Symmetristen funktioiden peruslause

On matematiikka , ja erityisemmin kommutatiivinen algebran , perustavanlaatuinen lause, symmetrinen funktio , jota usein kutsutaan ”  olennainen lause, symmetrinen polynomien  ” tai ”  Newtonin lause  ”, todetaan, että mikä tahansa symmetrinen polynomi on määrittelemätön n kanssa kertoimien ( kommutatiivinen ) rengas on ilmaistaan ​​ainutlaatuisella tavalla n elementaarisen symmetrisen polynomin polynomifunktiolla . Toisin sanoen n elementary symmetrinen polynomeja muodostaa tuottava osa algebran symmetrinen polynomi n indeterminates yli ja ovat algebrallisesti riippumaton yli .

Määritelmät ja alustavat huomautukset

Symmetristen toimintojen peruslause

Lause: Olkoon A kommutatiivinen rengas. Jos P on polynomi-symmetrinen n: ssä määrittelemätön kertoimilla A , niin on olemassa ainutlaatuinen polynomi T , jonka kertoimet ovat A: ssa , niin että

P ( X 1 ,…, X n ) = T ( s n , 1 ,…, s n, n ),

s n i on alkeis symmetrinen polynomi määrittelemätön niistä X 1 , ..., X n .

Seuraavat seuraus oikeuttaa tavanomainen nimi lauseen:

Jos f on järkevä osa symmetrinen n määrittelemätön yli kentän K , niin on olemassa ainutlaatuinen järkevä osa Φ yli K siten, että

f ( X 1 ,…, X n ) = Φ ( s n , 1 ,…, s n, n ).

Mikä tahansa symmetrinen järkevä murtoluku onkin kahden symmetrisen polynomin osamäärä .

Merkintä Esityksen ainutlaatuisuus vastaa sitä tosiasiaa, että ei ole nollasta poikkeavaa polynomia T, joka täyttäisi T ( s n , 1 ,…, s n, n ) = 0. Jos rengas A on kenttä, se tarkoittaa, kehoteorian kielellä, että alkeelliset symmetriset polynomit ovat algebrallisesti riippumattomia. Siksi ne muodostavat transsendenssipohjan symmetriset rationaaliset jakeet n: ssä määrittelemättömän yli K: n .

Lauseen todisteet

Symmetristen funktioiden lauseesta on monia todisteita. Lyhyemmät käyttää leksikografisessa järjestys on yhtenäinen monomials , sitten temppu alentaa "leksikografisessa aste" symmetrinen polynomi, joka antaa tarvittavan vaihe varten esittelyä induktio tässä hyvässä järjestyksessä . Tämän algoritmin idea juontaa juurensa Edward Waringiin vuonna 1700 . Gauss virallistti mielenosoituksen vuonna 1815, ja "se on sama, mitä löytyy nykyaikaisista oppikirjoista" .

Induktio todiste käyttäen leksikografista järjestystä

Joukko multi-astetta ( α 1 , ..., α n ) yhtenäisen monomials X 1 α 1 ... X n α n on yhtä suuri kuin N- n , joka voi tilata leksikografisessa järjestyksessä: määritelmän

X 1 α 1 … X n α n > X 1 β 1 … X n β n

jos saavutettuamme ensimmäisen i: n niin, että α i ≠ β i , meillä on α i > β i .

Olemassaolo Olkoon P symmetrinen polynomi, joka ei ole nolla, ja X 1 α 1 … X n α n sen suurin yksikkömonomiaali. Oletetaan, että jokainen polynomi, joka on induktiivisesti symmetrinen nollasta poikkeava maksimiarvo, joka on tiukasti pienempi kuin P, voidaan ilmaista elementaaristen symmetristen polynomien polynomifunktion avulla ja osoittaa, että se on sama P: lle . Koska P on symmetrinen, se sisältää samat nollasta poikkeavat kertoimet a ∈ A , kaikki monomalit, jotka on saatu permutoimalla eksponentit monomialissa X 1 a 1 … X n α n . Jälkimmäisen suurimmaksi osaksi meillä on siis α 1 ≥ α 2 ≥… ≥ α n . Olkoon t i = α i - α i +1 1 ≤ i <n ja t n = α n . Siksi t i ovat kaikki positiivisia tai nollia. Tarkastellaan symmetristä polynomia Q = kuten n , 1 t 1  s n , 2 t 2  …  s n, n t n .Sen suurin yksikköyksikkö on sama kuin P  : X 1 t 1  ( X 1 X 2 ) t 2  ( X 1 X 2 X 3 ) t 3  … ( X 1 … X n ) t n = X 1 α 1  X 2 α 2  …  X n α n Näin ollen symmetrinen polynomi P - Q on nolla tai on enintään yksikkö monomi ehdottomasti pienempi kuin P . Induktiohypoteesin perusteella on siis olemassa polynomi W siten, että P - Q = W ( s n , 1 ,…, s n, n ) . Tuloksena, P = P - Q + Q = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), missä     T ( S 1 ,…, S n ) = W ( S 1 ,…, S n ) + a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n . Ainutlaatuisuus Olkoon T ( S 1 ,…, S n ) nollasta poikkeava polynomi. Tarkastellaan T: ssä monomalia a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n , jonka yksikkömonomali X 1 t 1 + t 2 +… + t n X 2 t 2 +… + t n … X n t n on suurin yllä olevan leksikografisen järjestyksen kohdalla. Sitten tämä yksikkömonomi on suurin, joka esiintyy (kertoimen a ≠ 0 vaikutuksesta) polynomissa P = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), joten tämä polynomi P ei ole nolla. Huomautus Tämä todistus osoittaa edelleen, että koko aste on T on korkeintaan yhtä suuri kuin suurin asteista P on kunkin muuttujan.

Seuraava, tuskin pidempi, mielenosoitus voi tuntua luonnollisemmalta ja tarjoaa teoreettisia välineitä, jotka edeltävät Galois-teoriaa .

Riippuen merkinnöistä määritelty kohdassa ”määrittely ja alustavien huomautusten” , se perustuu kolmeen lemmas  :

Lemma 1  -  Jos A ' on rengas, joka sisältää A: n alirenkaana ja ( a 1 ,…, a n ) n: n A: n alkuaineita , niin arviointikartta,

φ  : B → A ' ,   P ( X 1 ,…, X n ) ↦ P ( a 1 ,…, a n ),

on renkaiden ja jopa A- algebrojen morfismi, jota kutsutaan "korvausmorfismiksi".

Tämä on erityistapaus polynomien renkaiden universaalista ominaisuudesta .

Lemma 2  -  Olkoon ö olla permutaatio S n . Kun sovellus () σ  : B → B ,   P ↦ P σ  on B: n automorfismi .

Koska A on B : n alirengas, se on yksinkertainen Lemma 1 -sovelluksen kanssa ( a 1 ,…, a n ) = ( X σ (1) ,…, X σ ( n ) ) . () Σ: n käänteinen kartta on ilmeisesti () σ −1 .

Lemma 3  -  Jos i on eri kuin j 1 , j 2 , ..., j k ja jos X- i jakaa tuote polynomin P on B , jonka monomi x j 1 ... X j k , niin X i jakaa P .

Se on jälleen yksinkertainen Lemma 1 -sovellus, jossa ( a 1 ,…, a n ) = ( X 1 ,…, X i –1 , 0, X i +1 ,…, X n ).

Todiste määrittelemättömien lukumäärän ja kokonaisasteen induktiolla

Toistettavuuden toistamiseksi meidän on tarkennettava lauseen lauseketta määrittelemällä, että siinä polynomi T ( S 1 ,…, S n ) siten, että P ( X 1 ,…, X n ) = T ( s n , 1 ,…, s n, n ) on "painoltaan" pienempi tai yhtä suuri kuin P : n kokonaisaste, polynomin "paino" määritetään monomeerien painosta samalla tavalla kuin kokonaisaste, mutta painotus määrittelemättömien indekseillä: monomaaalin S 1 t 1 … S n t n paino on määritelmän mukaan t 1 + 2 t 2 +… + nt n .

Lause (määritellyssä versiossaan) on ilmeinen määrittelemättömän 0 polynomien tapauksessa ja määrittelemättömän n polynomien n kokonaisasteen ollessa pienempi tai yhtä suuri kuin 0 (molemmissa tapauksissa ne ovat vakiopolynomeja). Oletetaan siis, että lause tarkistetaan induktiivisesti minkä tahansa polynomin suhteen n - 1: ssä epämääräinen ja minkä tahansa polynomin suhteen n: n määrittelemätön kokonaisasteen ollessa tiukasti alle m ( n , m ∈ N *), ja tarkastellaan B: ssä symmetristä polynomia P , on yhtä suuri kokonaisaste kuin m .

Olkoon A ' = [ X 1 , ..., X n -1 ] , ja φ  : B → A' on vaihdosta morfismi (vrt Aine 1), joka vahvistetaan X 1 , ..., X n -1 ja lähettää X n on 0.

Koska φ ( P ) on symmetrinen ja kokonaisaste pienempi tai yhtä suuri kuin m , on olemassa (induktiohypoteesin perusteella) polynomi V ( S 1 ,…, S n – 1 ), jonka paino on pienempi tai yhtä suuri kuin m, niin että ( in A ' )

φ ( P ) = V ( s n –1,1 ,…, s n –1, n –1 ).

Laittakaamme (kohtaan B )

P ' = V ( s n , 1 ,…, s n , n – 1 ).

Sitten φ ( P ' ) = φ ( P ) - koska morfismi φ lähettää s n, i yli s n –1, i kaikille i < n - ja P: n kokonaisaste  on pienempi tai yhtä suuri kuin paino ja V siksi m .

Polynomi P ' on symmetrinen ja täyttää φ ( P - P' ) = 0, ts. että polynomi P - P '  on symmetrinen ja kerrannainen X n , siis kerrannainen X i kaikille i , ja näin ollen monikerta x 1 ... X n = s n, n ( Lemma 3 ). Voimme siis kirjoittaa

P - P '= Q s n, n ,

missä Q on B: n elementti , symmetrinen ja kokonaisaste pienempi tai yhtä suuri kuin m - n < m . Induktiohypoteesi merkitsee sitten, että on olemassa ainutlaatuinen polynomi W siten, että Q = W ( s n , 1 ,…, s n, n ) ja että tämän polynomin W paino on pienempi tai yhtä suuri kuin m - n . Niin,

P = P '+ Q s n, n = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), missä     T = V + WX n , paino pienempi tai yhtä suuri kuin m ,

mikä osoittaa halutun esityksen olemassaolon.

Jos T '  on toinen polynomi siten, että T' ( s n , 1 , ..., s n, n ) = P , niin ( T '- V ) / X n = W , koska W: n esittämä Q = ( P - P ' ) / s n, n on ainutlaatuinen (induktiohypoteesi). Joten T '= V + WX n = T , ja esityksen ainutlaatuisuus taataan.

Voimme myös käyttää Galois-teoriaa osoittamaan suoraan lauseen "olemassaolon" osan, ts. Osoittamaan, että mikä tahansa kentän K symmetrinen rationaalinen murtoluku on elementaaristen symmetristen polynomien rationaalinen funktio.

Todiste seurauksen "olemassaolosta" osasta Galois-teorian avulla

Tarkastellaan sekvenssi laajennusten C ⊂ M ⊂ L , jossa L = K ( X 1 , ..., X n ), M = L S n (jäljempänä alikentän symmetristen järkevä jaetta) ja C = K ( s n , 1 , ..., S n, n ). Kyse on siitä, että C: n sisällyttäminen M: ään on tosiasiallisesti tasa-arvo.

Laajennus L / C on äärellinen ja Galois'n koska L on hajoaminen kenttä on erotettavissa polynomin P ( X ) = ( X - X 1 ) ... ( X - X n ) , jonka kertoimet (-1) i s n, i kuuluvat ja C .

Alaryhmä Gal ( L / M ) on yhtä suuri kuin koko ryhmä Gal ( L / C ), koska kaikki C -automorphism on L korjauksia kertoimien P , joten permutoi sen juuret X 1 , ..., X n , joten on yhtä suuri kuin a () σ (Lemma 2 laajennettu murtolukuihin), joka kiinnittää kaikki M : n elementit määritelmän mukaan.

Mukaan perustavanlaatuinen lause Galois teoria , joten meillä on: M ⊂ L Gal ( L / M ) = L Gal ( L / C ) = C .

Sitten johdettavissa "olemassaolo" osa lauseen (kaikki symmetrinen polynomi on polynomifunktio alkeishiukkasten symmetrinen polynomit) ja = Z sitten, jonka yleisnimi tahansa kommutatiivinen rengas .

Lauseen "olemassaolon" osa johdetaan seurauksen osasta

Meidän on osoitettava, että rengas A [ X 1 ,…, X n ] S n , joka on kokonaisluku alirenkaan A [ s n , 1 ,…, s n, n ] suhteen, on itse asiassa sama.

Laskentamenetelmät

Ennen minkä tahansa laskentamenetelmän soveltamista, sitten mahdollisesti kussakin vaiheessa, on joskus edullista laskelmien yksinkertaistamiseksi erottaa symmetrinen polynomi P polynomien summaksi, joka on yhtä suuri kuin monomeerien a X 1 α 1 … X n kiertoradat. α n esiintyvät P vaikutuksen alaisena S n . P : n ilmentyminen alkeissymmetristen polynomien suhteen on tällöin vastaavien orbitaalipolynomien ilmentymien summa.

Tällöin on olemassa erilaisia ​​menetelmiä edellä olevassa peruslauseessa esiintyvän polynomin T ilmentämisen tehokkaaksi laskemiseksi . Voimme esimerkiksi perustaa rekursiivisen menettelyn T : n laskemiseksi yhteen kahdesta edellisestä todistuksesta:

Esimerkki

Ehdotamme, että havainnollistetaan kahta edeltävää menettelyä määrittämällä edustus elementtien symmetristen polynomien suhteen Newtonin kolmannen summan kolmessa muuttujassa, jotka koostuvat yhdestä kiertoradasta:

P = p 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 3 + X 2 3 + X 3 3 .

Symmetristen funktioiden peruslauseen käyttö ja sovellukset

Tämän osan tarkoituksena on havainnollistaa tietyllä määrällä sovelluksia ja esimerkkejä symmetristen toimintojen perustavan lauseen käytöstä. Osoittautuu, että sitä käytetään pääasiassa seurauksen kautta, jota usein kutsutaan samalla nimellä. Tämä seuraus vain kertoo, että polynomi-algebrallinen lauseke, jolla on kertoimet kommutatiivisessa renkaassa, integroi A: n , joka sisältää tietyn määrän yksikköpolynomien juuret, joiden kertoimet ovat A: ssa , ja symmetriset kussakin juuriryhmässä, itse asiassa kuuluu A: lle . Sitä sovelletaan erityisesti jos on kenttä K (tässä tapauksessa kaikki algebrallinen elementit on K on kokonaislukuja päällä K ).

On muistettava, että jokainen kommutatiivinen rengas , elementti algebran on kokonaisluku , jos se on juuri polynomin yksikön kanssa kertoimet . Tällainen elementti a on yksikköpolynomien äärettömyyden juuri; oletetaan siis, että jokaiselle kokonaiselementille a on kiinteä polynomi P a .

Huomaa, että jos on integroitu , kertoimet polynomin P α on (at merkki) elementary symmetrinen funktio juuret P α käytettäessä algebrallinen sulkeminen on kehon Fr ( ) fraktiot . Tosiasiassa, että P α on yhtenäinen, meillä on

P α = ( X - α ) ( X - α ' ) ( X - α " )…

missä α , α ' , α " ovat kaikki P α: n juuret , ja tämä ilmaisu on ( X - X 1 ) ( X - X 2 ) ( X - X 3 ): n kuva ... korvausmorfismilla ( edellinen osa), joka lähettää X 1 , X 2 ,… α , α ' ,….

Seuraus  -  Olkoon olla kommutatiivinen rengas, B kommutatiivinen -algebra, ja α i ( j ) (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ) osia B (ei välttämättä erillisiä) siten, että kaikilla i , polynomi P i  = ( x - α i (1) ) ... ( x - α i ( n i ) ) kertoimet joko A: ssa .

Jos P on n 1 n 2 … n m muuttujan polynomi

X 1 , X ' 1 ,…, X 1 ( n 1 ) , X 2 , X' 2 ,…, X 2 ( n 2 ) ,…, X m , X ' m ,…, X m ( n m )kertoimilla A , ja jos P on sisäisesti symmetrinen kussakin muuttujien ryhmässä X i , X ' i ,…, X i ( n i ) , niin elementti E = P ( α 1 , α ' 1 ,…, α 2 , α' 2 ,…, α m , α ' m ,…)

kuuluu A: lle .

Esittely

Perustelemme induktiolla muuttujaryhmien lukumäärää m . Jos m = 0, väite on triviaali . Oletetaan, että m > 0 ja m - 1 -muuttujien väite on tosi, ja tarkastellaan polynomia

Q ( X , X ' ,…, X (n m ) ): = P ( α 1 ,…, α 1 ( n 1 ) ,…, α m –1 ,…, α m –1 ( n m –1 ) , X , X ' ,…, X (n m ) ).

Se on symmetrinen (induktio hypoteesi), jossa kertoimet . Symmetristen funktioiden lauseen mukaan se on siis yhtä suuri kuin polynomilauseke T ( s 1 , s 2 ,…), jonka kertoimilla A on elementaarisia symmetrisiä polynomeja s i ( X, X ',… ) . Koska s i ( α m (1) , α m (2) , ...) kuuluvat A: han (koska ne ovat merkkiä lukuun ottamatta polynomin P m kertoimet ), päätellään, että E = Q ( α m , α m ', ... ) kuuluu A: han .

Merkintä Rengas A voi itse olla polynomien rengas tietyssä määrässä "staattisia" muuttujia Y k , toisin kuin "aktiiviset muuttujat" X i ( j ) .

Symmetristen funktioiden peruslauseen historialliset sovellukset

Kunnes Galois-teoria, symmetristen funktioiden lause oli ainoa työkalu, joka antoi mahdollisuuden tunkeutua algebrallisten yhtälöiden rakenteeseen. Sitä käyttivät useimmat suuret algebraistit, kuten Newton , Lagrange , Abel , Kummer tai Galois, ja vielä myöhemmin, vasta Hilbert ei käyttänyt sitä. Edellisessä osassa mainittu seuraus todellakin sallii aktiivisen suhtautumisen ongelmiin; Sen sijaan, että odotamme ratkaisun itsensä asettamista, voimme a priori muodostaa symmetrisiä lausekkeita ja johtaa niistä halutut ominaisuudet.

Kaikki Abelin algebralliset työt ovat täynnä näitä "symmetroituja" lausekkeita, ja myös tällä tavalla Galois vahvisti teoriansa primitiivisen elementin lauseen kautta. Nykyään itsenäisesti perustettu Galois-teoria on suurelta osin syrjäyttänyt symmetristen toimintojen lauseen käytön. Siitä huolimatta sillä on joitain etuja Galois-teoriaan nähden, mikä tekee siitä edelleen hyödyllisen välineen: se on ensinnäkin epäherkkä kerroinrenkaan luonteelle, joka ei ehkä ole edes kiinteä. Galois-teoria koskee (klassisesti) vain ruumiita. Mutta jopa ruumiissa Galois-teoria pätee vain erotettavissa oleviin jatkeisiin (on totta, että Galois-mekaniikkaa laajennettiin Galois-kehon laajennusten ulkopuolelle . Siitä huolimatta monissa olosuhteissa näiden teorioiden käyttäminen palaisi repimään suurta päällystekiveä). Näissä tapauksissa symmetristen funktioiden lause vallitsee.

Joten löydämme tämän lauseen täältä ja uudesta kommutatiivisesta algebrasta. Kerro meille lainaan esimerkiksi todiste teoreemojen ”  menee ylös  ” ja ”  menossa  ” on Cohen  (en) - Seidenberg  (fi) .

Esimerkkejä

Jotkut seuraavista esimerkeistä toistavat tunnettujen tulosten osoittamisen. Tämäntyyppiset todisteet on yleensä hylätty teoreettisempien hyväksi (nykyaikaisessa matematiikassa on jatkuva taipumus etsiä sisäisiä käsitteitä eikä käyttää älykkäitä, mutta keinotekoisia argumentteja). Näillä "vanhanaikaisilla" todisteilla on kuitenkin tietty viehätys ja ne kuvaavat etua, joka voidaan saada symmetristen funktioiden peruslauseesta.

Esimerkki 1

Olkoon B algebran kommutatiivinen ja α , β 1 , ..., β n ∈ B .

Jos α on juuresta monic polynomin kertoimilla [ β 1 , ..., β n ] ja jos β 1 , ..., β n ovat olennainen yli , niin α on integraali yli .

Siten merkitään C : llä A : n kiinteää sulkeutumista B: ssä , ts. B- kokonaislukuelementtien joukko yli A  :

Todiste: Voimme helposti vähentää induktiolla tapaukseen n = 1 (voimme jopa olettaa, että jokainen β k on kokonaisluku vain A: lla [ β 1 ,…, β k –1 ]).

Olkoon siis P ∈ A [ X , Y ] yhtenäinen suhteessa X : ään siten, että P ( α , β ) = 0 ja Q ∈ A [ Y ], yksikkö siten, että Q ( β ) = 0.

Kirjoita Q muodossa Q ( 1 , ..., m , Y ), jossa 1 , ..., m ∈ ja Q on yhtenäinen polynomin aste m on yleinen Y :

Q = Y m - S 1 Y m –1 +… + (–1) m S m ∈ Z [ S 1 ,…, S m , Y ].

Korvausmorfismi Z: stä [ S 1 ,…, S m ] Z: ksi [ X 1 ,…, X m ], joka lähettää ( S 1 ,…, S m ) eteenpäin ( s m , 1 ,…, s m, m ), on injective, voimme omaksua sen sisällyttämisen ja pitävät S k yhtä suureksi kuin ala-symmetrinen polynomi on X k . Tämän tunnisteen avulla meillä on:

Q = ( Y - X 1 )… ( Y - X m ).

Merkitään R ∈ A [ X , S 1 ,…, S m ]: n P ( X , X k ) tulolla , sitten R then A [ X ] polynomilla R ( X , a 1 ,…, a m ), yhtenäisenä rakentamalla.

Tuotteen P ( X , X k ) - P on sekä muotoa Q U ja muotoa R + P V , jossa U , V ∈ [ X , Y , S 1 , ..., S m ]. Korvaamalla päätellään:

R ( α ) = Q ( β ) U ( α , β , a 1 ,…, a m ) - P ( α , β ) V ( α , β , a 1 ,…, a m ) = 0,

todistaa, että a on integraali A: n suhteen .

Esimerkki 2

Mikä tahansa hajoaminen kenttä on normaali laajennus , eli jos K on kenttä, ja L on hajoaminen alan polynomi kertoimien K sitten kaikkien a: ∈ L , minimaalinen polynomi yli K on a: on halkaistu L .

Todiste: Hypoteesilla L = K ( β 1 ,…, β n ), missä β i ovat polynomin Q ∈ K [ X ] juuret .

Jos a: ∈ L , on siis olemassa järkevä osa f siten, että a: = f ( β 1 , β 2 , ...). Olkoon tt ∈ L [ X ] on tuote kaikkien monomials X - f ( p ö (1) , p ö (2) , ...) , tuote ulottuu joukko permutaatioiden ö on S n .

Polynomi Π on symmetrinen β i , niin sen kertoimet todella kuuluvat K . Koska Π ( α ) = 0, minimaalinen polynomi P on α yli K jakaa Π . Mutta Π on jaettu yli L rakenteellisesti, niin P too.

Esimerkki 3

Käyttämällä symmetristen funktioiden teoreimaa primitiivisen elementin van der Waerden -rakenteessa voimme helposti todistaa, että mikä tahansa kentän K laajennus L , joka syntyy rajallisen erotettavissa olevien elementtien perheen muodostamasta K: sta, sallii erotettavan primitiivisen elementin. Tällä tavoin saadaan helposti, että tällainen jatke L / K on erotettavissa (katso "  Van der Waerdenin rakentaminen  ", esittely ja huomautus).

Esimerkki 4

Mikä on √ 2 + 3 5 √ 7: n pienin polynomi  ? Yleisemmin voimme esittää ongelman määrittää algebrallisten elementtien α 1 , ..., α n minkä tahansa rationaalisen funktion minimipolynomi kentän K yli , josta tunnemme minimipolynomit P α i (tai edes vain peruuttavat polynomit ).

Kun pelattavien yhtälöiden asteet ovat riittävän pienet kohtuullisen koon laskemiseen, voimme harkita seuraavaa algoritmia, muuten liian hankala. Siitä tulee nopeasti epäkäytännöllinen, jopa suhteellisen matalissa asteissa, mutta sillä on olemassa olevia etuja.

Olkoon α = f ( α 1 ,…, α n ) alkuaine, jonka minimipolynomia etsimme. Muodostamme polynomin Π ( X ) kertomalla muodollisesti kaikilla mahdollisilla tavoilla monomalit X - f ( α ' 1 ,…, α' n ) , missä α ' i tarkoittaa mitä tahansa α i: n konjugaattia .

Koska saatu muodollinen lauseke on symmetrinen kussakin konjugaattiryhmässä, se on näiden konjugaattien elementaaristen symmetristen toimintojen funktio ja se voidaan tehokkaasti määrittää hajoamisalgoritmilla elementaaristen symmetristen funktioiden suhteen.

Korvaamalla symmetrinen toiminnot konjugaattien α i vastaavalla kertoimella minimaalinen polynomin α i (liitetään sopiva merkki), saadaan polynomi K [ X ] , joka on väistämättä katoaa α , ja jota taas tarkoittavat Π .

Se on sitten kysymys vähentää Π osaksi jaoton tekijät K , joka edellyttää dekomponointialgoritmi .

Lopuksi, on tarpeen määrittää, mikä on redusoitumattoman tekijöistä on minimaalinen polynomi α  ; tapauksessa, jossa K on lukukenttä , tämä voidaan tehdä käyttämällä Π: n juurien numeerisia likiarvoja .

Huomautuksia ja viitteitä

  1. Katso esimerkiksi viitteet (in) Ben Smith ja Samuel Blum Coskey, "  The Symphric Theorem there Symmetric Polynomials: History's First Whiff of Galois Theory  " , The College Mathematics Journal  (julkaisussa) , voi.  48, n o  1,2017, s.  18–29 ( arXiv  1301.7116 ).
  2. (La) E. Waring, Meditationes algebricae ,1732( 1 st  toim. 1700) ( lue rivi ) (ongelma 3, § 3).
  3. (sisään) Bartel L. van der Waerden , Algebran historia , Springer ,2013( 1 st  toim. 1985) ( lukea verkossa ) , s.  77.
  4. (in) Joseph Rotman  (in) , Galois theory , Springer,1998, 2 nd  ed. ( 1 st  toim. 1990) ( lue linja ) , s.  140.
  5. (en) Jean-Pierre Tignol , Galois'n algebrallisten yhtälöiden teoria , World Scientific ,2015, 2 nd  ed. ( 1 st  toim. 2001) ( lukea verkossa ) , s.  96.
  6. (la) CF Gauss, "  Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam…  " , kommentti. Soc. Reg. Sc. Göttingen , voi.  3,1816( lue verkossa ) (esitetty 7. joulukuuta 1815). Werke , voi. 3, s.  33-56  : katso s.  36-38 .
  7. Esimerkiksi (lähettäjä) Heinrich Weber , Lehrbuch der Algebra , voi.  1,1898, 2 nd tai 3 rd  toim. ( lue verkossa ) , s.  163-167(mainitsi van der Waerden 2013 ), (en) Charles Robert Hadlock , kenttoteoria ja sen klassiset ongelmat , MAA ,2000( lue verkossa ) , s.  42-43(mainittu Rotman 1998 ) tai Tignol 2015 , s.  96-98.
  8. Tämä mielenosoitus on otettu (en) Serge Langiltä , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ], 1965, s.  133-134 .
  9. Kun jätämme Langin tapaan pois yksityiskohtien ylellisyyden (kolme lemmaa).
  10. (lähettäjä) David Hilbert , Die Theorie der algebraischen Zahlkörper , Berliini, Druck und Verlag von Georg Reimer,1897, s.  178 (§2, th.2).
  11. Artikkeli "  Primitiivisen elementin lause  " selittää yksityiskohtaisesti todistuksen Galoisista tästä lauseesta.
  12. Joten jos enemmän on kertoma (tai jopa vain integroituu kanssa GCD ) ja jos a: kuuluu alansa fraktiot, niin a: ∈ .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">