioista.
Kun yritämme luokitella nelikulmioita asettamalla niille tiettyjä ominaisuuksia, saadaan esimerkiksi:
Tällaisia kutsutaan nelikulmaisiksi nelikulmaisiksi ortodiagonauxiksi (in) . Kaikkien näiden nelikulmioiden pinta-ala on (missä D ja d ovat lävistäjien pituudet).
Tässä luokassa ei ole mitään ulkonäön säännöllisyyttä. Kuparien nelikulmioiden joukosta, joiden lävistäjät ovat kohtisuorassa, voimme huomata
Emme aina saa suuntaista. Suorakulmion saamiseksi nelikulmion on oltava myös kupera ja vastakkaisten sivujen on oltava yhtä suuret. Jos nelikulmio ei ole kupera ja vastakkaiset sivut ovat yhtä suuria pareittain, saadaan ristitty nelikulmio: antiparallelogrammi .
Jos yhtäläiset puolet ovat peräkkäin kaksi kerrallaan, laskeudumme leijalle.
Täältä löydät kaksi mielenkiintoista luokkaa kuperia nelikulmioita: trapetsit ja niiden joukossa myös samansuuntaiset .
Erityisten puolisuunnikkaiden joukosta löydämme tasasuuntaisen puolisuunnikkaan, jonka ei-yhdensuuntaiset sivut ovat samanpituisia, ja suorakulmion puolisuunnikkaalla, jolla on kaksi suorakulmaa.
Erityisiin rinnakkaisiin suorakulmioihin kuuluvat suorakulmiot (suorakulmaiset suunnankäynnit), rombit (yhdensuuntaiset vierekkäiset sivut) ja neliöt (sekä suorakulmiot että rombit).
Siten neliö on tämän luokituksen mukaan ominaisuuksiltaan rikkain nelikulmio. Se on myös ainutlaatuinen ratkaisu nelikulmaisten isoperimetriseen ongelmaan . Toisin sanoen kaikkien saman neliöisten nelikulmioiden joukossa neliö on suurin.
Nelikulmioita, jotka voidaan kirjoittaa ympyrään, ovat nelikulmioita, joiden kärjet ovat syklisiä.
Kehäkulma lause mahdollistaa seuraavat ominaisuudet: nelikulmio on kirjoitettava , jos ja vain jos se on kaksi vastakkaista kulmia, jotka ovat yhtä suuria tai ylimääräisiä: kun kulmat ovat lisäksi se on kupera nelisivuinen, ja kun kulmat ovat samat, se on ristissä nelikulmainen.
Erityisesti tasakylkinen puolisuunnikas, suorakulmio ovat kirjoitettavia nelikulmioita.
Ptolemaios lause mahdollistaa assert että kupera nelisivuinen voidaan kirjoittaa jos, ja vain jos tuote lävistäjä pituus on yhtä suuri kuin tuotteiden pituuksien vastakkaisilla puolilla.
Kaava Brahmagupta antaa alueelle, jossa kupera nelisivuinen, jonka kärjet sijaitsevat saman ympyrän tietäen ainoastaan pituus sen puolin.
missä on nelikulmion puoli kehä , a , b , c ja d ovat sen sivujen pituudet ja S sen alueen.