Ultrametrinen etäisyys

Vuonna matematiikassa , tarkemmin sanoen topologia , An ultrametric etäisyys on etäisyys d tietyksi E täyttävä ultratriangular epätasa:

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

Metrinen tila , jonka etäisyys täyttää tämä ominaisuus on sanottu olevan ultrametric .

Määritelmä ja esimerkkejä

Olkoon E olla joukko ; ultrametric etäisyys (päällä E ) kutsutaan sovellus tarkistaa seuraavat ominaisuudet: ${\ displaystyle d: \ mathrm {E} \ kertaa \ mathrm {E} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

Sukunimi	Omaisuus
symmetria	${\ displaystyle \ kaikki x, y \ sisään \ mathrm {E}, \ d (x, y) = d (y, x)}$
erottaminen	${\ displaystyle \ kaikki x, y \ sisään \ mathrm {E}, \ d (x, y) = 0 \ vasen nuoli x = y}$
ultrankulmainen eriarvoisuus	${\ displaystyle \ kaikki x, y, z \ sisällä \ mathrm {E}, \ d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}$

Symmetria huomioon ottaen ultrankulmainen epätasa-arvo tarkoittaa, että kolmiossa kummankin sivun pituus on pienempi tai yhtä suuri kuin kahden toisen sivun pituus (tai näiden kahden pituuden summa, jonka ilmaisee l ' kolmion epätasa ).

Trivial etäisyys

Mikä tahansa sarja voidaan toimittaa niin sanotulla triviaalilla tai erillisellä etäisyydellä, jonka määrittelee:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ 1 & {\ text {si}} x \ neq y \ end {cases}}}

Eriarvoisuus

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

on totta riippumatta siitä, onko x yhtä suuri kuin z . Siksi se on ultrametrinen etäisyys.

P -adic etäisyys asetetun over yli

Saat alkuluku p , voimme määritellä p -adic arvostus tahansa nollasta poikkeava rationaaliluku r . ${\ displaystyle v_ {p} (r)}$

Todistamme helposti, että tämä sovellus tarkistaa

{\ displaystyle v_ {p} (r + r ') \ geq \ inf (v_ {p} (r), v_ {p} (r'))}

{\ displaystyle v_ {p} (- r) = v_ {p} (r).}

Määritämme sitten p -adisen etäisyyden ℚ: lle seuraavasti:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ p ^ {- v_ {p} (xy)} ja {\ text {si}} x \ neq y \ end {tapaukset}}}

Yllä oleva ominaisuus johtaa helposti ultrametriseen eriarvoisuuteen. Kaksi muuta tarkastusta on helppoa. $v_p$

Siksi se on todellakin ultrametrinen etäisyys ℚ: llä.

Muita esimerkkejä

Olkoon X mielivaltainen joukko ja E = X ℕ kaikki sviitit, joiden arvot ovat X: ssä . Tarjoamme E : lle täydellisen ultrametrisen avaruusrakenteen poseeraamalla ${\ displaystyle k (x, y) = \ inf \ {n \ in \ mathbb {N} \ keskellä x_ {n} \ neq y_ {n} \}}$ (in sanoen : ja jos , on listalla ensimmäinen termi, jossa nämä kaksi sekvenssiä eroavat), sitten ${\ displaystyle k (x, x) = + \ infty}$ $x \ ne y$ ${\ displaystyle k (x, y)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = {\ frac {1} {1 + k (x, y)}}}$ tai uudestaan mielivaltaisesta todellisuudesta : ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle d_ {a} (x, y) = a ^ {- k (x, y)}}$ ,joka on etäisyys tasaisesti vastaava kohteeseen . $d$ Kun X = {0, 1}, saadaan Cantor-tila ja X = ℕ: lle Baire-tila .
In genetiikka , välinen etäisyys genotyyppien pitkin oksat fylogeneettisen puun voidaan mitata ultrametric etäisyys.

Ominaisuudet

Tässä on joitain ultrametrisen avaruuden ominaisuuksia, jotka näyttävät olevan ristiriidassa intuition kanssa.

Ei ole leikkaavia palloja siinä mielessä, että jos kahdella avoimella pallolla (tai kahdella suljetulla pallolla ) on yhteinen piste, niin yksi sisältää toisen: ${\ displaystyle B (a, r) \ korkki B (a ', r') \ neq \ lakkaus {\ text {et}} r \ leq r '\ Rightarrow B (a, r) \ osajoukko B (a ', r')}$ .
Mikä tahansa pallon kohta on keskipiste: ${\ displaystyle \ forall x \ in B (a, r) \ quad B (x, r) = B (a, r)}$ .
Metrisessä tilassa mikä tahansa avoin pallo on auki , mikä tahansa suljettu pallo on suljettu . Ultrametrisessä tilassa meillä on myös: Mikä tahansa suljettu pallo, jonka säde ei ole nolla, on auki. Kaikki avoimet pallot ovat kiinni. Näin ollen, mikä tahansa ultra- metrizable topologinen tila on nolla ulottuvuus ja näin ollen täysin epäjatkuva , toisin sanoen, että sen liitettyjen laitteiden ovat singletons .
Kun otetaan huomioon kolme pistettä, kaksi lähintä ovat samalla etäisyydellä kolmannesta, toisin sanoen: "jokainen kolmio on tasakylkinen ja sen pohja on korkeintaan yhtä suuri kuin puolet" , mikä on myös kirjoitettu: ${\ displaystyle d (x, y) \ neq d (y, z) \ Rightarrow d (x, z) = \ max (d (x, y), d (y, z))}$ .
Jotta jatko olisi Cauchy , se riittää $(x_ {n})$ ${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ arvoon 0.}$

Sovellus

Olkoon X joukko, jolla on ultrametrinen etäisyys d , ja olkoon r positiivinen luku. Kaikki pallot säde r määritellään X on osio X . Lisäämällä r arvosta 0 muodostamme hienousketjun näiden osioiden välille hienoimmasta (erillinen osio r = 0 ) vähiten hienoksi (universaali osio maksimi r: lle ). Tämä on yksi niistä perusteista automaattisen luokittelun mukaan hierarkkinen ryhmittymä .

Katso myös

Huomautuksia ja viitteitä

Tämän käsitteen otti käyttöön Marc Krasner , " Semi-real numbers and ultrametric space ", Weekly reports of theessions of the Academy of Sciences , voi. 219, n ° 21944, s. 433-435 ( lue verkossa ), Joka kertoo: "Ainoat tähän mennessä pidetyt ultrametriatilat näyttävät olevan kehon ja algebran arvostamia " .
Diadialaiset mallit, Terence Tao , 27. heinäkuuta 2007: https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
Jean-Luc Verley, Metriset tilat , matematiikan sanakirjassa; algebra, analyysi, geometria , toim. Albin Michel, s. 652-653 .
Ongelman 1.b korjaus, kirjoittanut Jean Dieudonné , Elements of analysis , t. I: Nykyaikaisen analyysin perusteet [ yksityiskohtainen painos ], luku. III, § 14, yleiskatsaus Englanti painos on Google Books .
Erityisesti . ${\ displaystyle d (x, x) = {\ frac {1} {1+ \ infty}} = 0}$
Erityisesti . ${\ displaystyle d (x, x) = a ^ {- \ infty} = 0}$
Katso heidän esittelynsä esimerkiksi tästä korjatusta Wiki-yliopistoharjoituksesta .
(in) Emil Artin , algebrallinen luku ja algebrafunktiot , AMS ,1967, 349 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-4075-7 , lue verkossa ) , s. 44.
IC Lerman, Automaattisen luokittelun perusteet , Gauthier-Villars , 1970.