Riemannin lajike

Vuonna matematiikassa , tarkemmin sanoen geometria , The Riemannin moninaiset on perustavoite tutkittu Riemannin geometria . Kyse on jakotukista , toisin sanoen kaarevasta avaruudesta, joka yleistää käyrät (dimensio 1) tai pinnat (dimensio 2) mihin tahansa ulottuvuuteen n , ja jolle on mahdollista suorittaa pituuslaskelmat .

Teknisesti Riemannin-jakotukki on differentiaalijakaja , jolla on ylimääräinen rakenne, jota kutsutaan Riemannin-metriikaksi, jonka avulla voidaan laskea kahden samaan pisteeseen jakotukkiin tangenttivektorin skalaarinen tulo. Tämän mittarin avulla voidaan määritellä jakoputken kahden pisteen välinen polun pituus ja sitten geodeettiset tiedot, jotka vastaavat lyhimmän polun ongelmaan. Riemannin pakosarjaan liittyvät peruskäsitteet ovat Levi-Civita-yhteys ja kaarevuus .

Perusmäärittelyt ja esimerkit

Virallinen määritelmä

Riemannin jakotukki on tietyn differentiaalisen jakotukin ja, jokaisessa pisteessä , on positiivinen selvä neliöllinen muoto on tangenttitilan ylimääräisiä säännöllisyys oletuksia. Tangenttitilat ovat euklidisia avaruuksia . Säännöllisyysoletukset ilmaistaan kahdella vastaavalla tavalla: $M$ $m$ $g_ {m}$ $T_mM$ $(T_ {m} M, g_ {m})$

Kartan on maailmanlaajuinen osio C-luokan K on vektorikimppu ; $m \ mapsto g_ {m}$ $S ^ {2} T ^ {*} M$
Kaikkien vektori aloilla on soveltamista on C-luokan k . $X, Y$ $M$ $m \ mapsto g_ {m} (X_ {m}, Y_ {m})$

Data kutsutaan Riemannin metriikka on . $g$ $M$

Riemannin metriikat esiintyvät missä tahansa differentiaalijakotukissa ( parakompakti ) ja muodostavat suljetun kuperan kartion ( kohtuullisilla topologioilla ). $\ Gamma S ^ {2} T ^ {*} M$

Jos ja ovat kaksi Riemannin-pakosarjaa, paikallinen isometria on eriteltävä kartta, joka täyttää . Toisin sanoen erot ovat lineaarisia isometrisiä karttoja. Jonka paikallinen inversion lause , kaikki paikalliset isometria on paikallinen diffeomorfismi . $(M, g_ {1})$ $(N, g_ {2})$ $f: M \ oikeanpuoleinen N$ $f ^ {*} g_ {2} = g_ {1}$ $df (x): T_ {x} M \ oikeanpuoleinen nuoli T _ {{f (x)}} N$

Isometrinen (globaali) on paikallinen isometrinen bijektiivi .

Pituus ja etäisyys

Riemannin jakotukit ovat kaikkein perusesimerkkejä Finslerin jakotukista . Yhdistetyn differentiaalijakajan Riemannin-metriikka määrittelee kullekin tangenttitilalle euklidisen normin , jonka antaa: $g$ $M$

\ | v \ | = {\ sqrt {g (v, v)}}

Pituus paloittain käyrä C 1 $γ: [ , b ] \to M$ on määritelty:

L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ gamma '(t) \ | \; {\ mathrm d} t.

Käyrän pituus on invariantti säännöllisen uudelleenparametroinnin avulla.
Pituus Concatenate kahden paloittain C 1 käyrät on pituuksien summa.

Sillä määritämme: $x, y \ M: ssä$

{\ mathrm {d}} (x, y) = \ inf L (\ gamma)

missä infimaatti koskee kaikkia käyriä C 1 alkukappaleiden ja loppujen mukaan . $x$ $y$

Kuten merkinnät osoittavat, $d$ on etäisyys yli kutsutaan Riemannin etäisyys. Huomaa, että jälkimmäinen määrittelee uudelleen topologian . $M$ $M$

Perusesimerkkejä

Pallot

Kun n- pallo on upotettu avaruuteen ℝ n + 1 , sen Riemannin-metriikka on tavallisen etäisyyden indusoima metriikka. On n -sphere keskitetty O ja säde R , kaksi pistettä ja B ovat jo Riemannian (tai geodeettinen) kuljettu pituus kaaren suuren ympyrän, joka yhdistää niitä, joissa . ${\ displaystyle R \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ vec {OA}}. {\ vec {OB}} / R ^ {2}}$

Hyperbolinen tila

Poincaré-levy : hyperbolinen tila on yksikön ball n yksikköpallo, joka toimitetaan mittarilla : $(H ^ {n}, g)$

g = 4 \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {{\ mathrm {d}} x_ {i} ^ {2}} {\ vasen (1- \ vasen \ | x \ oikea \ | ^ {2} \ oikea) ^ {2}}}

Kleinin malli : hyperbolista tilaa edustaa myös yksikköpallo, mutta metriikka on erilainen:

g = {\ frac {\ vasen (\ summa _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} {\ mathrm {d}} x_ {i} \ oikea) ^ {2}} {\ vasen ( 1- \ vasen \ | x \ oikea \ | ^ {2} \ oikea) ^ {2}}} + \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {{\ mathrm {d}} x_ {i} ^ {2}} {1- \ vasen \ | x \ oikea \ | ^ {2}}}

Tässä mallissa hyperbolisen avaruuden viivat ovat yksikön pallon segmenttejä, toisin kuin Poincaré-malli, mutta kulmat eivät säily.

Poincarén puolitaso : tämän hyperbolisen avaruuden mallin antaa ylemmälle puoliavaruudelle määritelty metriikka : ${\ mathbb {R}} _ {*} ^ {+} \ kertaa {\ mathbb {R}} ^ {{n-1}}$

g = \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {{\ mathrm {d}} x_ {i} ^ {2}} {x_ {1} ^ {2}}}

Yläpuolitason yksikkölevyn nimenomainen isometria saadaan napainversiolla : $t = (- 1,0, \ pistettä, 0)$

x \ mapsto t + 2 {\ frac {xt} {\ vasen \ | xt \ oikea \ | ^ {2}}}

Huomaa: hyperbolista tilaa esiintyy aritmeettisessa kentässä , jossa yleensä käytetään ylemmän puolitason mallia. Geometriassa maut jaetaan hyvin laajasti: Poincaré-levyn malli tarjoaa paremman grafiikan edun kuvioissa. On muitakin malleja (kuten hyperboloidimalli ), joita ei käytetä käytännössä vähän. $H ^ {2}$

Yhteydestä geodeettiseen

Levi-Civita-yhteys

Riemannin-jakotukissa on ainutlaatuinen yhteys ilman vääntöä D siten, että kaikille vektorikentille : $(M, g)$ $X Y Z$

Xg (Y, Z) = g (D_ {X} Y, Z) + g (Y, D_ {X} Z).

Tätä yhteyttä kutsutaan Levi-Civita yhteys on , tai kanonisen yhteyden. Tämä tulos on Riemannin geometrian peruslause . $(M, g)$

Jos on differentioituva, vektori kenttä pitkin f on yleinen osa vektorikimppu , joten joko sovelluksen , kuten jokaisen pisteen , meillä on: . Merkitään vektorikenttien tilaa pitkin . $f: N \ oikeanpuoleinen M$ $f ^ {*} TM$ $X: N \ rightarrow TM$ $n \ sisällä N$ $X (n) \ muodossa T _ {{f (n)}} M$ $\ Gamma \ vasen [f ^ {*} TM \ oikea]$ $f$

Geodeettiset yhtälöt

Riemanian jakotukin geodeettiset ominaisuudet täyttävät seuraavan differentiaaliyhtälön:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x ^ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ summa _ {j, k} \ Gamma _ {jk} ^ {i} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {dt}} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {k}} {dt}} = 0}

Hopf-Rinow-lause

Seuraavat ominaisuudet vastaavat:

minkä tahansa pisteen kohdalla sovelluksen $exp$ $m$ arvoksi asetetaan ; $m$ $T_mM$
jakotukki on geodeettisesti täydellinen, ts. geodeettiset ominaisuudet on määritelty kohdassa ℝ; $(M, g)$
tila on täydellinen Riemannin etäisyydelle; $M$
pallot suljettu ja rajatun on kompakti .

Kaarevuus

Yleistykset

Riemannin moninaisen käsite yleistyy kahteen täysin eri suuntaan.

Korvataan g kentällä, joka ei ole rappeutumattomia neliöllisiä muotoja millä tahansa allekirjoituksella ( pseudo-Riemannin pakosarjat ). Meillä on edelleen Levi-Civita-yhteys, geodeettiset ominaisuudet ja kaarevuus, mutta geometriset ominaisuudet ovat täysin erilaiset.

Olemme kiinnostuneita metrisestä rakenteesta . Luonnollinen yleistys on silloin pituustila . Näitä tiloja on tutkittu erityisesti venäläisessä koulussa (DA Alexandrov, ja viime aikoina G. Perelman ja M. Gromov ).

Katso myös

Bibliografia

(en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin ja Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ yksityiskohdat painoksesta ]
(en) Jürgen Jost , Riemannin geometria ja geometrinen analyysi ,2002[ yksityiskohdat painoksista ]
(en) Gerard Walschap, Metriset rakenteet differentiaaligeometriassa , Springer.

Ulkoinen linkki

Pierre Pansu , differentiaaligeometriakurssi , Master 2 -taso

Aiheeseen liittyvät artikkelit