Pseudometrinen tila

Vuonna matematiikka , joka on pseudometric tila on asetettu varustettu pseudometric . Se on yleistys metrisen avaruuden käsitteelle .

On vektori tilaa , aivan kuten normi indusoi etäisyys , joka on puoliksi normi indusoi pseudometric. Tästä syystä funktionaalisessa analyysissä ja siihen liittyvissä matemaattisissa tieteissä termiä semimetrinen tila käytetään synonyyminä pseudometrisen tilan kanssa (kun taas " semimetrisellä avaruudella " on toinen merkitys topologiassa).

Määritelmä

Pseudometric joukkoon on sovellus $X$

{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ kertaa X \ arvoon \ mathbb {R} _ {+}}

sellainen, että kaikesta , ${\ displaystyle x, y, z \ X: ssä}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ vasen (x, x \ oikea) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = \ mathrm {d} \ left (y, x \ right)}$ (symmetria);
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ vasen (x, z \ oikea) \ leq \ mathrm {d} \ vasen (x, y \ oikea) + \ mathrm {d} \ vasen (y, z \ oikea)}$ ( kolmiomainen epätasa-arvo ).

Toisin sanoen, pseudometric on äärellinen-arvo poikkeama .

Pseudometric tila on joukko, joka on varustettu pseudometric yksi.

Toisin kuin metrisen avaruuden pseudometrisen avaruuden pisteet eivät välttämättä ole havaittavissa - toisin sanoen voi olla erillisiä pisteitä . ${\ mathrm d} (x, y) = 0$ $x \ ne y$

Esimerkkejä

Jos on poikkeama joukosta , niin on pseudometrinen päällä ; ${\ mathrm d}$ $X$ ${\ displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}$ $X$
Jos on semi-normi yli vektori tila , niin on pseudometric yli . Päinvastoin, mikä tahansa homogeeninen translaatioinvarianttinen pseudometriikka tulee puolinormista. Konkreettinen esimerkki tällaisesta tilanteesta on todellisten arvojen omaavien funktioiden vektoriavaruudessa : valitsemalla piste voimme määrittää pseudometrisen arvon . $s$ $V$ ${\ mathrm d} \ vasen (x, y \ oikea) = p \ vasen (xy \ oikea)$ $V$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ ${\ displaystyle f: X \ - \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ X: ssä$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ vasen (f, g \ oikea) = | f \ vasen (x_ {0} \ oikea) -g \ vasen (x_ {0} \ oikea) |}$

Pseudometriseen topologiaan liittyvä pseudometrinen topologia on avoin pallojen joukon indusoima : ${\ mathrm d}$

{\ displaystyle B_ {r} \ vasen (p \ oikea) = \ {x \ X: ssä \ keskellä \ mathrm {d} \ vasen (p, x \ oikea) <r \}}

Topologinen tilaa sanotaan olevan ”pseudometrizable”, jos on olemassa pseudometric jonka liittyy topologia yhtenevä että tilan.

Huomaa: Avaruus on mitattavissa vain (ja vain jos) se on pseudometroitavissa ja T 0 .

Metrinen tunnistus

Jakamalla pseudometrisen tilan pseudometrisen kumoavan vastaavuussuhteen avulla saadaan metrinen tila . Määritämme tarkemmin

{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ vasen (x, y \ oikea) = 0}

ja saamme matkan päälle by asetus: ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}$ $X ^ {*} = X / \ sim ~$

{\ mathrm d} ^ {{*}} \ vasen (\ vasen [x \ oikea], \ vasen [y \ oikea] \ oikea) = {\ mathrm d} \ vasen (x, y \ oikea)

Topologian metrinen avaruus on osamäärä topologia on että . ${\ displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}$ ${\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}$

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Pseudometric space " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

(in) " Pseudometric topologia " päälle PlanetMath .

Bibliografia

(en) AV Arkhangelskii ja LS Pontryagin , yleinen topologia I , Springer ,1990, 202 Sivumäärä ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
(en) Eric Schechter (en) , analyysin ja sen perustusten käsikirja , Academic Press ,1997, 883 Sivumäärä ( ISBN 978-0-08-053299-8 , lue verkossa )
Laurent Schwartz , Analyysikurssi , voi. 2, Hermann ,yhdeksäntoista kahdeksankymmentäyksi, 475 Sivumäärä ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
(en) Lynn Arthur Steen ja J. Arthur Seebach , nuorempi , vasta-esimerkkejä topologiassa , Dover ,1995, 244 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-68735-3 , luettu verkossa ) , s. 34