Tangentti tulee latinan tangere , koskettaa: in geometria , The tangentti on käyrän yhdessä sen pisteitä on suora, joka ”koskettaa” käyrä mahdollisimman tarkasti läheisyydessä tässä vaiheessa. Käyrä ja sen tangentti muodostavat sitten nollakulman tässä kohdassa.
Tangentin käsitteen avulla voidaan suorittaa likiarvoja: tiettyjen ongelmien ratkaisemiseksi, jotka edellyttävät käyrän käyttäytymisen tuntemista pisteen läheisyydessä, voidaan assimiloida tämä tangenttiinsa. Tämä selittää tangentin ja differentiaalilaskennan välisen suhteen .
Tyydyttävyys, kuten toisinaan tehdään, määrittää tangentti suoraksi viivaksi, joka "koskettaa käyrää ylittämättä sitä", olisi väärin, koska
Pintojen tangentin käsitteen vastine on tangenttitason käsite . Se voidaan määritellä tarkastelemalla pinnalle piirrettyjen ja tietyn pisteen läpi kulkevien käyrien joukkoa ja ottamalla huomioon saatu tangenttijoukko. Voimme sitten yleistää esineitä, joiden koko on suurempi kuin 2.
Tangentti käyrä C pisteessä A abskissa on raja-asennon, kun se on olemassa, ja leikkausviiva (AB), kun piste B käyrän pyrkii kohti piste A.
Tämä määritelmä edellyttää täydellistä tarkkuutta ja edellyttää topologian käsitteiden käyttöönottoa, jotta tällainen raja voidaan laskea . Se on kuitenkin erittäin värikäs.
Kummassakin pisteessä ympyrä myöntää tangentin. Tangentti M on linjan läpi kulkevan M ja kohtisuorassa säteeseen peräisin M.
Ympyrän tangentit keskellä O ja säde R ovat linjat, jotka sijaitsevat etäisyydellä R pisteestä O. Ne ovat myös viivoja, jotka leikkaavat ympyrän tarkalleen yhdessä pisteessä, mutta tämä on ympyrälle ominainen ominaisuus.
Tarkastellaan kahta käyrää C ja C ', jotka kulkevat saman pisteen M läpi; oletetaan, että molemmilla on tangentteja tässä vaiheessa.
Tässä f on funktio, joka on määritelty muodon aikavälillä , todellisilla arvoilla. Olemme huolissamme siitä , hyväksyykö yhtälön y = f ( x ) kaavio tangentin koordinaattien pisteessä A ( a , f ( a )) .
Absissin a ja a + h pisteiden välinen sekantti on A: n läpi kulkeva viiva ja kaltevuus , joka on f : n muutosnopeus . On olemassa kolme mahdollisuutta:
Tämä aika f on funktio, joka on määritelty muodon aikavälillä, jonka arvot ovat vektoriruudussa E, jolla on äärellinen ulottuvuus. Tutkimus tehdään parametrin a pisteen läheisyydessä .
Ensimmäinen ehto, jotta voidaan puhua sekantista, on se , että käyrä kulkee a : n naapurustossa vain kerran pisteen a läpi . Tässä tapauksessa voimme jälleen laskea sekantin kaltevuuden ja selvittää, onko sillä rajaa.
Joka tapauksessa tangentin käsite ei riipu valitusta parametroinnista , koska sen määritelmä on puhtaasti geometrinen ( katso yllä ).
Linkki differentiaalilaskemaanJos f myöntää johdannaisvektorin, joka ei ole nolla, kohdassa a , sanotaan, että a on säännöllinen piste ja siellä on tangentti, jota johtaa vektori f '(a) .
Jos f myöntää peräkkäin nolla johdannaisten sitten ensimmäisen ei-nolla johdannainen menossa järjestyksessä p
sitten on tangentti, jota ohjaa ensimmäinen nollasta poikkeava johdannainen. Tällöin sanotaan, että käyrän ja sen tangentin välillä on järjestyksen p kosketus (kun taas säännöllisessä pisteessä kontakti on vain järjestyksessä 1).
Huomaa : ranskalainen perinne on käyttää sanaa "säännöllinen" kahdelle erilliselle käsitteelle, f: n säännöllisyydelle funktiona tai kaaren funktiona. Neliö on mahdollista parametrisoida tällä tavalla , mikä osoittaa, että toimintojen merkityksellinen säännöllisyys ei välttämättä anna tangenttien olemassaoloa. Yksinkertaisesti tällaista parametrointia varten pisteissä kaikki johdannaiset ovat nollia.
Puolet tangenttejaTarkempaa tutkimusta varten voidaan lisätä puolitangentit oikealle ja vasemmalle, jotta voidaan määrittää käyttäytyminen parametrin arvojen ehdottomasti korkeammalle tai pienemmälle kuin a . Puolitangentin sisältämät lisätiedot ovat liikkeen suunta.
Sanomme, että oikealla on puolitangentti, kun seuraava raja on olemassa
Puolitangentti on sitten tämän vektorin alkulinjan puolilinja .
Sanomme, että vasemmalla on puolitangentti, kun seuraava raja on olemassa (kiinnitä huomiota järjestykseen)
Puolitangentti on sitten tämän vektorin alkulinjan puolilinja .
Jos on puolitangentteja, käytämme seuraavaa sanastoa:
Absoluuttisen arvon funktion kaavio antaa esimerkin kulmapisteestä
Deltoidin tapauksessa näemme kolme puskaa.
Jos kaari hyväksyy parametrina polaarikulman , johdettu vektori hyväksyy ilmentymisen liikkuvassa kannassa .
Tarkkaan ottaen sekanttien olemassaolon kannalta on välttämätöntä lisätä ehto, että kaari kulkee vain kerran origon läpi riittävän lähellä .
Pidämme käyrä suorakulmaisessa yhtälön f (x, y) = C euklidisessa tasossa, funktion f on luokan avoimeen yksi kone.
Lause implisiittinen toimintojen avulla on mahdollista vähentää parametrisoidun kaari ja olemassaolon määrittämiseksi ja mahdollisen yhtälö tangentin tämän käyrän tietyssä pisteessä. Tarkasti, kohta M = (x, y) , jotka kuuluvat käyrä sanotaan olevan säännöllinen, kun kaltevuus on f ei ole nolla tässä vaiheessa. Ja tässä tapauksessa tangentti on kohtisuorassa gradienttivektoriin nähden.
Eriytettävän numeerisen funktion kaavio on kupera vain ja vain, jos käyrä on aina sen tangenttien yläpuolella. Se on kovera vain ja vain, jos käyrä on tangenttiensa alapuolella.
Tapauksissa, joissa tapaaminen tapahtuu käytännössä, käyrä on vuorotellen kovera tai kupera eri välein, jotka on erotettu taivutuspisteillä (joille tangentti ylittää käyrän).
Voimme laajentaa parametroituihin kaariin etsimällä taivutuspisteitä ja suuntaa, johon käyrän koveruus käännetään. Yksi työkalu selville on kaarevuusmerkin laskeminen .
Esimerkiksi suljetun kuperan käyrän käsite on määritelty , toisin sanoen joka sijaitsee aina sen tangenttien toisella puolella. Tällaisen käyrän kaarevuus ei muuta merkkiä.
Kaaren f täydellinen tarkastelu tasossa yhden pisteen a naapurustossa sisältää tutkimuksen f : n johdannaisista tässä vaiheessa. Oletetaan, että ensimmäinen nollasta poikkeava johdannainen on järjestys p ja että ensimmäinen johdannainen, joka ei ole kolineaarinen, on järjestys q . Sitten on maamerkki viisas suorittaa tutkimus .
Tässä kehyksessä kaari on muodoltaan ( X ( t ), Y ( t )). Suoritamme sitten toimintojen X ja Y rajoitetun laajennuksen :
Löydämme tunnettuja tosiasioita, kun t pyrkii kohti 0 tai kohti x : X ja Y pyrkivät kohti 0 (käyrän jatkuvuus), kaltevuus Y / X suuntaan 0 (tangentin antaa ensimmäinen perusvektori ). Mutta lisäksi meillä on X: n ja Y : n merkki t tarpeeksi pieniksi. X- merkki kertoo meille, olemmeko eteenpäin vai taaksepäin (suhteessa merkitykseen ). Y- merkki kertoo meille, olemmeko tangentin ylä- vai alapuolella.
Tai M piste S: llä . Tarkastellaan kaikkien piirrettyjen käyrien joukkoa S ja kulkee M: n läpi ja jolla on tangentti M: ssä . Jos kaikkien näin saatujen tangenttien liitto muodostaa tason, sitä kutsutaan pinnalle tangentiksi .
Jatkamme samalla tavalla kaareville alatiloille, joilla on suurempi ulottuvuus E : alajakotukit .
Piirustuksissa ja animaatioissa taiteilijat pyrkivät välttämään kahden käyrän välistä kosketusta. Tangenssi voi todellakin rikkoa perspektiivin vaikutuksen, koska emme tiedä, mikä pinta on toisaalta toisen edessä; ja toisaalta suorat viivat, jotka koskettavat kahta käyrää, muodostavat ristin, joka houkuttelee silmiä ja estää sen kiertämistä piirustuksessa.