Algebrallinen topologia

Algebrallinen topologia , jota aiemmin kutsuttiin kombinatorisista topologia on haara matematiikan soveltamalla työkaluja algebran tutkimuksessa topologinen avaruus . Pikemminkin se pyrkii yhdistämään niin luonnollisesti muuttumaton algebrallisia ja rakenteisiin topologinen liittyy. Luonnollisuus tarkoittaa, että nämä invariantit varmistavat funktionaalisuuden ominaisuudet kategoriateorian merkityksessä .

Algebralliset invariantit

Perusajatuksena on pystyä yhdistämään algebralliset objektit ( luku , ryhmä , vektoriavaruus jne.) Mihin tahansa topologiseen tilaan siten, että kaksi homeomorfista tilaa yhdistetään kahteen isomorfiseen rakenteeseen ja yleisemmin kuin kahden tilan väliseen jatkuvaan karttaan. liittyy morfismiin kahden algebrallisen rakenteen välillä. Tällaisia esineitä kutsutaan algebrallisiksi invarianteiksi. Luokkateorian terminologiaa käyttämällä tavoitteena on tutkia funktoreita topologisten tilojen luokasta algebrallisessa luokassa, kuten ryhmäluokkia, algebroja, ryhmähoidoita jne. Topologiatulokset käyvät sitten läpi algebran ominaisuuksien edullisemman esittelyn.

Joitakin merkittäviä invarianteja ovat:

Perustavaa laatua topologinen tilaa X pisteessä x : joukko Homotopia luokkia silmukoita ja X kanssa emäksen x , sisäinen koostumus laki on ketjutus silmukoita;
Ylempi Homotopia ryhmiä topologinen avaruus X pisteessä x ;
Homologia tai Kohomologia ryhmiä topologinen tilaa X ;
Ominaisuus luokat todellinen, monimutkainen, Euklidinen tai Hermite vektorikimppu.

Kiinteän pisteen lause Brouwer : minkä tahansa sovelluksen jatkuu suljettu pallo on itsessään myöntää kiinteän pisteen . $\ mathbb {R} ^ {n}$
Karvapallolause : mikä tahansa jatkuva vektorien kentän tangentti alalla jopa ulottuvuus kumoutuu ainakin yksi piste; seurauksena tokamakilla ei voi olla pallomaista geometriaa.
Borsukin-ulamin lause : minkä tahansa jatkuvan kartta alalla S n sisään , on olemassa kaksi antipodisen pistettä, jotka toteuttavat saman arvon tämän kartan. Esimerkiksi milloin tahansa maapallon pinnalla on kaksi täysin vastakkaista pistettä, joilla on sama lämpötila ja sama paine. $\ mathbb {R} ^ {n}$

Merkittäviä algebrallisia topologeja

Bibliografia

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Algebraic topology " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

N. Bourbaki, algebrallinen topologia, luvut 1--4 . Springer, 2016.
Daniel Tanré, Yves Félix, algebrallinen topologia , Dunod, 2010
Claude Morlet, "Algebrallinen topologia", Matematiikan sanakirja - perusteet, todennäköisyydet, sovellukset , Encyclopædia Universalis ja Albin Michel, Pariisi 1998.
Jean-Claude Pont, LA TOPOLOGIE ALGEBRIQUE des origins à Poincaré , PUF, Pariisi, 1974.
L .S. Pontryagin , kombinatorisen topologian perustukset, Graylock Press, Rochester, NY, 1952; ensimmäinen venäläinen painos vuonna 1947.
André Weil , Yhtälöratkaisujen määrä rajallisissa kentissä , tiedote. Katkera. Matematiikka. Soc. , Osa 55, numero 5 (1949), 497-508.

Huomautuksia ja viitteitä

“Algebra saa siten hallussaan kombinatorisen topologian. Tämä selittää, miksi ilmaisu kombinatorinen topologia korvattiin vuoden 1940 ympäri nimellä algebrallinen topologia, joka soveltuu paremmin tämän tieteen menetelmiin. », Jean-Claude Pont, s.2; katso myös Lev Pontriaguinen ja lopuksi André Weilin kirjan otsikko ja sisällysluettelo kirjallisuusluettelossa mainitussa artikkelissaan (s. 506), kirjoittaa: ”Sitten havaitaan, että Poincarén polynomi (kombinatorisen topologian merkityksessä) ) lajikkeen ... "

Aiheeseen liittyvä artikkeli

CW-kompleksi