Algebrallinen sarja
On algebrallinen geometria , algebrallinen joukko on joukko ratkaisuja järjestelmän polynomiyhtälöiden useita muuttujia. Nämä ovat affiinisen tai projektiivisen algebrallisen jakotukin pisteet . Ne toimivat intuitiivisena tukena algebralliselle geometrialle.
Affine-algebralliset joukot
Tässä osiossa merkitään algebrallisesti suljettu kenttä (esimerkiksi ℂ), kokonaisluku suurempi tai yhtä suuri kuin yksi. Pidämme affiinia tilaa ulottuvuus on , eli joukko (ilman algebrallinen rakenne).
k{\ displaystyle k}ei{\ displaystyle n}ei{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}kei{\ displaystyle k ^ {n}}
Määritelmä. Antaa olla osa polynomien rengasta , kutsumme algebrallisen joukon, joka liittyy S: ään, ja me merkitsemme seuraavaa osajoukkoa :
S{\ displaystyle S} k[X1,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}Z(S){\ displaystyle Z (S)}kei{\ displaystyle k ^ {n}}
Z(S)={(x1,...,xei)∈kei∣∀f∈S, f(x1,...,xei)=0}{\ displaystyle Z (S) = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ k ^ {n} \ keskellä \ kaikki f \ S: ssä, \ f (x_ {1}, \ ldots , x_ {n}) = 0 \}}
eli peruutuspaikka, joka on yhteinen kaikille .
S{\ displaystyle S}
Esimerkkejä :
- In affiini tasossa , locus peruuttamisen polynomi kahden nollasta muuttujat on affiininen algebrallinen joukko kutsutaan tasokäyrän ja asteen polynomin kutsutaan asteen käyrän. Viivat ovat asteen 1 algebralaisia sarjoja, kartiokartiot asteen 2, kuutiot asteen 3 ja niin edelleen.k2{\ displaystyle k ^ {2}}
- Affiinitilassa ei-nolla-kolmen muuttujan polynomin peruutussijainti on affiininen algebrallinen joukko, joka on algebrallinen pinta . Aivan kuten käyrien kohdalla, määritellään pinnan aste, tasojen 1 asteen , asteen 2 kvadriikat jne.k3{\ displaystyle k ^ {3}}
- Affiinisessa tilassa mikä tahansa äärellinen pistejoukko on affiininen algebrallinen joukko.
Huomautukset
- Jos on S : n tuottama ihanne , niin . Erityisesti, kuten on Noetherian , muodostetaan rajallinen osa . Tästä seuraa . Toisin sanoen algebrallinen joukko on aina ideaalin elementeille yhteinen peruutuspaikka ja myös lopulliselle määrälle polynomeja yhteinen peruutuspaikka .Minä{\ displaystyle I}k[X1,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}Z(Minä)=Z(S){\ displaystyle Z (I) = Z (S)}k[X1,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}Minä{\ displaystyle I}S′{\ displaystyle S '}Z(S)=Z(S′){\ displaystyle Z (S) = Z (S ')}
- Kun otetaan huomioon algebrallinen joukko , voimme palata ihanteisiin, joissa kysytään I (E): tä, joka on yhtä suuri kuin polynomien joukko, joka katoaa E: stä . Ihanteellinen I (E) on silloin säteittäinen . Esimerkiksi k = ℂ: lle algebrallinen kaikki nollat X2 pienennetään pisteeseen 0 ja ihanteellinen I (X2 = 0) on yhtä suuri kuin sen radikaali, nimittäin X: n tuottama ideaali . Polynomin x2 -radikaalin tuottama ihanne ei kuitenkaan ole, koska se ei sisällä X: ää .E=Z(Minä)⊂kei{\ displaystyle E = Z (I) \ osajoukko k ^ {n}}k[X1,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}
- Elementit osamäärän renkaan sitten tunnistetaan rajoituksia E polynomin karttoja ja k . Niitä kutsutaan algebrallisen joukon E säännöllisiksi funktioksi . By Noetherin n normalisointi lemma , säännölliset toiminnot ovat myös algebrafunktiot .k[X1,...,Xei]/Minä(E){\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)}kei{\ displaystyle k ^ {n}}
- Koska k on algebrallisesti suljettu, Hilbertin nolla lause väittää, että toiminto I on bijektio välillä algebrallinen sarjaa ja juuri ihanteita on . Tarkemmin sanottuna, on radikaali ja J . Pisteet algebrallisen joukon E vastaa suurin maksimaalinen ihanteita on .kei{\ displaystyle k ^ {n}}k[X1,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}Minä(Z(J)){\ displaystyle I (Z (J))}k[X1,...,Xei]/Minä(E){\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)}
- Algebrallisen joukon E sanotaan olevan lukukelvoton, jos I (E) on pääideaali.
Ominaisuudet :
-
Z({0})=kei{\ displaystyle Z (\ {0 \}) = k ^ {n}},
-
Z({1}){\ displaystyle Z (\ {1 \})} on tyhjä;
-
Z(Minä)∪Z(J)=Z(Minä∩J){\ displaystyle Z (I) \ cup Z (J) = Z (I \ cap J)};
- Risteyksessä perheen algebrallinen sarjaa on yhtä suuri kuin , missä on ihanteellinen syntyy , eli summa on .Z(Minäλ){\ displaystyle Z (I _ {\ lambda})}Z(Minä){\ displaystyle Z (I)}Minä{\ displaystyle I}∪λMinäλ{\ displaystyle \ cup _ {\ lambda} I _ {\ lambda}}Minäλ{\ displaystyle I _ {\ lambda}}
Projektiiviset algebralliset joukot
Projektiivinen algebrallinen geometria on mukavampi kehys kuin affiinigeometria. Projektiivisuus on topologisen tiiviyden vastaava ominaisuus . Lause Bézout koskee vain projektiivista lajikkeita.
Kehys. Tässä osassa merkitään ulottuvuuden n projektivista tilaa k: n yli , ts. Joukkoa , missä on ekvivalenssisuhde (kollineaarisuhde), joka identifioi kaksi pistettä x ja y vain silloin, jos x ja y ovat samalla vektorilinjalla. Ulottuvuuden n projektivinen tila identifioidaan siis k- vektoritilan dimensio n +1: n vektoriviivojen joukon kanssa . Pisteen luokka on merkitty . Nämä ovat pisteen homogeeniset koordinaatit .
Pei(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}kei+1∖{0}/R{\ displaystyle k ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \} / R}R{\ displaystyle R}Pei(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}(x0,...,xei){\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}(x0:...:xei){\ displaystyle (x_ {0}: \ ldots: x_ {n})}xi{\ displaystyle x_ {i}}(x0:...:xei){\ displaystyle (x_ {0}: \ ldots: x_ {n})}
Määritelmä. Olkoon S renkaan homogeenisten polynomien joukko . Kutsumme algebrallista (projektiivista) joukkoa, joka liittyy S: ään , ja merkitsemme seuraavaa osajoukkoa :
k[X0,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {0}, \ pistettä, X_ {n}]}Z+(S){\ displaystyle Z _ {+} (S)}Pei(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}
Z+(S)={(x0:...:xei)∈Pei(k)∣∀f∈S, f(x0,...,xei)=0}.{\ displaystyle Z _ {+} (S) = \ {(x_ {0}: \ ldots: x_ {n}) \ sisään \ mathbb {P} ^ {n} (k) \ keskellä \ kaikki f \ S: ssä , \ f (x_ {0}, \ pistettä, x_ {n}) = 0 \}.}
Huomaa, että polynomin f peruuttaminen pisteessä riippuu vain tämän yhden moduulin suhteesta, koska f on homogeeninen. Siksi kokonaisuus on hyvin määritelty . + -Indeksiä käytetään erottamaan homogeeniset nollat affiinisista nollista.
(x0,...,xei)≠0{\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ neq 0}(x0:...:xei){\ displaystyle (x_ {0}: \ ldots: x_ {n})}R{\ displaystyle R}Z+(S){\ displaystyle Z _ {+} (S)}
Jos minä on homogeeninen ihanne on , on kaikki liittyy joukko homogeeninen polynomi I .
k[X0,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {0}, \ pistettä, X_ {n}]}Z+(Minä){\ displaystyle Z _ {+} (I)}Z+{\ displaystyle Z _ {+}}
Esimerkki Antaa olla nollasta poikkeava, kaksivaihteleva homogeeninen polynomi, jonka aste on d . Projektiiviselle algebrallinen joukko on projektiivinen taso on nimeltään tasossa projektiivisen käyrä , aste d . Polynomi (missä on luonnollinen kokonaisluku) määrittelee tasomaisen projektivisen käyrän, jonka pisteet ovat Fermatin yhtälön homogeenisia ratkaisuja.
F(X0,X1,X2){\ displaystyle F (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2})}Z+(F){\ displaystyle Z _ {+} (F)}P2(k){\ displaystyle P ^ {2} (k)}X0ei+X1ei-X2ei{\ displaystyle X_ {0} ^ {n} + X_ {1} ^ {n} -X_ {2} ^ {n}}ei{\ displaystyle n}
Merkintä.
- Jos I on S : n tuottama (homogeeninen) ihanne , niin . Koska I syntyy rajallisella määrällä homogeenisia polynomeja, projektiivinen algebrallinen joukko voidaan aina määrittää rajallisella määrällä homogeenisia polynomeja.k[X0,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {0}, \ pistettä, X_ {n}]}Z+(Minä)=Z+(S){\ displaystyle Z _ {+} (I) = Z _ {+} (S)}
- Kuten affiinisten algebrallisten ryhmien tapauksessa, on projektiivinen Hilbertin nollateoreema, joka muodostaa yhdenmukaisen vastaavuuden projektiivisten algebrallisten joukkojen ja homogeenisten säteittäisten ihanteiden välillä, jotka eroavat toisistaan generoidusta ihanteesta . Projisoitavan tilan piste vastaa homogeenista pääideaalia, joka on maksimissaan tiukasti . Yhdistetään homogeenisten koordinaattien pisteeseen idea, jonka generoi , i: lle ja j: lle välillä 0 ja n .Pei(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}(X0,...,Xei){\ displaystyle (X_ {0}, \ pistettä, X_ {n})}X0,...,Xei{\ displaystyle X_ {0}, \ ldots, X_ {n}}(X0,...,Xei){\ displaystyle (X_ {0}, \ pistettä, X_ {n})}(x0:⋯:xei){\ displaystyle (x_ {0}: \ pisteet: x_ {n})}xiXj-xjXi{\ displaystyle x_ {i} X_ {j} -x_ {j} X_ {i}}
Ominaisuudet :
-
Z+({0})=Pei(k){\ displaystyle Z _ {+} (\ {0 \}) = \ mathbb {P} ^ {n} (k)},
-
Z+({1}){\ displaystyle Z _ {+} (\ {1 \})} on tyhjä;
-
Z+(Minä)∪Z+(J)=Z+(Minä∩J){\ displaystyle Z _ {+} (I) \ cup Z _ {+} (J) = Z _ {+} (I \ cap J)};
- Projektiivisten algebrallisten ryhmien perheen leikkauspiste on yhtä suuri kuin missä on ihanteiden summa (se on edelleen homogeeninen).Z+(Minäλ){\ displaystyle Z _ {+} (I _ {\ lambda})}Z+(Minä){\ displaystyle Z _ {+} (I)}Minä{\ displaystyle I}Minäλ{\ displaystyle I _ {\ lambda}}
Zariski-topologia
Affiinitila k n (tai projektiivinen ) on varustettu niin sanotulla Zariski- topologialla . Tämän topologian suljetut osat ovat k n: n algebralliset joukot (tai Projektiiviset algebralliset joukot ).
Pei(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}Pei(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}
Esimerkki : affiinilinjan k Zariski-topologia on co-äärellinen topologia .
Zariskin topologia algebrallisessa joukossa (tai Projektiivinen algebrallinen joukko) on määritelmän mukaan topologia, jonka indusoi sitä sisältävä affiininen (tai Projektiivinen) tila. Zariski-topologia affiinitapauksessa on analoginen Zariski-topologian kanssa renkaan pääspektrissä .
Affiinisen (tai projektiivisen) tilan merkittävät avoimet osat ovat tärkeimmät avoimet osat (eli ), toisin sanoen (vastaava ) täydennysosa . Algebralliselle joukolle avoimen päärajoituksen rajoitusta kutsutaan algebrallisen joukon pääavaksi. Tärkeimmät aukot muodostavat topologian perustan .
D.(f){\ displaystyle D (f)}D.+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}Z({f}){\ displaystyle Z (\ {f \})}Z+({f}){\ displaystyle Z _ {+} (\ {f \})}
Avoin osajoukko affiini (vast. Projektiivinen) algebrallinen joukkoa kutsutaan lähes affiinisia (vast. Quasi-projektiiviset ).
Affiini tila on lähes projektiivinen koska se tunnistetaan avoin ja soveltamalla . Varmistamme, että tämä kartta indusoi kuvassa olevan affinisen tilan homeomorfismin . Tästä seuraa, että mikä tahansa kvasi-affiininen algebrallinen joukko on näennäisprojektiivinen.
kei{\ displaystyle k ^ {n}}Pei(k)∖Z+(X0){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k) \ setminus Z _ {+} (X_ {0})}Pei(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}(x1,...,xei)→(1:x1:...:xei){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ - (1: x_ {1}: \ ldots: x_ {n})}
Zariskin topologia on ilmeisesti melko huono (vähän aukkoja, kahta pistettä ei yleensä erota erillisillä avoimilla naapurustoilla), mutta se riittää moniin tarkoituksiin.
Suhteet affiinisten algebrallisten ryhmien ja projektiivisten algebrallisten joukkojen välillä : Projektiivinen algebrallinen joukko Z on rajallinen aukkojen liitos (Zariski-topologiaan nähden), jotka ovat affiinisia algebrallisia sarjoja. Itse asiassa Z määritetään kumoamalla homogeeniset polynomit, joissa on n +1 muuttujaa. Merkitään sellaisten joukko , jotka eivät ole nollia. Joten on auki ; kansi ; on vielä nähtävissä, että kyseessä on affiininen algebrallinen joukko. Jos , ja jos on sarja polynomeja kun homogeeninen polynomi ajetaan sisään , sitten helposti nähdä, että on algebrallinen asetettu vuonna .
Zi{\ displaystyle Z_ {i}}(x0:...:xei)∈Z{\ displaystyle (x_ {0}: ...: x_ {n}) \ Z: ssä}xi{\ displaystyle x_ {i}}Zi=Z∖(Z∩Z+(xi)){\ displaystyle Z_ {i} = Z \ setminus (Z \ cap Z _ {+} (x_ {i}))}}Z{\ displaystyle Z}Zi{\ displaystyle Z_ {i}}Z{\ displaystyle Z}Zi{\ displaystyle Z_ {i}}Z=Z+(S){\ displaystyle Z = Z _ {+} (S)}Si{\ displaystyle S_ {i}}F(x0,...,xi-1,1,xi+1,...,xei){\ displaystyle F (x_ {0}, ..., x_ {i-1}, 1, x_ {i + 1}, ..., x_ {n})}F{\ displaystyle F}S{\ displaystyle S}Zi{\ displaystyle Z_ {i}}Z(Si){\ displaystyle Z (S_ {i})}kei{\ displaystyle k ^ {n}}
Kaikkien peruselinten tapaus
Jos tukiasema kenttä k ei ole algebrallisesti suljettu, algebrallinen joukko yli k on algebrallinen joukko käytettäessä algebrallinen sulkeminen k on k , määritellään polynomit kertoimet k . Esimerkiksi, joukko pareja (a, b) e ℚ 2 siten, että 2 + b 3 -1 = 0 on algebrallinen joukko yli ℚ. Toisaalta suhde a 2 + b 3 - √ 2 = 0 ei määritä sellaisenaan algebraa, joka on asetettu ℚ: lle.
Huomautuksia ja viitteitä
-
(in) "Affine algebraic set" julkaisussa Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lue verkossa )
Aiheeseen liittyvä artikkeli
Tason todellinen algebrallinen käyrä
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">