Z-muunnos

Muunnos ation Z on matemaattinen työkalu automaattista ja signaalinkäsittelyn , joka on vastaava diskreetti on Laplace-muunnos . Se muuttuu todellinen aika-alueen signaaliksi, joka edustaa monimutkainen sarja ja kutsutaan muuttaa ed Z .

Sitä käytetään muun muassa digitaalisten suodattimien laskemiseen, joilla on ääretön impulssivaste, ja automaattisessa tilassa mallinnamaan dynaamisia järjestelmiä erillisellä tavalla.

Määritelmä

Sen matemaattinen määritelmä on seuraava: muutos Z on sovellus, mikä muuttuu sekvenssin s (määritelty kokonaislukuja) tulee funktio S on monimutkainen muuttujan nimeltään z siten, että

S(z)=Z{s(ei)}=∑ei=-∞+∞s(ei)z-ei,z∈{z∈VS|∑ei=-∞+∞s(ei)z-eivs.oeiverge}{\ displaystyle S (z) = {\ mathcal {Z}} \ {s (n) \} = \ summa _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} , \ quad z \ sisään \ vasen \ lbrace z \ sisään \ mathbb {C} {\ Big |} \ summa _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm {lähentyminen} \ oikea \ rbrace}

Muuttuja n edustaa yleensä diskretisoitua aikaa , kompleksimuuttuja z on vain matemaattinen olento. Kun työskentelemme s ( n ): n kanssa, sanomme olevamme aika-alueella , kun työskentelemme S ( z ): n kanssa, toimialuetta kutsutaan taajuudeksi analogisesti Fourier-muunnoksen kanssa.

Kyllä , puhumme kausaalisesta signaalista. Päinvastoin, kyllä , puhumme anti-syy-signaalista. ∀ei<0, s(ei)=0{\ displaystyle \ kaikki n <0, \ s (n) = 0}∀ei>0, s(ei)=0{\ displaystyle \ kaikki n> 0, \ s (n) = 0}

Syy-signaaleille voimme käyttää myös monolateraalista Z- muunnosta  :

Z+{s(ei)}=∑ei=0+∞s(ei)z-ei{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ vasen \ {s \ vasen (n \ oikea) \ oikea \} = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} s \ vasen (n \ oikea) z ^ {- n}}

Muunnoksen olemassaolo Z: ssä

Verkkotunnuksen lähentyminen on osajoukko johon sarja suppenee. Toisin sanoen sekvenssiksi muunnoksen lähentymisalue on joukko: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
z{\ displaystyle z}(x(ei))ei∈Z{\ displaystyle (x (n)) _ {n \ sisään \ mathbb {Z}}}

{z∈VS|∑ei=-∞∞x(ei)z-eiexiste}{\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ summa _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm { olemassa} \ oikea \}}

Alaryhmää, jossa tämä sarja ehdottomasti lähentyy, kutsutaan lähentymisen kruunuksi . Poseeraamalla hän tulee:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=ρeiθ {\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta} ~}

|S(z)|=|∑ei=-∞∞x(ei)z-ei|⩽∑ei=-∞∞|x(ei)|ρ-ei=limEI,M→∞SEI,M(ρ),{\ displaystyle | S (z) | = \ vasen | \ summa _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ oikea | \ leqslant \ summa _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x (n) \ right | \ rho ^ {- n} = \ lim _ {N, M \ rightarrow \ infty} S_ {N, M} \ left (\ rho \ oikea),} kanssa SEI,M(ρ)=∑ei=-EIM|x(ei)|ρ-ei.{\ displaystyle S_ {N, M} \ vasen (\ rho \ right) = \ summa _ {n = -N} ^ {M} \ left \ vert x (n) \ right \ vert \ rho ^ {- n} .}

Siksi absoluuttisen lähentymisen alue on kruunu S(z){\ displaystyle S (z)}

VSvs.={z∈VS:ρ1≺|z|≺ρ2}{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} = \ vasen \ {z \ sisään \ mathbb {C}: \ rho _ {1} \ prec \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2} \ oikea \}}

missä merkitsee joka kerta tai ja missä epätasa-arvo (laaja tai tiukka) (tai vastaava ) on välttämätön ja riittävä ehto, jolla on rajallinen raja, kun (tai ) suuntautuu . Nimenomaisesti, ≺{\ displaystyle \ prec}<{\ displaystyle <}≤{\ displaystyle \ leq}|z|≻ρ1{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ succ \ rho _ {1}}|z|≺ρ2{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2}}SEI,M(ρ){\ displaystyle S_ {N, M} \ vasen (\ rho \ oikea)}M{\ displaystyle M}EI{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

ρ1=lim supei→+∞|x(ei)|ei,ρ2=lim infei→+∞1|x(-ei)|ei.{\ displaystyle \ rho _ {1} = \ limsup _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (n) \ right \ vert}}, \ quad \ rho _ {2} = \ liminf _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (-n) \ right \ vert}}}.}

Artikkelin loppuosassa lähentymiskruunun oletetaan olevan tyhjä ja muunnokset Z: ssä ovat voimassa vain. VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}z∈VSvs.{\ displaystyle z \ paikassa {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Z-muunnosominaisuudet

Näytämme alla luetellut ominaisuudet:

Lineaarisuus

Kahden signaalin lineaarisen yhdistelmän Z-muunnos on kunkin signaalin Z-muunnoksen lineaarinen yhdistelmä.

Z{klo1x1(ei)+klo2x2(ei)}=klo1Z{x1(ei)}+klo2Z{x2(ei)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2} (n) \} = a_ {1} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) \} + a_ {2} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {2} (n) \} \}Ajansiirto

Aikasiirtymä on k signaalista näytteitä johtaa kertomalla Z-muunnos signaalin z -k .

Z{x(ei-k)}=z-kZ{x(ei)}. {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (nk) \} = z ^ {- k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}. ~}Pitkälle kehittynyt

Kun käytämme monolateraalista Z-muunnosta (katso yllä), saamme

Z+{x(ei+k)}=zk[Z+{x(ei)}-∑j=0k-1x(j)z-j]{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {x \ left (n + k \ right) \ right \} = z ^ {k} \ left [{\ mathcal {Z}} _ { +} \ vasen \ {x \ vasen (n \ oikea) \ oikea \} - \ summa _ {j = 0} ^ {k-1} x \ vasen (j \ oikea) z ^ {- j} \ oikea] }Konvoluutio

Konvoluutiotuotteen Z-muunnos on Z-muunnosten tulo

Z{x∗y}=Z{x}Z{y} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x * y \} = {\ mathcal {Z}} \ {x \} {\ mathcal {Z}} \ {y \} \}

missä . (x∗y)(ei)=∑k=-∞+∞x(ei-k)y(k){\ displaystyle \ left (x * y \ right) \ left (n \ right) = \ summa _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ oikea)}

Todellakin,

Z({x∗y})(z)=∑ei=-∞+∞{x⋆y}(ei)z-ei=∑ei=-∞+∞∑k=-∞+∞x(ei-k)y(k)z-(ei-k)z-k=∑m=-∞+∞∑k=-∞+∞x(m)y(k)z-mz-k=(∑m=-∞+∞x(m)z-m)(∑k=-∞+∞y(k)z-k){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Z \ left (\ left \ {x * y \ right \} \ right) \ left (z \ right) & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ vasen \ {x \ tähti y \ oikea \} \ vasen (n \ oikea) z ^ {- n} \\ & = & \ summa \ rajoittaa _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ summa \ rajoittaa _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ vasen (nk \ oikea) y \ vasen (k \ oikea) z ^ {- (nk)} z ^ {-k} \\ & = & \ summa \ rajoittaa _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ summa \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ vasemmalle (m \ oikea) y \ vasen (k \ oikea) z ^ {- m} z ^ {- k} \\ & = & vasen (\ summa \ rajoitukset _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ vasen (m \ oikea) z ^ {- m} \ oikea) \ vasen (\ summa \ rajoittaa _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y \ vasen (k \ oikea) z ^ {- k } \ oikea) \ end {array}}}Kerrotaan eksponentilla Z{kloeix(ei)}=X(zklo){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a ^ {n} x (n) \} = X \ vasen ({\ frac {z} {a}} \ oikea)}jossa muunnos Z seuraavastaX(z){\ displaystyle X (z)}x(ei){\ displaystyle x (n)} Kerrotaan evoluutiomuuttujalla

Yleisesti:

Z{eikx(ei)}=(-zddz)kZ{x(ei)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {n ^ {k} x (n) \} = \ vasen (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ oikea ) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \} \}

missä tarkoittaa, että käytämme k kertaa operaattoriin(-zddz)kZ{x(ei)}{\ displaystyle \ textstyle \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \ }}Z{x(ei)}{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}}-zddz{\ displaystyle \ textstyle -z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

Jos kirjoitamme tämän kaavan arvoon k = 1, saadaan johdannaiskaava  :

Z{eix(ei)}=-zddzX(z) {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {nx (n) \} = - z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} X (z) \}

Alkuarvolause

Antaa olla kausaalinen signaali sekä sen muunnos Z. Sitten: x(ei){\ displaystyle x (n) \,}X(z){\ displaystyle X (z) \,}

x(0)=limei→0x(ei)=limz→+∞X(z){\ displaystyle x (0) = \ lim _ {n \ to 0} x (n) = \ lim _ {z \ to + \ infty} X (z)}

Loppuarvolause

Tarkastellaan syy- signaalia ja sen muunnosta Z: ssä. Sitten kun vasen raja on olemassa, voimme kirjoittaa: x(ei){\ displaystyle x (n) \,}X(z){\ displaystyle X (z) \,}

limei→+∞x(ei)=limz→1,|z|>1(z-1)X(z){\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x (n) = \ lim _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} (z-1) X (z)} Esittely

Alkuarvo Lause on selvä todiste: riittää asettaa ja korvata y jonka 0 on lauseke . y=z-1{\ displaystyle y = z ^ {- 1}}X(y-1){\ displaystyle X (y ^ {- 1})}

Ja lopullinen arvo lause, merkille, että se seikka, että on olemassa merkitsee sekvenssi on rajoitettu ja sen vuoksi, että suppenemissäde on on pienempi kuin tai yhtä kuin 1. Olemme limei→+∞x(ei){\ displaystyle \ lim \ nolimits _ {n \ rightarrow + \ infty} x (n)}(x(ei)){\ displaystyle (x (n))}}ρ1{\ displaystyle \ rho _ {1}}X(z){\ displaystyle X (z)}

(z-1)X(z)=limei→∞Sei(z){\ displaystyle (z-1) X \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right)}

kanssa

Sei(z)=x(0)z+∑i=1ei(x(i)-x(i-1))z-i{\ displaystyle S_ {n} \ vasen (z \ oikea) = x (0) z + \ summa \ rajoittaa _ {i = 1} ^ {n} \ vasen (x (i) -x (i-1) \ oikea) z ^ {- i}}

ja tämä toimintojen sarja on tasaisesti yhtenevä avoimessa tilassa . Piste 1 kuuluu U: n tarttumiseen ja for , konvergoituu . "Kaksoisrajalauseen" mukaan meillä näin on U={z∈VS:|z|>1}{\ displaystyle U = \ vasen \ {z \ sisään \ mathbb {C}: \ vasen \ vert z \ oikea \ vert> 1 \ oikea \}}z→1{\ displaystyle z \ rightarrow 1}Sei(z){\ displaystyle S_ {n} \ vasen (z \ oikea)}x(ei){\ displaystyle x (n)}

limz→1,|z|>1limei→∞Sei(z)=limei→∞(limz→1,|z|>1Sei(z))=limei→∞x(ei).{\ displaystyle \ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} S_ {n} \ left (z \ right) \ oikea) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} x \ vasen (n \ oikea).}

Käänteinen Z-muunnos

Käänteisen Z-muunnoksen antaa:

x(ei)=Z-1{X(z)}=12πi∮VSX(z)zei-1dz {\ displaystyle x (n) = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} \ mathrm {d} z \}

missä suljettu polku kulkee vastapäivään ja kuuluu kokonaan lähentymisalueeseen. VS{\ displaystyle C}

Käytännössä tämä laskenta suoritetaan usein käyttämällä jäännöslausetta ja kaava muuttuu syy-signaalin tapauksessa:

x(ei)=∑zk=so^lesdezei-1X(z)Res⁡{zei-1X(z)}z=zk{\ displaystyle x (n) = \ summa _ {z_ {k} = {\ rm {p {\ hat {o}} les \; de \;}} z ^ {n-1} X (z)} \ operaattorin nimi {Res} \ {z ^ {n-1} X (z) \} _ {z = z_ {k}} \,}

Muut peruutusmenetelmät Muita inversiomenetelmiä, joista voi siirtyä , ovat: taaksepäin lukeminen tavallisten muunnosten taulukosta; siirtymän, lineaaristen yhdistelmien, konvoluutiotuotteen sääntöjen soveltaminen. Epätoivoissa voi aina yrittää etsiä tunnistamalla antamalla z k +1: n numeeriset arvot ja etsimällä kertoimet x (0) - x (k), jotka ovat ratkaisuja k + 1 lineaaristen yhtälöiden järjestelmään k + 1 tuntematonta. Tai yritä löytää Taylor- tai Maclaurin-laajennus käännettävälle toiminnolle. Erityinen suotuisa tapaus syntyy, kun funktio on järkevä murtoluku . Itse asiassa, kun :, P ja Q ovat kaksi polynomia 1 / z: ssä, jakaminen voidaan suorittaa haluttuun tarkkuustasoon saakka, ja kertoimien numeeriset arvot saadaan suoraan , n vaihtelevat välillä 0 - m. Tässä tapauksessa merkinnät hyväksytään enemmän tässä tapauksessa . Syynä on, että diskreeteille tai näytteistetyille järjestelmille siirtofunktio kirjoitetaan h (n) ja sen muunnos Z: ssä esitetään usein tässä osamuodossa lähdön (z) ja syötteen (z) välillä . Konkreettinen esimerkki tämän lähestymistavan havainnollistamiseksi:X(z){\ displaystyle X (z)}x(ei){\ displaystyle x (n)} X(z){\ displaystyle X (z)}X(z)=P(z)Q(z){\ displaystyle X (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}x(ei){\ displaystyle x (n)}H(z)=EIUM(z)/D.EEIOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}H(z)=EIUM(z)/D.EEIOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}   Polynomien osamäärä z: ssä, numeerinen approksimaatio.

Huomio, tämä menetelmä on puhtaasti numeerinen, se ei tarjoa käänteissarjan analyyttistä ilmentymistä. Tässä esimerkissä H (z) on kahden polynomin suhde 1 / z: ssä. Osoitin näyttää kertomalla 2 nimittäjää, joka on siirretty 1 jaksolla, mutta valitsemme jonkin verran epätarkkoja numeerisia arvoja, jotta vältetään täydellinen osamäärä, joka on yhtä suuri kuin 2 / z.

• Osoitin 11: n voimalla ilmaisee muodon: EIUM(z)=eium0+eium1(1/z)1+eium2(1/z)2+⋯+eium11(1/z)11{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle NUM (z) = num_ {0} + num_ {1} (1 / z) ^ {1} + num_ {2} (1 / z) ^ {2} + \ cdots + num_ { 11} (1 / z) ^ {11}} EIUM(z)=0+0(1/z)1+2,3⋅(1/z)2+4,22⋅(1/z)3+6,2⋅(1/z)4+8,21⋅(1/z)5+10,2⋅(1/z)6+12,2⋅(1/z)7+12,22⋅(1/z)8+12,4⋅(1/z)9+12,4⋅(1/z)10+12,4⋅(1/z)11.{\ displaystyle NUM (z) = 0 + 0 (1 / z) ^ {1} +2.3 \ cdot (1 / z) ^ {2} +4.22 \ cdot (1 / z) ^ {3} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {4} +8,21 \ cdot (1 / z) ^ {5} +10,2 \ cdot (1 / z) ^ {6} +12,2 \ cdot (1 / z) ^ {7} +12,22 \ cdot (1 / z) ^ {8} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {9} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {10} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {11} .}
• Kymmenen asteen nimittäjä on: D.EEIOM(z)=0+1,1⋅(1/z)1+2,1⋅(1/z)2+3,1⋅(1/z)3+4,1⋅(1/z)4+5,1⋅(1/z)5+6,1⋅(1/z)6+6,1⋅(1/z)7+6,2⋅(1/z)8+6,2⋅(1/z)9+6,2⋅(1/z)10.{\ displaystyle DENOM (z) = 0 + 1,1 \ cdot (1 / z) ^ {1} +2,1 \ cdot (1 / z) ^ {2} +3,1 \ cdot (1 / z) ^ {3} +4 , 1 \ cdot (1 / z) ^ {4} +5,1 \ cdot (1 / z) ^ {5} +6,1 \ cdot (1 / z) ^ {6} + 6,1 \ cdot (1 / z) ^ {7} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {8} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {9} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {10}.}
• Täällä polynomien jakautuminen ei "putoa oikein", olemme tyytyväisiä muodon Q (z) osamäärän likiarvoon, jonka muoto on 10: n voima:
  ∑ei≥0qei(1/z)ei{\ displaystyle \ summa _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}}
  

Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,007694⋅(1/z)6+0,101526⋅(1/z)7-0,176646⋅(1/z)8+0,061258⋅(1/z)9+0,015904⋅(1/z)10.{\ displaystyle {\ begin {matrix} Q (z) & = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot (1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} \\ & + 0.007694 \ cdot (1 / z) ^ {6} +0.101526 \ cdot (1 / z) ^ {7} -0.176646 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0.061258 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0.015904 \ cdot (1 / z) ) ^ {10}. \ Loppu {matriisi}}}

• Tämän epätäydellisen jaon loppuosa R (z) on:

R(z)=0+0⋅(1/z)1+0⋅(1/z)2+0⋅(1/z)3+0⋅(1/z)4+0⋅(1/z)5+0⋅(1/z)6+0⋅(1/z)7+0⋅(1/z)8+0⋅(1/z)9+0⋅(1/z)10+0⋅(1/z)11+0,550806⋅(1/z)12-0,413006⋅(1/z)13-0,063683⋅(1/z)14+0,040876⋅(1/z)15-0,052647⋅(1/z)16-0,011071⋅(1/z)17+0,616793⋅(1/z)18-0,478404⋅(1/z)19-0,098602(1/z)20.{\ displaystyle {\ begin {matrix} R (z) & = 0 + 0 \ cdot (1 / z) ^ {1} +0 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0 \ cdot (1 / z) ) ^ {3} +0 \ cdot (1 / z) ^ {4} +0 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0 \ cdot (1 / z) ^ {6} \\ & + 0 \ cdot (1 / z) ^ {7} +0 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0 \ cdot (1 / z) ^ {10} + 0 \ cdot (1 / z) ^ {11} +0.550806 \ cdot (1 / z) ^ {12} \\ & - 0.413006 \ cdot (1 / z) ^ {13} -0.063683 \ cdot (1 / z) ^ {14} +0.040876 \ cdot (1 / z) ^ {15} -0.052647 \ cdot (1 / z) ^ {16} \\ & - 0.011071 \ cdot (1 / z) ^ {17} +0.616793 \ cdot (1 / z) ^ {18} -0,478404 \ cdot (1 / z) ^ {19} -0,098602 (1 / z) ^ {20}. \ End {matriisi}}}

Voimme tarkistaa laskentataulukosta tai käsin, että nämä polynomit täyttävät euklidisen jakauman määritelmän : H (z) = NUM ​​(z) / DENOM (z) = Q (z) + R (z) / DENOM (z) . Oletetaan, että loppuosa on merkityksetön verrattuna osamäärän kertoimiin. Näiden eri polynomien kaaviot voidaan visualisoida laskentataulukossa seuraavasti.

Uteliaisuuden vuoksi voimme näyttää H (z): n likiarvon Q (z) impulssivasteen . Vastaavasti voimme näyttää Q (z): n indeksivasteen Heaviside-vaiheeseen.

Jos olisimme tyytyväisiä H (z): n epätarkempaan likiarvoon osamäärällä Q (z),

∑ei≥0qei(1/z)ei{\ displaystyle \ summa _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}} esimerkiksi 5: n tehoon asti: Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle Q (z) = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot ( 1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0,} saisimme hieman erilaiset vastekäyrät, paljon vähemmän tarkat (epätarkkuus noin 6 kertaa suurempi). Lähentämisasteen valinta, toisin sanoen paras kompromissi tarkkuuden ja laskelmien raskauden välillä, sanelee käsittelemämme ongelman konkreettinen tarkastelu.   Prosessi tunnistamalla likimääräisesti kertoimet X (z). Mennä ja , jos mitään menetelmää näyttää johtavan epätoivoissaan voimme aina yrittää edetä tunnistaminen antamalla zk + 1 numeerisia arvoja ja etsimällä kertoimien x (0) ja x (k), jotka ovat liuoksia k + 1 lineaarisen yhtälön järjestelmä k + 1 tuntemattoman kanssa. Esimerkki:X(z){\ displaystyle X (z)}x(ei){\ displaystyle x (n)}   Rationaalisten fraktioiden käyttö, esimerkki Fibonacci-sekvenssin siirtofunktiosta.

Tuottava sarja Fibonacci-sekvenssi on ∑ei∈EIFeiXei=X1-X-X2{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathcal {F}} _ {n} X ^ {n} = {\ frac {X} {1-XX ^ {2}}}} joten sen muunnos Z: ssä on

F(z)=zz2-z-1{\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}}}

Binetin kaavan löytämiseksi tehdään käänteinen muunnos. Rationaalisten murtolukujen menetelmää voidaan kokeilla. Nimittäjä on kaksi napaa, ja jotka ovat määrän kultaa  : ja vastakohta sen vastakohta: . Seuraavissa laskelmissa käytämme seuraavia ominaisuuksia ja  :, ja z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0=φ=1+52{\ displaystyle z_ {0} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ yli 2}}z1=1-φ=1-52{\ displaystyle z_ {1} = 1- \ varphi = {1 - {\ sqrt {5}} \ yli 2}}z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0-z1=(2⋅z0-1)=5{\ displaystyle z_ {0} -z_ {1} = (2 \ cdot z_ {0} -1) = {\ sqrt {5}}}

(z-z0)⋅(z-z1)=z2-z-1{\ displaystyle (z-z_ {0}) \ cdot (z-z_ {1}) = z ^ {2} -z-1}.

Funktio jakautuu alkeellisiksi rationaalisiksi murtoiksi, jotka kirjoitamme hieman uudestaan:

F(z)=zz2-z-1=15⋅(z0z-z0-z1z-z1)=15⋅(z0⋅1z-z0-z1⋅1z-z1){\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ vasen ({\ frac { z_ {0}} {z-z_ {0}}} - {\ frac {z_ {1}} {z-z_ {1}}} \ oikea) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}} } \ cdot \ left (z_ {0} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {0}}} - z_ {1} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {1}}} \ oikea)}.

Murtoluku tyypistä voidaan työstää seuraavasti: 1/(z-z0){\ displaystyle 1 / (z-z_ {0})}

1(z-z0)=z(z-z0)⋅1z{\ displaystyle {\ frac {1} {(z-z_ {0})}} = {\ frac {z} {(z-z_ {0})}} \ cdot {\ frac {1} {z}} }

Ensimmäinen osa on tavallisen eksponentiaalikaavan muunnos, toinen osa 1 / z on yhden loven puhdas viive. Joten tämän elementtiosuuden käänteismuunnos lasketaan haetun sekvenssin soveltamalla lineaaristen yhdistelmien sääntöjä: z0ei{\ displaystyle z_ {0} ^ {n}}z0ei-1{\ displaystyle z_ {0} ^ {n-1}}

Fei=15(z0⋅z0ei-1-z1⋅z1ei-1)=15(z0ei-z1ei).{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ vasen (z_ {0} \ cdot z_ {0} ^ {n-1} -z_ {1} \ cdot z_ {1} ^ {n-1} \ oikea) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ vasen (z_ {0} ^ {n} -z_ {1} ^ {n} \ oikea).}  

Suhde muihin muutoksiin

Laplace-muunnos

Lause  -  Olkoon x signaali, jonka oletetaan olevan määrittelemättömän erilainen funktio, ja (korvaamalla merkitään jakaumaa funktiona)

Δ(t)=∑ei=-∞∞5(t-eiT){\ displaystyle \ Delta \ left (t \ right) = \ summa \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right)}

Dirac-kampa (joka kuuluu lauhkean jakauman tilaan ). Näytteistetyn signaalin , on määritelty , on jakauma, joka voidaan kirjoittaa S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}xe=xΔ{\ displaystyle x_ {e} = x \ Delta}

xe(t)=∑ei=-∞∞x(eiT)5(t-eiT)=∑ei=-∞∞x[ei]5(t-eiT){\ displaystyle x_ {e} \ left (t \ right) = \ summa \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) \ delta \ left (t-nT \ right ) = \ summa \ rajoittaa _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ vasen [n \ oikea] \ delta \ vasen (t-nT \ oikea)}.

Vastaavuus on surjektio lähentyminen kaistan Laplace-muunnos näytteistetyn signaalin (olettaen, että tämä ei-tyhjä lähentyminen kaista) lähentymistä kruunu Z-muunnos on yleinen termi sekvenssin , ja meillä on s↦z=esT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}} Xe(s){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ displaystyle x_ {e}}X(z){\ displaystyle X (z)}x[ei]{\ displaystyle x [n]}

Xe(s)=X(z)|z=esT{\ displaystyle X_ {e} \ vasen (p \ oikea) = X \ vasen (z \ oikea) \ vasen \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ oikea.}. Esittely

Joko kuuluu . Sitten (uusi väärinkäyttö kirjoittaminen) kuuluu ja määritelmän silloin tarkoittaa Fourier . Olkoon missä on laskevien funktioiden Schwartz-tila (joista kaksi on). Meillä on (vielä väärin kirjoitettu) s=a+iω{\ displaystyle p = \ alfa + i \ omega}Xe(s){\ displaystyle X_ {e} (p)}e-atxe(t){\ displaystyle e ^ {- \ alfa t} x_ {e} (t)}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(s)=F(e-atxe(t))(ω){\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = {\ mathcal {F}} \ left (e ^ {- \ alpha t} x_ {e} \ left (t \ right) \ right) \ left ( \ omega \ oikea)}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}ϕ∈S{\ displaystyle \ phi \ kielellä {\ mathcal {S}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

⟨Xe(a+iω),φ(ω)⟩=⟨xe(t)e-at,(Fφ)(t)⟩=⟨∑ei=-∞∞5(t-eiT)x(t)e-at,(Fφ)(t)⟩=⟨∑ei=-∞∞x(eiT)e-eiaT5(t-eiT),(Fφ)(t)⟩=⟨∑ei=-∞∞x(eiT)e-eiaT(F5(t-eiT)),φ(ω)⟩=⟨∑ei=-∞∞x(eiT)e-eiaTe-iωeiT,φ(ω)⟩=⟨∑ei=-∞∞x(eiT)e-ei(a+iω)T,φ(ω)⟩{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle & = \ left \ langle x_ {e} \ vasen (t \ oikea) e ^ {- \ alfa t}, ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ vasen (t \ oikea) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ summa \ rajoitukset _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ vasen (t-nT \ oikea) x \ vasen (t \ oikea) e ^ {- \ alfa t}, ({\ mathcal { F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alfa T} \ delta \ vasen (t-nT \ right), ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} ({\ mathcal {F}} \ delta \ left (t- nT \ oikea)), \ varphi \ vasen (\ omega \ oikea) \ oikea \ rangle \\ & = \ vasen \ langle \ summa \ rajoitukset _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ vasen (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} e ^ {- i \ omega nT}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ summa \ limits _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ vasen (nT \ oikea) e ^ {- n (\ alpha + i \ omega) T}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \ loppu {tasattu}}}

Näin ollen

Xe(s)=X(z)|z=esT{\ displaystyle X_ {e} (p) = X \ vasen (z \ oikea) \ vasen \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ oikea.}.

Yllä olevat yhtälöt pätevät, koska jokaisessa kaksinaisuuden koukussa meillä on vasemmalla karkaistu jakauma ja oikealla laskeva funktio; Näin ollen, vaihdosta lähettää lähentyminen kaistan ja näytteistetyn signaalin osaksi lähentymistä rengas on . s↦z=esT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}Xe(s){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ displaystyle x_ {e}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}X(z){\ displaystyle X (z)}

Vastavuoroisesti anna olla yleisten termien sekvenssi  ; asetetaan ja . Kompleksiluvun kuuluu , jos, ja vain jos sekvenssi yleisesti kuuluu tila on ”hitaasti kasvava sekvenssit” (toisin sanoen sekvenssit, joille on olemassa kokonaisluku , kuten varten . Fourier-muunnos tällaista jatkoa on - jaksollinen jakelux[ei]{\ displaystyle x \ vasen [n \ oikea]}xa[ei]=x[ei]e-aeiT{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right] = x \ left [n \ right] e ^ {- \ alpha nT}}s=a+iω{\ displaystyle p = \ alfa + i \ omega}z=esT{\ displaystyle z = e ^ {pT}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}xa[ei]{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ vasen [n \ oikea]}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}k>0{\ displaystyle k> 0}klo[ei]=O(eik){\ displaystyle a \ vasen [n \ oikea] = O (n ^ {k})}ei→∞{\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}

(Fklo)(ω)=∑ei=-∞∞klo[ei]e-ieiωT{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ vasen (\ omega \ oikea) = \ summa \ rajoittaa _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ vasen [n \ oikea] e ^ { -om \ omega T}}.

Anna voimme yhdistää sekvenssin kanssa jakelun määritelty (in väärinkäyttöä merkintä) mukaan klo_{\ displaystyle {\ alleviivattu {a}}}

klo_(t)=∑ei=-∞∞klo[ei]5(t-eiT){\ displaystyle {\ alleviivattu {a}} \ vasen (t \ oikea) = \ summa \ rajoittaa _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ vasen [n \ oikea] \ delta \ vasen (t- nT \ oikea)}.

Kartta on monomorfismi lauhkean jakauman tilassa ja Fourier-muunnos on automorfismi . Sitten saamme (edelleen väärin) klo↦klo_{\ displaystyle a \ mapsto {\ alleviivataan {a}}}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

(Fklo)(ω)=klo_(t)e-iωt{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ vasen (\ omega \ right) = {\ alleviivattu {a}} \ vasen (t \ oikea) e ^ {- i \ omega t}}.

Edellä esitetty osoittaa sen

⟨Xe(a+iω),φ(ω)⟩=⟨(Fxa_)(ω),φ(ω)⟩.{\ displaystyle \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle = \ left \ langle ({\ mathcal {F} } {\ alleviivattu {x _ {\ alpha}}}) \ vasen (\ omega \ oikea), \ varphi \ vasen (\ omega \ oikea) \ oikea \ rangle.}

Totta kertaus: jos , niin , siis , siksi siis (loukkaava erotettuna) , siis . Olemme siis osoittaneet, että kirjeenvaihto on surjektio on päällä . z∈VSvs.{\ displaystyle z \ paikassa {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(xa[ei])∈s′{\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ left [n \ right] \ right) \ sisään \ mathbf {s} ^ {\ prime}}xa_∈S′{\ displaystyle {\ alleviivattu {x _ {\ alpha}}} \ kielellä {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Fxa_∈S′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ alleviivattu {x _ {\ alpha}}} \ muodossa {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(a+iω)∈S′{\ displaystyle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right) \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}s∈Bvs.{\ displaystyle p \ kohteessa {\ mathcal {B}} _ {c}}s↦z=esT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Fourier-muunnos ja diskreetti Fourier-muunnos

Jos yksikköympyrä kuuluu konvergenssikruunuun , sekvenssin Fourier-muunnos saadaan ottamalla tämän sekvenssin Z-muunnoksen rajoitus yksikköympyrään, toisin sanoen poseeraamalla . Fourier-muunnoksen on itse asiassa -periodic toiminto (se on -periodic jos asetamme ja ottaa tykytys muuttujana ). Jos on reaalilukujen sarja, voimme sen vuoksi olettaa vaihtelevan aikavälillä . VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(x[ei]) {\ displaystyle (x [n]) \}z=eiθ{\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}θ↦X(eiθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto X \ vasen (e ^ {i \ theta} \ oikea)}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}θ=ωT{\ displaystyle \ theta = \ omega T}ω{\ displaystyle \ omega}(x[ei]) {\ displaystyle (x [n]) \}X(e-iθ)=X(eiθ)¯{\ displaystyle X \ left (e ^ {- i \ theta} \ right) = {\ overline {X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}}}θ{\ displaystyle \ theta}[0,π[{\ displaystyle \ vasen [0, \ pi \ oikea [}

Fourier-muunnos voidaan määritellä hitaasti kasvava sekvenssit (se on sitten -periodic jakelu ) ja Z-muunnos tämän yleisempi Fourier-muunnos (katso esittely edellä). 2π{\ displaystyle 2 \ pi}

Z- muunnoksen ja diskreetin Fourier-muunnoksen (DFT) välillä on myös suhde . TFD on tukea signaali saadaan arvioimalla in (kanssa ). {xei}{\ displaystyle \ vasen \ {x_ {n} \ oikea \}}{0,1,...,EI-1}{\ displaystyle \ vasen \ {0,1, ..., N-1 \ oikea \}}X(z){\ displaystyle X (z)}z=ei2πkEI{\ displaystyle z = e ^ {i {\ frac {2 \ pi k} {N}}}}k=0,1,...,EI-1{\ displaystyle \ qquad k = 0,1, ..., N-1}

Tavalliset Z-muunnokset

Alla edustaa yhtenäistä impulssia tai " Kronecker- sekvenssiä  " (yhtä kuin 1 muulle ja 0 muuten; se voidaan myös kirjoittaa , missä on Kronecker-symboli ); toisaalta merkitsee yhtenäisen vaiheen (yhtä kuin 1 muuten ja 0). 5[ei]{\ displaystyle \ delta [n] \,}ei=0{\ displaystyle n = 0}50ei{\ displaystyle \ delta _ {0} ^ {n}}5ij{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}u[ei]{\ displaystyle u [n] \,}ei≥0{\ displaystyle n \ geq 0}

Z muuttuu

	Signaali x(ei){\ displaystyle x (n)}	Muunnettu Z: ksi X(z){\ displaystyle X (z)}	Lähentymisalue
1	5[ei]{\ displaystyle \ delta [n] \,}	1{\ displaystyle 1 \,}	VS {\ displaystyle \ mathbb {C} \}
2	u[ei]{\ displaystyle u [n] \,}	11-z-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
3	eiu[ei]{\ displaystyle nu [n] \,}	z-1(1-z-1)2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
4	kloeiu[ei]{\ displaystyle a ^ {n} u [n] \,}	11-kloz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|>|klo|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
5	eikloeiu[ei]{\ displaystyle na ^ {n} u [n] \,}	kloz-1(1-kloz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>|klo|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
6	-kloeiu[-ei-1]{\ displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}	11-kloz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|<|klo|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
7	-eikloeiu[-ei-1]{\ displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}	kloz-1(1-kloz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|<|klo|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
8	cos⁡(ω0ei)u[ei]{\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-z-1cos⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
9	synti⁡(ω0ei)u[ei]{\ displaystyle \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	z-1synti⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
10	kloeicos⁡(ω0ei)u[ei]{\ displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-kloz-1cos⁡(ω0)1-2kloz-1cos⁡(ω0)+klo2z-2{\ displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2 } z ^ {- 2}}}}	|z|>|klo|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
11	kloeisynti⁡(ω0ei)u[ei]{\ displaystyle a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	kloz-1synti⁡(ω0)1-2kloz-1cos⁡(ω0)+klo2z-2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2} z ^ {- 2}}}}	|z|>|klo|{\ displaystyle | z |> | a | \,}

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

1. Bourlès 2010 , § 12.3.5
2. Mukaan Lang 1993 , §II.2
3. Bourlès 2010 , 12.3.5, 12.4.4 §; Pallu de la Barrière 1966 , luku. II
4. Bourlès 2010 , kohta 10.2.3
5. Käänsimme laskentavaiheeseen ja mitä voimme perustella ( Schwartz 1965 , §V.5)F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}∑{\ displaystyle \ summa}
6. Bourlès 2010 , § 12.3.2
7. Pallu de la Barrière 1966 , luku. 10, §4, Lemma 9.
8. Bourlès 2010 , § 12.3.3, 12.3.5

Viitteet

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  Sivumäärä ( ISBN  978-1-84821-162-9 ja 1-84821-162-7 )
• (en) Serge Lang , monimutkainen analyysi (3. painos) , New York / Berliini / Pariisi jne., Springer,1993, 458  Sivumäärä ( ISBN  0-387-97886-0 )
• Robert Pallu de la Barrière , teoreettisen automaatiokurssi , Dunod,1966
• Laurent Schwartz , fysiikan matemaattiset menetelmät , Hermann,1965

Katso myös

• Digitaalinen suodatin
• Laplace-muunnos # Lopullinen arvo
• Siirto-toiminto

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">