On matemaattinen analyysi , Kakutani n kiinteän pisteen lause on kiinteä piste lause joka yleistää Brouwer n ja toimintoja asetetut arvot . Se tarjoaa riittävä ehto on sellainen toiminto, joka määritellään on kupera kompakti on Euclidean tilan , olla kiinteä piste , eli tässä yhteydessä: kohta, joka kuuluu sen kuvan mukaan tätä toimintoa.
Shizuo Kakutani osoitti tämän lauseen vuonna 1941 ja sen suositteli John Forbes Nash , joka käytti sitä kuvaillessaan Nash-tasapainoa . Sillä on sittemmin ollut monia sovelluksia peliteoriassa ja taloustieteessä .
Kakutanin lause on seuraava:
Olkoon S kompakti kupera, tyhjä euklidinen avaruus ja φ S sovelluksen koko S: n 2 S: n osassa . Jos kuvaaja φ on suljettu sisään S x S , ja jos mistä tahansa pisteessä x S, φ ( x ) on ei-tyhjä kupera, niin φ on kiinteä piste .Tässä lausunnossa määritelmän mukaan:
Jotkut lähteet, mukaan lukien Kakutanin alkuperäinen artikkeli, tuovat esiin käsitteen ylemmästä hemikontinuiteetista , jonka määrittelee:
Hakemus φ: X → 2 Y on superiorly hémicontinue jos jokin avoin W ja Y , pisteiden joukko x , joille φ ( x ) on sisällytetty W on avoin X .Lause voidaan sitten muotoilla uudelleen seuraavasti:
Olkoon S euklidisen avaruuden ei-tyhjä kupera kompakti ja φ: S → 2 S korkeampi puoliksi jatkuva kartta. Jos jossakin S: n pisteessä x φ ( x ) on suljettu ei-tyhjä kupera, niin φ: llä on kiinteä piste.Tämä muunnos vastaa edellistä lausuntoa, koska asetettujen arvojen funktioiden suljetun kaavion teoreeman mukaan minkä tahansa kompaktin Y : n kartan graph : X → 2 Y kaavio on suljettu vain ja vain, jos φ on ylivoimaisesti puolijatkuva ja kaikki φ ( x ) ovat kiinni.
Tässä tarkasteltu kupera kompakti S on väli [0, 1].
Kartan φ määritelty φ ( x ) = [1 - x / 2, 1 - x / 4] täyttää hypoteesit lause, on tämän vuoksi on kiinteä pistettä. Voimme varmistaa sen suoralla resoluutiolla: 1 - x / 2 ≤ x ≤ 1 - x / 4 vastaa 2/3 ≤ x ≤ 4/5.
Oletus, että φ ( x ) ovat kuperia, on välttämätön tässä lauseessa: anna φ määritellä
Tällä toiminnolla ei ole kiinteää pistettä. Se täyttää kaikki lauseen oletukset, lukuun ottamatta φ: n (1/2) kuperuutta .
Kartalla φ, jonka määrittää φ ( x ) = [ x / 3, 2 x / 3], jos x > 0 ja φ (0) =] 0, 1] ei ole kiinteää pistettä. Se on erittäin puolijatkuvaa ja ei-tyhjiä kuperia arvoja, mutta sen kaavio ei ole suljettu, koska φ (0) ei ole.
Matemaatikko John Forbes Nash käytetään Kakutani kiinteän pisteen lause, osoittaa merkittävä lauseen peliteorian , yksi seuraus on, että kyseessä on Nashin tasapaino millään ääretön mixed-strategia peli , riippumatta siitä, montako n pelaajia. Tämä työ ansaitsi hänelle " Nobel-palkinnon taloustieteessä ".
Tässä tapauksessa S on joukko n- strategioiden joukkoa , jonka n pelaaja voi valita, ja φ ( x ) on joukko optimaalisten strategioiden (ei välttämättä ainutlaatuisia) n- joukkoa kullekin pelaajalle vastauksena muiden valitsemiin pelaajat sekoitetussa strategiassa x . Nash tasapaino peliä on kiintopiste φ , eli n -tuple strategioita, joista kukin komponentti on optimaalinen vaste pelaaja vastaa valintaa muista komponenteista muut pelaajat. Kakutanin lause varmistaa tällaisen kiinteän pisteen olemassaolon.
Yleisen tasapainotalouden teorian mukaan Kakutanin teemaa on käytetty osoittamaan kysynnän ja tarjonnan vastaavien hintojen olemassaolo kaikilla talouden markkinoilla. Kysymys tällaisten hintojen olemassaolosta palasi ainakin Léon Walrasille . Ensimmäisen todistuksen antoi Lionel McKenzie . Kakutanin lause on olennainen perusta Gérard Debreun (ranskalaisamerikkalainen taloustieteilijä, jonka työ on palkittu taloustieteen Nobel-palkinnolla ) ”arvoteorialle ”.
Tässä tapauksessa S on joukko n monikon hyödykkeiden hinnat. Toiminto φ on valittu niin, että tuloksena φ ( x ) eroaa argumentin x niin pian kuin n -tuple x hinta ei ole yhtä kysynnän ja tarjonnan kaikkialla. Haasteena on luoda kartta φ, joka varmistaa sekä tämän ominaisuuden että Kakutanin lauseen hypoteesit. Jos sellaisella φ: llä on sellainen, sillä on kiinteä piste, joka rakenteeltaan tasaa tarjonnan kysyntään kaikkialla.
(Katso toinen todiste seuraavasta osasta.)
Todiste on paljon yksinkertaisempi, kun S on reaalilinjan segmentti , mutta tämä tapaus on opettavainen, koska sen yleinen strategia mukautuu korkeampiin ulottuvuuksiin.
Olkoon φ : [0, 1] → 2 [0, 1] kartta, joka täyttää lauseen hypoteesit.
Mukaan kuperuus φ ( x ), päättelemme, että x kuuluu cp ( x ), eli x on kiintopiste φ .
Mitassa n > 1 menetelmä on olennaisesti sama, jos S on n - yksinkertaisuus . Ainoa mukautus on ensimmäisessä vaiheessa:
Jos S (ei-tyhjä) on kompakti ulottuvuus kupera n Euclidean tilan, voidaan aina olettaa, että ulottuvuus tila on myös n , ja 0 on sisätila ja S . Sitten valita n -simplex S sisältäviä S , ja laajennamme kartalla φ: S → 2 S osaksi kartan φ ': S → 2 S , valitsemalla φ' säteittäin vakio komplementti sisätilojen S . Sitten, jos ( S, φ ) tyydyttää Kakutanin lauseen hypoteesit, ( S ', φ' ) myös vahvistaa ne, joten (edellisen yksinkertaisuuteen S sovelletun tapauksen mukaan ) φ ' on kiinteä piste x ∈ φ ' ( x ). Mutta koska kaikki kuvat φ ' sisältyvät S , x sitten kuuluu S , niin φ' ( x ) = φ ( x ) ja X on kiintopisteen φ .
Kakutanin kiinteän pisteen lause laajennettiin erillisiksi paikallisesti kuperiksi , äärettömän kokoisiksi tiloiksi Ky Fanin ja Irving Glicksbergin toimesta.
Kakutani-Fan-Glicksberg-lause voidaan sanoa seuraavasti:
Olkoon S kompakti ei-tyhjä kupera erillisestä paikallisesti kuperasta avaruudesta ja φ: S → 2 S korkeampi puoliksi jatkuva kartta. Jos jossakin S: n pisteessä x φ ( x ) on suljettu ei-tyhjä kupera, niin φ: llä on kiinteä piste.Se on yleistys moniarvoista toimintoja ja Tychonoff kiinteän pisteen lause , jonka mukaan mitään epätyhjät kompakti kupera S erillinen paikallisesti kupera tilaa, mikä tahansa jatkuva kartta välillä S ja S on kiinteä piste. Moniarvoisten toimintojen tapaus, kuten sovellukset, voidaan päätellä Brouwerin kiinteän pisteen lauseesta :
EsittelyTahansa kupera -osassa V 0, noin valinta lause aikaansaa rajallinen ulotteinen vektori aliavaruus G V ja jatkuva kartta f V : S → S ∩ G- V sellainen, että missään kohdassa z ja S , ( z , f V ( z ) ) kuuluu ryhmään Gr (φ) + ( V × V ). Kiinteän pisteen lause Brouwer osoittaa olemassaolon S ∩ G V pisteen x V kiinteän f V . Olkoon x olla arvo tarttuvuuden on S ja yleisen sekvenssin ( x V ). Pari ( x , x ) kiinnittyy sitten the: n kuvaajaan, joten se kuuluu siihen, koska tämä kaavio on suljettu. Siksi x on fixed: n kiinteä piste.
Kuten Euclidean tapauksessa, vastaava formulaatio on:
Olkoon S ei-tyhjä kompakti kupera paikallisesti kupera tila erotettuna ja sovelluksen φ S kahdessa S: ssä . Jos the: n kaavio on suljettu ja jos S: n minkä tahansa pisteen x kohdalla φ ( x ) on tyhjä kupera, niin compact: n kiinteiden pisteiden (kompakti) joukko ei ole tyhjä.tai:
Olkoon S kompakti ei-tyhjä kupera erillisestä paikallisesti kuperasta avaruudesta E ja φ: S → 2 E korkeampi puoliksi jatkuva kartta. Jos jossakin S: n pisteessä x φ ( x ) on suljettu kupera kokous S, niin φ: llä on kiinteä piste.(en) John Hillas, ” Fixed Point Theorems ” , Aucklandin yliopistossa
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">